多智能體系統自適應固定時間編隊控制

摘 要：針對領導者信息非全局已知以及系統非線性項未知的問題，提出自適應律，對領導者速度上界及非線性項參數上界進行估計，進而實現固定時間收斂的編隊控制。首先，基于領導者-跟隨者框架，構建二階非線性多智能體模型;隨之，根據反步法給出編隊控制律，以保證編隊控制方法的固定時間收斂特性;同時，為了減輕系統計算負擔和平滑虛擬控制律，引入固定時間收斂的濾波器。進一步，基于李雅普諾夫穩定性理論分析系統穩定性及固定時間收斂特性;最后，通過仿真驗證參數自適應律和控制律的有效性。

關鍵詞： 多智能體系統; 編隊控制; 自適應律; 固定時間收斂

中圖分類號： TP 273

文獻標志碼： ADOI：10.12305/j.issn.1001 506X.2025.02.26

Adaptive fixed time formation control for multi agent system

LI Jiale1， ZHONG Qilin2， XIAO Jie2， LI Guofei^2，*

（1. School of Aeronautics， Northwestern Polytechnical University， Xi’an 710072， China;

2. School of Astronautics， Northwestern Polytechnical University， Xi’an 710072， China）

Abstract：Aiming at the problems that the leader information is not globally known and the nonlinear term of systems is unknown， adaptive laws to estimate the upper bound of the leader’s velocity and the upper bound of the nonlinear term parameter are proposed. Firstly， based on the leader follower structure， a second order nonlinear multi agent system model is constructed. Secondly， the formation control law is given based on the backstepping technique， which guarantees the fixed time convergence property of the formation control method. In addition， a filter with fixed time convergence is introduced to alleviate the computational pressure of the system and smooth the virtual control law. Further， the system stability and fixed time convergence characteristics are analyzed based on the Lyapunov stability theory. Finally， the validity of parameter adaptive law and control law is verified by a simulation test.

Keywords：multi agent system; formation control; adaptive law; fixed time convergence

0 引 言

隨著多智能體系統在軍事、航天等各個領域廣泛應用^［1-4］，協同控制問題引起廣泛的關注。編隊控制作為協同控制的一種典型應用，指的是由多個智能體組成的團隊在向特定目標或者區域運動的過程中，保持預定的幾何形態，并適應周圍環境的約束^［5］，通過智能體間的局部通信實現群體行為，進而解決全局問題。目前，多智能體系統主要存在以下的編隊控制方法^［6］：基于領導者-跟隨者^［7］、基于虛擬結構^［8］、基于行為^［9］等。

衡量編隊控制的性能指標主要包括控制精度、收斂速率等，其中收斂速率至關重要，體現了編隊誤差收斂至原點的快慢程度。Ren等^［10］針對多智能體系統提出一致性誤差漸近收斂的控制方法;在此基礎上，Mastellone等^［11］針對拉格朗日型的多智能體系統提出編隊跟蹤誤差漸進收斂的控制方法。但漸近收斂意味著協同誤差收斂至原點的時間趨于無窮;為了加快誤差收斂速度，Bhat等^［12］針對連續自治系統提出有限時間穩定性理論;然后，Li等^［13］基于該理論提出編隊跟蹤誤差有限時間收斂的控制方法，即誤差在有限時間內收斂至原點。然而，該方法收斂時間的估計值依賴于初始狀態信息;鑒于此，Polyakov^［14］提出固定時間穩定性理論，即收斂時間的上界擺脫了對初始狀態的依賴，主要取決于控制參數;Gao等^［15］利用該理論提出誤差固定時間收斂的編隊控制方法。

受到多智能體系統通信局限性的影響，僅有部分智能體能接收期望軌跡信息。針對該問題，Pan等^［16］基于人工勢場法，解決編隊隊形保持以及路徑規劃問題，但人工勢場法易造成局部最優或目標不可達等問題。Xiong等^［17］在領導者-跟隨者框架下，假設領導者加速度全局已知，然后設計級聯觀測器以得到領導者的位置、速度信息，在此基礎上提出控制律以實現固定時間編隊跟蹤。Wang等^［18］基于積分滑模面，先設計控制律使得領導者跟蹤理想軌跡，再基于領導者信息全局已知的假設，設計控制律使得跟隨者跟蹤領導者軌跡。Zuo等^［19］研究有向通信拓撲下的領從式一致性問題，所提出的雙曲正切型控制律能夠有效解決控制輸入的飽和約束問題。然而，上述方法在處理領導者信息時，基于領導者部分信息全局已知的假設或者設計附加觀測器，增加了系統的復雜性。

針對非線性多智能體系統的編隊跟蹤問題，張普等^［20］針對系統的未知非線性項和由執行器故障引起的不確定性，基于徑向基函數（radial basis function， RBF）神經網絡的逼近特性，設計出包含非線性補償項的容錯控制器。周健等^［21］針對系統不確定項、輸入飽和等約束條件，在擴張狀態觀測器和輔助系統的基礎上，設計滑模擾動觀測器，實現對系統未知擾動的精確估計。Yoo等^［22］為了實現避碰和避障且保持通信拓撲的連通性，構建非線性誤差和附加變量，再基于RBF神經網絡構建補償變量，最終實現編隊控制。Zhou等^［23］針對領導者狀態和非線性項未知的問題，利用模糊邏輯方法對其進行在線估計，然后設計有限時間收斂的編隊控制律，且為了降低通信損耗，引入事件觸發機制。然而，上述研究并未涉及固定時間穩定問題。

綜上所述，相較于漸進收斂和依賴初始狀態的有限時間收斂的編隊控制方法，本文提出參數自適應的多智能體系統固定時間編隊控制方法，主要創新點如下：

（1） 與文獻［24-26］相比，本文擺脫對狀態觀測器的依賴，提出自適應律估計領導者速度上界值;考慮系統非線性項參數未知的問題，給出自適應律并對其上界進行估計，且提出的自適應律可保證系統具備固定時間收斂特性。

（2） 針對傳統反步法存在的“微分爆炸”問題，引入固定時間收斂的濾波器降低系統計算負擔，并可有效抑制由虛擬控制律導數導致的奇異現象。與此同時，該編隊控制方法可拓展至高階非線性多智能體系統。

1 問題描述

1.1 符號說明

符號Rm和R^m×n分別表示m維實數向量和m×n實數矩陣;表示克羅內克積;λmin（A）和λmax（A）分別為矩陣A的最小特征值和最大特征值;In代表n階單位矩陣;1n表示全為1的n維列向量;對于實數e和正實數a，有siga（e）=|e|asign（e）。

1.2 代數圖論及相關引理

對于由N個跟隨者智能體組成的系統，假設其通信網絡為無向圖，則多智能體間的通信拓撲可以通過無向圖G={V，ε，A} 進行表示;其中V={v1，v2，…，vN}為所有節點的集合;εV×V為邊的集合，A=［aij］N×N為具有非負加權值的鄰接矩陣;如果從第i個智能體到第j個智能體存在連邊（vi，vj）∈ε，則ajigt;0，反之aji=0;在此基礎上，定義D=diag{d1，d2，…，dN}為圖入度矩陣，則圖G的拉普拉斯矩陣定義為L=D-A=［lij］∈R^N×N。同時，定義領導者矩陣為B=diag{b1，b2，…，bN}，當跟隨者i能獲取領導者信息時，bigt;0;反之，bi=0。

引理 1^［27］假設一個正定且連續可導的函數V（x，t）：Rn×R+→R滿足

V·（x，t）≤－aVp（x，t）－bVq（x，t）+（1）

式中：a，bgt;0;0lt;plt;1lt;q。則V（x，t）將在固定時間Tf收斂到集合Ω內。Tf的上界估計如下：

Tf≤1aχ（1－p）+1bχ（q－1）（2）

式中：0lt;χlt;1。當tgt;Tf時，系統狀態將會收斂到集合Ω中：

Ω=xV（x）≤min （1－χ）a^1p，（1－χ）b^1q（3）

引理 2^［28］對于任意x，y∈R，若滿足xgt;0，qgt;1且xgt;y，則滿足

y（x－y）q≤qq+1（x^q+1－|y|^q+1）（4）

引理 3^［29］對于任意x，y∈R且m，n，lgt;0，則下列不等式成立：

|x|m|y|n≤mm+nl|x|^m+n+nm+nl^－mn|y|^m+n（5）

引理 4^［30］對于任意xi∈R（i=1，2，…，m），若滿足hgt;1，則∑mi=1|xi|h≥m^1－h（∑mi=1|xi|h;若滿足0lt;hlt;1，則∑mi=1|xi|h≥（∑mi=1|xi|h。

引理 5^［28］考慮微分方程ξ·（t）=（t）－a（ξ（t）+ξυ（t）），其中agt;0，υgt;1，（t）≥0且在任意t≥0上連續。若ξ（0）gt;0，則對于任意t≥0，有ξ（t）gt;0。

引理1～引理5的證明可參見文獻［27-30］。

1.3 問題說明

考慮包含N個跟隨者和一個領導者的多智能體系統，跟隨者i（i=1，2，…，N）的動力學方程如下：

x·i=vi

v·i=ui+fi（xi，vi）（6）

式中：xi=［xi，1，xi，2，…，xi，s］^T∈Rs為跟隨者i的位置;vi，ui和fi分別為跟隨者i的速度、控制輸入以及未知非線性項。為了方便，定義領導者的下標為0，領導者的動力學方程如下：

x·0=v0

v·0=u0（7）

式中：x0=［x0，1，x0，2，…，x0，s］^T∈Rs為領導者的位置;v0和u0分別為領導者速度以及控制輸入。

假設 1 在多智能體系統中，N個跟隨者的通信拓撲為無向圖且存在生成樹，其中生成樹的根節點與領導者之間存在通信關系。

假設 2 領導者的速度以及控制輸入均有界，且存在未知正常數θk（k=1，2，…，s）滿足|v0，k|lt;θk。

假設 3 各跟隨者動力學方程所包含的未知非線性項滿足|fi，k（·）|≤cfi，kφi，k（k=1，2，…，s）。φi，k≥0為已知核心函數，cfi，k為未知正常數。

基于假設1，可以得到L+B為正定可逆矩陣。為了簡便，定義H=L+B。

在假設1～假設3的條件下，本文所述多智能體系統編隊飛行問題及研究目標可描述如下：在領導者-跟隨者框架下，設計控制律和參數自適應律，解決領導者速度非全局已知以及非線性項參數上界未知的問題，最終實現固定時間收斂的編隊跟蹤，即

limt→Txi－x0－hi≤c

xi－x0－hi≤c， tgt;T（8）

式中：hi∈Rs為跟隨者i與領導者之間的期望相對位置。

2 固定時間收斂的編隊控制方法

本節基于反步法思想，在不依賴于觀測器的條件下，提出自適應固定時間收斂編隊控制律，解決領導者狀態未知和非線性項未知的編隊控制問題，具體的方法原理框圖如圖1所示。

定義轉換誤差為

wi，1=∑Nj=1aij（δi－δj）+biδi

wi，2=vi－α-i（9）

式中：i=1，2，…，N;δi為第i個智能體的全局編隊跟蹤誤差，

δi=xi－x0－hi∈Rs;wi，1為第i個智能體的鄰居編隊跟蹤誤差;wi，2為第i個智能體的虛擬誤差;α-i為固定時間濾波器的輸出信號。設計固定時間濾波器如下：

α·-i=sigp（αi-α-i）τi+sigq（αi-α-i）τi+αi-α-iμi（10）

式中：0lt;plt;1lt;q;τigt;0;0lt;μilt;2;αi為濾波器的輸入信號，其作為虛擬控制律需要進行進一步設計。

針對系統式（6）及誤差定義式（9），構造李雅普諾夫函數：

V1=12wT1（HIs）^-1w1（11）

式中：w1=［wT1，1，wT2，1，…，wTN，1］T∈R^Ns。

對式（11）求導可得

V·1=∑Ni=1∑sk=1wi，1k（wi，2k+αi，k+efi，k－v0，k）（12）

在式（12）的基礎上，提出虛擬控制律：

αi，k=-k1sigp（wi，1k）-k2sigq（wi，1k）-

12wi，1k-θ^i，ktanhwi，1kεi（13）

式中：εi，k1，k2gt;0;θ^i，k是對領導者速度虛擬上界θk的估計值。

將式（13）代入式（12），得

V·1≤－k1∑Ni=1∑sk=1|wi，1k|^p+1－k2∑Ni=1∑sk=1|wi，1k|^q+1－

12∑Ni=1∑sk=1w2i1，k+∑Ni=1∑sk=1wi，1kefi，k+∑Ni=1∑sk=1wi，1kwi，2k+

0.278 5∑Ni=1∑sk=1εiθk+∑Ni=1∑sk=1θ～i，kwi，1ktanhwi，1kεi

（14）

式中：θ～i，k=θk－θ^i，k為估計誤差。式（14）利用了不等式：|wi1，k|≤0.278 5εi+wi1，ktanh（wi1，k/εi）。

在所設計虛擬控制律的基礎上，進一步提出控制律ui，使得虛擬控制誤差wi，2趨于穩定，進而實現編隊位置跟蹤。針對系統式（6）和式（7），基于所設計的虛擬控制信號式（13），對于vi通道構建李雅普諾夫函數如下：

V2=12wT2w2（15）

式中：w2=［wT1，2，wT2，2，…，wTN，2］T∈R^Ns。對式（15）求導，得

V·2=∑Ni=1∑sk=1wi，2k（ui，k+fi，k－α·-i，k）（16）

式中：α·-i，k為濾波器輸出信號的導數，可由式（10）得到。

在式（16）的基礎上，提出控制律ui，k為

ui，k=α·-i，k-k3sigp（wi，2k）-k4sigq（wi，2k）-

wi，1k-c^fi，kφi，ktanhwi，2kφi，kεi（17）

式中：k3，k4gt;0;c^fi，k是對非線性項參數虛擬上界cfi，k的估計值。

將式（17）代入式（16），得

V·2≤－k3∑Ni=1∑sk=1|wi，2k|^p+1－k4∑Ni=1∑sk=1|wi，2k|^q+1+

∑Ni=1∑sk=1c～fi，kwi，2kφi，ktanhwi，2kφi，kεi－

∑Ni=1∑sk=1wi，1kwi，2k+0.278 5∑Ni=1∑sk=1εicfi，k（18）

式中：c～fi，k=cfi，k－c^fi，k為估計誤差。上述利用了不等式|wi，2kφi，k|≤0.278 5εi+wi，2kφi，ktanhwi，2kφi，kεi。

設計θ^i，k，c^fi，k參數自適應律如下：

θ^·i，k=γ1iwi，1ktanhwi，1kεi－γ1iσ1i（θ^i，k+θ^qi，k）

c^·fi，k=γ2iwi，2kφi，ktanhwi，2kφi，kεi－γ2iσ2i（c^fi，k+c^qfi，k）（19）

式中：k=1，2，…，s;γ1i，γ2i，σ1i，σ2igt;0。

觀察自適應律式（19），根據引理5，若θ^i，k（0）gt;0，c^fi，k（0）gt;0，則對任意t≥0，都滿足θ^i，k（t），c^fi，k（t）gt;0。

3 穩定性分析

基于提出的控制律式（13）和式（17）、參數自適應律式（19），本節將給出穩定性分析過程。多智能體系統式（6）的編隊控制方法可用如下定理描述。

定理 1 考慮滿足假設1～假設3的多智能體系統式（6）和式（7），采用參數自適應律式（19），控制律式（13）和式（17），則系統將會實現固定時間收斂的編隊跟蹤。

證明 選取李雅普諾夫函數如下：

V=V1+V2+12∑Ni=1∑sk=1θ～2i，kγ1i+12∑Ni=1∑sk=1c～2fi，kγ2i+12eTfef（20）

式中：ef=［e^Tf1，e^Tf2，…，e^TfN］^T。

對式（20）求導并代入式（10）、式（14）、式（18）和式（19），得

V·≤－k1∑Ni=1∑sk=1|wi，1k|^p+1－k3∑Ni=1∑sk=1|wi，2k|^p+1－

∑Ni=1∑sk=1|efi，k|^p+1τi－k2∑Ni=1∑sk=1|wi，1k|^q+1－k4∑Ni=1∑sk=1|wi，2k|^q+1－

∑Ni=1∑sk=1|efi，k|^q+1τi+∑Ni=1∑sk=1σ1iθ～i，k（θ^i，k+θ^qi，k）+

∑Ni=1∑sk=1σ2ic～fi，k（c^fi，k+c^qfi，k）－∑Ni=1∑sk=1e2fi，kμi－

12∑Ni=1∑sk=1w2i1，k+∑Ni=1∑sk=1wi，1kefi，k+

∑Ni=1∑sk=1|efi，k|Mi+0.278 5∑Ni=1∑sk=1εi（θk+cfi，k）（21）

式中：|α·i，k|≤Mi，Mi為未知正常數。

根據Young’s不等式，得

wi，1kefi，k≤12w2i，1k+12e2fi，k

|efi，k|Mi≤2-μi2μie2fi，k+μi4-2μiM2i

θ～i，kθ^i，k≤-12θ～2i，k+12θ2k（22）

令x=1，y=θ～2i，k，m=（1－p）/2，n=（1+p）/2和l=（1+p）/2）^1+p1－p，通過引理3，得

|θ～i，k|^p+1≤1－p21+p21+p1－p+θ～2i，k（23）

綜合式（22）和式（23），可得

θ～i，kθ^i，k≤－12|θi，k|^p+1+12θ2k+1－p41+p21+p1－p（24）

令x=θi，k，y=θ～i，k，滿足x－y=θ^i，kgt;0。根據引理2，可得

θ～i，kθ^qi，k≤－q1+q|θ～i，k|^1+q+q1+qθ^1+qk（25）

則θ～i，k（θ^i，k+θ^qi，k）可寫為

θ～i，k（θ^i，k+θ^qi，k）≤－12|θ～i，k|^1+p－q1+q|θ～i，k|^1+q+

q1+qθ^1+qk+12θ2k+1－p41+p21+p1－p（26）

同理，c～fi，k（c^fi，k+c^qfi，k）可寫為

c～fi，k（c^fi，k+c^qfi，k）≤－12|c～fi，k|^1+p－q1+q|c～fi，k|^1+q+

q1+qc^1+qfi，k+12c2fi，k+1－p41+p21+p1－p（27）

將不等式（22）、式（25）和式（26）代入不等式（21），得

V·≤－k1∑Ni=1∑sk=1|wi，1k|^p+1－k3∑Ni=1∑sk=1|wi，2k|^p+1－

∑Ni=1∑sk=1|efi，k|^p+1τi－∑Ni=1∑sk=1σ1i2|θ～i，k|^p+1－∑Ni=1∑sk=1σ2i2|c～fi，k|^p+1－

k2∑Ni=1∑sk=1|wi，1k|^q+1－k4∑Ni=1∑sk=1|wi，2k|^q+1－∑Ni=1∑sk=1|efi，k|^q+1τi－

∑Ni=1∑sk=1σ1iq1+q|θ～i，k|^q+1－∑Ni=1∑sk=1σ2iq1+q|c～fi，k|^q+1+（28）

式中：

=0.278 5εiN∑sk=1θk+∑Ni=1∑sk=1cfi，k+

∑Ni=1∑sk=1σ1iq1+qθ^1+qk+12θ2k+1-p41+p21+p1-p+

∑Ni=1∑sk=1σ2iq1+qc^1+qfi，k+12c2fi，k+1-p41+p21+p1-p+

s∑Ni=1μi4-2μiM2i（29）

同時，基于假設1，下列不等式成立：

w^T1（HIs）^-1w1≤λmax（H^-1）w^T1w1（30）

即λmin（H）w^T1（HIs）^-1w1≤w^T1w1。

結合式（30）且利用引理4，式（28）可表述為

V·≤-η12^1+p2V1+p2-η22^1+q2（5Ns）^1-q2V1+q2+=

-η′1V1+p2-η′2V1+q2+（31）

式中：η1=min（k1λ-^（p+1）/2，k3，1/τi，（σjiγ^（p+1）/2ji）/2;η2=min（k2λ-^（q+1）/2，k4，1/τi，［σjiq/（1+q）］·γ^（q+1）/2ji），λ-=λmin（H），j=1，2;η1=η′12^（1+p）/2，η2=η′22^（1+q）/2（5Ns）^（1-q）/2。

最終根據引理1，可知系統狀態將會收斂到如下集合：

Ω=xV≤min

η′1（1-κ）21+p，

η′2（1-κ）21+q（32）

固定時間Tf滿足

Tf≤2η′1，κ（1-p）+2η′2κ（q-1）（33）

式中：0lt;κlt;1。

由于w^T1w1≤λ-w^T1（HIs）^-1w1≤2λ-V，λ-=λmax（H），則

Ω′=w1w1≤2λ-min

η′1（1-κ）11+p，

η′2（1-κ）11+q

（34）

根據上述分析，可知當t≥Tf時，多智能體系統的跟蹤誤差將會收斂到集合式（34）中，實現固定時間收斂的編隊跟蹤。同時，可通過選擇合適的控制參數，使得誤差收斂至任意小的鄰域內。證畢

利用反步法逐步設計控制器往往需要上一階虛擬控制律的導數值，這增加了系統計算壓力，進一步觀察固定時間穩定的虛擬控制律αi，k，其導數由|wi，1k|^p－1構成。當wi，1k=0時，α·i，k→∞，即出現奇異現象。因此，本文引入固定時間濾波器，一方面能夠減輕系統計算壓力，另一方面使得控制信號更加光滑。

文獻［22-23］通過設計參數冪次為1的自適應律實現無窮時間或有限時間收斂的編隊控制，但該自適應律并不適用于要求固定時間收斂的系統，因此在自適應律中增添參數冪次大于1的反饋修正項，不僅能夠補償未知項，還可保證系統具備固定時間收斂特性。

觀察收斂時間上界式（33）、收斂集合式（34）以及的表達式，可選擇較大的k1和k2加快編隊誤差收斂，但同時會導致輸入控制量增大;降低參數σi可使收斂集合變小，但自適應參數的更新速率降低，使得形成編隊構型的固定時間收斂上界變大;選擇較小的參數εi有助于收斂集合變小，但會造成虛擬控制律的導數值增大，致使輸入控制量變大;選擇較大的參數τi和μi能使輸出信號更加平滑，但易產生嚴重的滯后現象，導致系統不穩定;選擇合適的參數p和q可增強系統的抗干擾能力，在不增大k1和k2的前提下提高系統控制精度。因此，在選擇參數時，需權衡系統控制精度與瞬態性能，使得誤差收斂時間和收斂集合盡可能小。

4 仿真實驗

本節對提出的參數自適應律及控制律進行仿真校驗，仿真選取3個跟隨者（i=1，2，3）和1個領導者（下標0），通信拓撲圖如圖2所示。

多智能體系統的初始位置和初始速度如表1所示。

多智能體系統的非線性項設定為

f1=－0.005x1

f2=0.001x2

f3=0.002x3（35）

各跟隨者與領導者的期望相對位置設定為

h1=［3，0，3］^T

h2=32，332，32T

h3=-32，332，-32T（36）

領導者速度選定為

v0（t）=0.3+0.05sin t

0.4+0.01cos 2t

0.5+0.02sin 2t（37）

選擇控制參數：k1=k2=2，k3=k4=1，p=0.7，q=1.2，τi=1/70，μi=0.1，εi=0.01，γ1i=0.3，σ1i=0.01，γ2i=0.01，σ2i=0.01（i=1，2，3）。

圖3展示了40 s內跟隨者與領導者的運動軌跡，可以觀察到，多智能體系統在固定時間內形成期望隊形，并保持該隊形運動，實現了編隊跟蹤。

圖4為鄰居編隊跟蹤誤差w1的變化曲線，可以發現，跟蹤誤差在t=2 s時收斂至零域附近。

圖5為各飛行器的控制輸入響應曲線，可知在某些時間段，控制量會突變，這是因為當鄰居編隊跟蹤誤差wi，1k趨于零時，虛擬控制量的導數會趨于無窮大，濾波器可以使輸入信號更加平滑，但是無法完全避免該問題，因此仍然會出現某一時間段控制量小幅突變的情形。

圖6給出了自適應參數θ^i，k的變化情況?？梢园l現，其有界且恒大于零。圖7中，自適應參數c^fi，k的變化情況表明該變量有界且大于零。

為了突出本方法的優點，考慮相同的多智能體系統和控制參數但未引入濾波器的情況，其y方向的控制輸入信號如圖8所示?？梢园l現，控制輸入信號在某一時刻劇增，且上升值較大。而圖5的控制輸入信號上升相對平緩且上升值相對較小，明顯削弱奇異現象。

綜合上述分析，本文所提參數自適應律和控制律能夠解決領導者速度信息非全局已知和非線性項未知的問題，最終實現固定時間收斂的編隊控制。

5 結束語

本文提出一種可參數自適應的固定時間收斂的編隊控制方法，能夠有效解決領導者狀態未知和系統非線性項未知的問題。首先，基于反步法提出各階控制律，以實現編隊跟蹤，且引入了固定時間濾波器，削弱系統的奇異現象。其次，給出參數自適應律，分別估計領導者速度上界及非線性項參數上界。隨后，利用固定時間穩定性理論，證明系統滿足固定時間收斂特性，即該系統能在固定時間內實現編隊跟蹤。下一步工作將考慮研究帶有惡意攻擊或Markovian切換拓撲條件下的編隊控制方法。

參考文獻

［1］KRIEGER G， FIEDLER H， ZINK N， et al. A satellite formation for high resolution SAR interferometry［C］∥Proc.of the European Radar Conference， 2007： 83-86.

［2］HUANG Z P， BAUER R， PAN Y J. Event triggered formation tracking control with application to multiple mobile robots［J］. IEEE Trans.on Industrial Electronics， 2023， 70（1）： 846-854.

［3］OH K K， PARK M C， AHN H S. A survey of multi agent formation control［J］. Automatica， 2015， 53： 424-440.

［4］LUCA C， FABIO M， DOMENICO P， et al. Leader follower formation control of nonholonomic mobilerobots with input constraints［J］. Automatica， 2008， 44（5）： 1343-1349.

［5］王祥科， 李迅， 鄭志強. 多智能體系統編隊控制相關問題研究綜述［J］. 控制與決策， 2013， 28（11）： 1601-1613.

WANG X K， LI X， ZHENG Z Q. Survey of developments on multi agent formation control related problems［J］. Control and Decision， 2013， 28（11）： 1601-1613.

［6］YU Z Q， ZHANG Y M， JIANG B， et al. A review on fault tolerant cooperative control of multiple unmanned aerial vehicles［J］. Chinese Journal of Aeronautics， 2022， 35（1）： 1-18.

［7］DAI S L， HE S， CAI H， et al. Adaptive leader follower formation control of underactuated surface vehicles with guaranteed performance［J］. IEEE Trans.on Systems， Man， and Cybernetics： Systems， 2022， 52（3）： 1997-2008.

［8］ASKARI A， MORTAZAVI M， TALEBI H A. UAV formation control via the virtual structure approach［J］. Journal of Aerospace Engineering， 2015， 28（1）： 04014047.

［9］KIM S， KIM Y. Optimum design of three dimensional behavioural decentralized controller for UAV formation flight［J］. Engineering Optimazation， 2009， 41（3）： 199-224.

［10］REN W， BEARD R W. Consensus seeking in multiagent systems under dynamically changing interaction topologies［J］. IEEE Trans.on Automatic Control， 2005， 50（5）： 655-661.

［11］MASTELLONE S， MEJíA J S， STIPANOVIC D M， et al. Formation control and coordinated tracking via asymptotic decoupling for Lagrangian multi agent systems［J］Automatica， 2011， 47（11）： 2355-2363.

［12］BHAT S P， BERNSTEIN D S. Finite time stability of continuous autonomous systems［J］. SIAM Journal on Control and Optimization， 2000， 38（3）： 751-766.

［13］LI T S， ZHAO R， CHEN C L P， et al. Finite time formation control of under actuated ships using nonlinear sliding mode control［J］. IEEE Trans.on Cybernetics， 2018， 48（11）： 3243-3253.

［14］POLYAKOV A. Nonlinear feedback design for fixed time stabilization of linear control systems［J］. IEEE Trans.on Automatic Control， 2012， 57（8）： 2106-2110.

［15］GAO S N， PENG Z H， LIU L， et al. Fixed time resilient edge triggered estimation and control of surface vehicles for cooperative target tracking under attacks［J］. IEEE Trans.on Intelligent Vehicles， 2023， 8（1）： 547-556.

［16］PAN Z H， ZHANG C X， XIA Y Q， et al. An improved artificial potential field method for path planning and formation control of the multi UAV systems［J］. IEEE Trans.on Circuits and Systems II： Express Briefs， 2022， 69（3）： 1129-1133.

［17］XIONG T Y， GU Z， YI J Q， et al. Fixed time adaptive observer based time varying formation control for multi agent systems with directed topologies［J］. Neurocomputing， 2021， 463： 483-494.

［18］WANG N， LI H. Leader follower formation control of surface vehicles： a fixed time control approach［J］. ISA Transactions， 2022， 124： 356-364.

［19］ZUO Z Y， TANG J C， KE R Q， et al. Hyperbolic tangent function based protocols for global/semi global finite time consensus of multi agent systems［J］. IEEE CAA Journal of Automatica Sinica， 2024， 11（6）： 1381-1397.

［20］張普， 薛惠鋒， 高山， 等. 具有混合執行器故障的多智能體分布式有限時間自適應協同容錯控制［J］. 系統工程與電子技術， 2022， 44（4）： 1220-1229.

ZHANG P， XUE H F， GAO S， et al. Distributed finite time adaptive cooperative fault tolerant control for multi agent systems with integrated actuators faults［J］. Systems Engineering and Electronics， 2022， 44（4）： 1220-1229.

［21］周健， 龔春林， 谷良賢， 等. 非匹配不確定性條件下的編隊分布式協同控制［J］. 系統工程與電子技術， 2019， 41（3）： 636-642.

ZHOU J， GONG C L， GU L X， et al. Distributed synchronization of leader follower systems with unmatched uncertainties［J］. Systems Engineering and Electronics， 2019， 41（3）： 636-642.

［22］YOO S J， PARK B S. Distributed adaptive formation tracking for a class of uncertain nonlinear multiagent systems： guaranteed connectivity under moving obstacles［J］. IEEE Trans.on Cybernetics， 2024， 54（6）： 3431-3443.

［23］ZHOU H D， SUI S， TONG S C. Finite time adaptive fuzzy prescribed performance formation control for high order nonlinear multiagent systems based on event triggered mechanism［J］. IEEE Trans.on Fuzzy Systems， 2023， 31（4）： 1229-1239.

［24］NI J K， SHI P. Adaptive neural network fixed time leader fo llower consensus for multiagent systems with constraints and disturbances［J］. IEEE Trans.on Cybernetics， 2021， 51（4）： 1835-1848.

［25］CHANG S P， WANG Y J， ZUO Z Q， et al. Robust prescribed time containment control for high order uncertain multi agent systems with extended state observer［J］. Neurocomputing， 2023， 559： 126782.

［26］LI G F， WANG X Z， ZUO Z Y， et al." Distributed extended state observer based formation control of flight vehicles subject to constraints on speed and acceleration［J］. IEEE Trans.on Cybernetics， 2024. DOI：10.1109/TCYB.2024.3498912.

［27］LI G F， ZHONG Q L， ZUO Z Y， et al. Performance prescribed cooperative guidance against maneuvering target under malicious attacks［J］. IEEE Trans.on Systems， Man， and Cybernetics： Systems， 2024， 54（12）： 7770-7782.

［28］SUN Y M， ZHANG L. Fixed time adaptive fuzzy control for uncertain strict feedback switched systems［J］. Information Science， 2021， 546： 742-752.

［29］QIAN C J， LIN W. Non Lipschitz continuous stabilizers for nonlinear systems with uncontrollable unstable linearization［J］. Systems amp; Control Letters， 2001， 42（3）： 185-200.

［30］LI G F， TANG Q P， ZUO Z Y， et al." Resilient cooperative guidance for leader follower flight vehicles against maneuvering target［J］. IEEE Trans.on Aerospace and Electronic Systems. DOI：10.1109/TAES.2025.3527418.

作者簡介

李嘉樂（2002—），女，博士研究生，主要研究方向為多飛行器編隊控制。

鐘綺霖（2001—），女，碩士研究生，主要研究方向為多智能體系統控制。

肖 杰（2001—），男，碩士研究生，主要研究方向為多飛行器編隊控制。

李國飛（1991—），男，副教授，博士，主要研究方向為多飛行器協同制導與編隊控制。