２０２４年高考數學試題情境統計與分析

隨著教育現代化的不斷推進，教育領域對學生于真實情境下問題解決能力的關注度日益增長．?普通高中數學課程標準（２０１７年版２０２０年修訂）?明確指出合適的問題情境是考查數學學科核心素養的重要載體．?中國高考評價體系?也闡述了高考評價體系由“一核”“四層”“四翼”構成，其中情境作為高考考查的核心載體，具有承載考查內容與實現考查要求的重要功能．情境化試題作為一類根植于現實生活、融教育于具體問題之中的題型，因其具有寓教于樂、高度開放及靈活多樣的呈現形式等實踐特性，長期以來一直是高考數學試題設計的熱點．鑒于此，本文對２０２４年高考數學試題情境進行統計和分析，為考生高考備考提供啟示．

１ ２０２４年高考數學試題情境分析

１.１ 題型特征

２０２４年的高考數學試卷共有７套，其中情境類題目處于重要地位，具體涉及２道多選題、３道單選題、４道填空題以及５道解答題．解答題在各類題型中占比最大，這一設計旨在深入考查考生在面對現實情境時，靈活運用所學的數學基礎知識與基本技能的能力，并展現出他們解決實際問題的數學思維品質．

１.２ 情境類別特征

試題情境廣泛涉及生活、教育、職業、社會、科學及文化領域，旨在考查考生運用數學知識解決多樣化實際問題的能力．其中，職業情境類試題所占分值最高（３７分），引導考生運用數學知識解決未來職業生涯中的實際問題，凸顯了數學知識在職業生涯中的應用價值．

１.３ 考查知識點特征

所考查的知識點涵蓋函數、幾何與代數、概率與統計三大主題．具體而言，函數主題占９分，幾何與代數主題占１１分，而概率與統計主題則高達１１３分，凸顯了概率與統計知識在解決實際問題中的廣泛應用與重要性．

１.４ 考查分值特征

除天津卷外，其他試題中的情境類試題分數總分均為１２～２３分．其中，新課標卷的情境類試題總分高于全國卷;上海卷的情境類試題總分尤為突出，高達２３分．這體現了情境類試題在新高考中的重要地位，凸顯高考評價的應用性特征．

２ 例析２０２４年高考數學試題情境

２.１ 生活情境

例１ （２０２４年新課標Ⅰ卷１４）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有數字１，３，５，７．乙的卡片上分別標有數字２，４，６，８．兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得１分，數字小的人得０分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用），則四輪比賽后，甲的總得分不小于２分的概率為______．

答案 １/２．

點評 本題以抽取數字卡片比賽為情境，考查古典概型的核心內容．考生需深入分析該情境，將原問題轉化為分析在固定一方選卡順序的條件下，另一方隨機選卡的多種可能情形下甲的總得分情況．運用古典概型的相關知識來求解此問題，這一過程充分展現了轉化與化歸的數學思想方法．試題指向對考生思維深刻性、靈活性的考查，有效評價了考生的邏輯推理與數學運算核心素養，體現了高考試題“少算多思”的設計理念．

２.２ 教育情境

例２ （２０２４年上海卷１９）為了解某地初中學生體育鍛煉時長與學業成績的關系，從該地區２９０００名學生中抽取５８０人，得到日均體育鍛煉時長與學業成績的數據如表２所示．

（１）該地區２９０００名學生中體育鍛煉時長不小于１小時的人數約為多少？

（２）估計該地區初中學生日均體育鍛煉的時長（精確到０.１）．

（３）是否有９５％的把握認為學業成績優秀與日均體育鍛煉時長不小于１小時且小于２小時有關？

附：K２＝ n（ad－bc）２／（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），P （K２≥３.８４１）≈０.０５．

答案 （１）１２５００．（２）０.９．（３）有．

點評 本題以中學生體育鍛煉為情境，將考點聚焦于用樣本估計總體、用頻率估計概率以及獨立性檢驗等核心知識，旨在考查考生綜合運用概率知識解決現實問題的能力．試題通過構建現實情境，引導考生從數學視角分析體育鍛煉時長與學業成績的關聯，運用數學知識建模驗證，體會體育鍛煉的重要性．此過程考查了考生邏輯推理和數學運算的核心素養，展現了數學知識在實踐應用中的廣泛性與深遠意義，凸顯了數學教育在培養學生綜合素養中的價值．

２.３ 職業情境

例３ （２０２４年北京卷１８）某保險公司為了解該公司某種保險產品的索賠情況，從合同保險期限屆滿的保單中隨機抽取１０００份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數據如表３所示．

假設：一份保單的保費為０.４萬元;前３次索賠時，保險公司每次賠償０.８萬元;第４次索賠時，保險公司賠償０.６萬元．假設不同保單的索賠次數相互獨立，用頻率估計概率．

（１）估計一份保單索賠次數不少于２的概率．

（２）一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差．

（ⅰ）記X 為一份保單的毛利潤，估計X 的數學期望E（X ）;

（ⅱ）如果無索賠的保單的保費減少４％，有索賠的保單的保費增加２０％，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數學期望估計值與（ⅰ）中E （X ）估計值的大小（結論不要求證明）．

答案 （１）１／１０．

（２）（ⅰ）０.１２２;（ⅱ）這種情況下一份保單毛利潤的數學期望估計值大于（ⅰ）中E（X ）的估計值．

點評 本題以保險公司保險產品理賠為情境，巧妙融合現實與數學知識，抽取１０００份保單數據作為研究基石，展示了理賠次數及對應的保單數量等統計信息，引導考生運用概率知識計算索賠次數的概率分布和毛利潤的數學期望值，深度檢驗了考生在數據分析、數學模型構建以及解決實際復雜問題方面的綜合能力．此過程不僅激勵考生運用數學思維分析保險領域的現實挑戰，而且顯著體現了高考題目情境化設計的教育價值與導向作用，強調了理論與實踐相結合的重要性．

２.４ 社會情境

例４ （２０２４年新課標Ⅱ卷１８）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃３次，若３次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績為０分;若至少投中１次，則該隊進入第二階段，由該隊的另一名隊員投籃３次，每次投中得５分，未投中得０分．該隊的比賽成績為第二階段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．

（１）若p＝０.４，q＝０.５，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于５分的概率．

（２）假設０＜p＜q．

（ⅰ）為使得甲、乙所在隊的比賽成績為１５分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？

（ⅱ）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？

答案 （１）０.６８６．

（２）（ⅰ）由甲參加第一階段比賽;（ⅱ）由甲參加第一階段比賽．

點評 本題以籃球比賽情境為載體，深入考查概率論的基礎知識體系．涵蓋事件概率的計算、離散型隨機變量及其分布、隨機變量的期望等．要求考生通過對籃球賽制的細致分析，有效閱讀、整合并應用相關信息，綜合運用事件獨立性原理、數學期望理論等概率論知識，同時結合立方差公式、實數大小比較等代數工具，解決實際情境中提出的數學問題．試題設計采用循序漸進的方式，通過層層遞進的設問結構，逐步提升問題的復雜度，不僅有效評估了考生對數學思想方法的掌握程度，還考查了考生的邏輯推理和數學運算等核心素養，確保評價的全面性和準確性．

２.５ 科學情境

例５ （２０２４年上海卷１３）已知氣候溫度和海水表層溫度相關，且相關系數為正數，對此描述正確的是（ ）．

A．氣候溫度高，海水表層溫度就高

B．氣候溫度高，海水表層溫度就低

C．隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢

D．隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢

答案 C．

點評 本題以沿海地區氣溫與海水表層溫度的統計關系為情境，引導考生運用統計相關知識解析生態環境問題，考點聚焦相關系數的意義，考查考生的數學建模、數據分析能力．考生需要依據情境信息，構建氣候溫度和海水表層溫度的統計模型，從而判斷兩變量之間的變化趨勢．

２.６ 文化情境

例６ （２０２４年北京卷１４）漢代劉歆設計的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標準量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱．若升、斗、斛量器的容積成公比為１０的等比數列，底面直徑依次為６５ mm，３２５ mm，３２５ mm，且斛量器的高為２３０mm，則斗量器的高為______mm，升量器的高為______mm（不計量器的厚度）．

答案 ２３，１１５/２ ．

點評 本題以漢代劉歆設計的“銅嘉量”為情境，引導考生運用圓柱的體積和等比數列基本知識構建三種量器的體積模型．試題不僅考查了考生的數學運算素養，而且通過融入豐富的數學文化元素，充分展現了對數學傳統文化的自信與傳承，對激發考生的民族自豪感具有顯著的促進作用，深刻體現了數學教育在培育學生崇高理想信念和正確價值觀方面的重要價值．

３ 備考啟示

縱觀２０２４年新高考數學改革趨勢，試題越來越注重對考生基礎知識、核心素養、關鍵能力的考查，賦予數學問題情境化背景，讓考生通過分析現實情境，抽象出數學研究對象，生成數學思維路徑，進而解決數學現實問題．通過呈現各式各樣與學生實際生活密切聯系的現實情境問題，能夠激發學生思維，打破“機械刷題”“題海戰術”習得的思維定勢，更有利于培養創新意識、應用意識，選拔尖端人才，促進立德樹人根本任務的貫徹落實．

１）注重跨學科知識融合與應用

高考數學情境化試題常常融合多個學科的知識，要求學生具備跨學科的思維能力．在備考過程中，考生應關注數學與其他學科的聯系，廣泛涉獵社會人文、科學技術、醫療健康、工程建筑等諸多領域的知識，感悟跨學科交叉融合的魅力，將數學知識應用于解決真實情境問題，學會在不同學科間建立知識橋梁．教師也可將真實情境元素融入日常教學，借助新聞雜志、影視作品、網絡媒介等渠道，篩選適配學生水平、具有時效性的真實情境問題，提高學生發現問題、提出問題、分析問題以及解決問題的能力．

２）提高閱讀理解與信息處理能力

面對高考數學中的情境化試題，學生需要能夠從復雜的背景信息中提取關鍵數據，并將其轉化為數學問題．然而在考場中，許多考生面對數學問題新情境，既靜不下心閱讀材料、挖掘題目信息，又難以調用創新思維、遷移運用所學知識解決數學問題，導致無從下手、失分嚴重．這啟發教師在日常教學中，不僅要傳授基礎知識、基本技能，還應“授人以漁”，增長學生讀取、篩選、整合信息的本領，增強學生大膽質疑、獨立思考、合作探究的能力，突破學生的畏難心理．考生也應增強自己的閱讀理解能力，提煉有效數據，遷移運用所學知識，抽絲剝繭，化繁為簡，解決情境問題．

３）強化建模觀念，提升核心素養

高考中的情境化題目凸顯了數學在實際應用中的重要性，強調了對考生數學建模核心素養的考查．因此，教師在日常教學中，也應注重給學生滲透建模觀念．教師可仔細研讀、深入挖掘教材中的建模活動，綜合地域特色、學校辦學理念、本班學生學情，組織開展數學微項目制建模活動，向學生展示數學建模的完整流程，給予學生足夠的探索空間，適時提供恰當的指導與幫助，促使學生靈活運用不同學科的知識，解決真實情境問題，體會數學源于生活又服務于生活的道理，切實提升學生自主、合作、探究學習能力，讓數學思維與建模素養在情境化教學中能夠真正落地．

（完）