抓特點(diǎn)破解排列組合題中的重復(fù)與遺漏

關(guān)于排列與組合的應(yīng)用問題，類型多種多樣，且具有條件隱晦、思維抽象且數(shù)據(jù)繁雜、不易驗(yàn)算等特點(diǎn)，造成解題難度較大且容易致錯(cuò)的困境．在解題時(shí)必須區(qū)分清楚是排列問題還是組合問題，特別要注意避免重復(fù)和遺漏．為此，本文著重對(duì)避免重復(fù)和遺漏的常用方法進(jìn)行如下探究，供讀者參考．

１ 特殊位置，先行確認(rèn)

一些問題會(huì)涉及某些位置的特殊安排，對(duì)此必須先行確定這些特殊位置，再安排其他一般位置．

例１ 已知有３名男生與４名女生全體排成一排，其中甲不站最左邊，也不站最右邊，則不同排列方法種數(shù)為______．

解析 甲不能站最左邊與最右邊，即左右兩邊的位置可安排另外６人中的２人，有A２６種排法，而其他位置有A５５種排法，則共有A２ ６A５５＝３６００種不同排列方法．

點(diǎn)評(píng) 通過充分研究問題的特點(diǎn)，從中分析出關(guān)鍵位置的特殊安排，對(duì)此進(jìn)行優(yōu)先考慮，這是正確解題的重要步驟．

例２ ３個(gè)人要坐在一排的８?jìng)€(gè)空座位上，若要求每個(gè)人的左右兩邊都有空座位，則不同的坐法有______種．

解析 此問題可反向思考，即考慮安排５ 個(gè)空座位，其特殊要求是每個(gè)人的左右兩邊都有空座位，這是思考重點(diǎn)，在５個(gè)位置之間的４個(gè)空檔中安排３個(gè)人就坐就能滿足此要求，故共有A３４＝２４種坐法．

點(diǎn)評(píng) 先將問題轉(zhuǎn)化為空座位的安排，再考慮如何就坐，這是避虛就實(shí)的思維轉(zhuǎn)換方式，從另一個(gè)角度分析問題可避免思維僵化．

２ 特殊元素，優(yōu)先考慮

若問題中對(duì)某些元素有特殊安排，則這些元素就是考慮的重點(diǎn)，先分析滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素的安排可妥善解題．

例３ 用數(shù)字０，１，２，３，４，５組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則其中比４００００大的偶數(shù)共有（ ）個(gè)．

A．１４４ B．１２０ C．９６ D．７２

解析 由題意可知，應(yīng)先安排萬位和個(gè)位上的數(shù)，由于偶數(shù)的要求，故要優(yōu)先考慮特殊元素０，２，４的安排，所以萬位數(shù)字只能是４，５，個(gè)位數(shù)字只能是０，２，４．若萬位數(shù)字是５，則有３A３４＝７２個(gè);若萬位數(shù)字是４，則有２A３４＝４８?jìng)€(gè)．

綜上，比４００００大的偶數(shù)共有７２＋４８＝１２０個(gè)，故選B．

點(diǎn)評(píng) 在關(guān)于數(shù)字的排列或組合問題中，若包含數(shù)字０，需特別考慮０不能放在首位，這是正確解題的關(guān)鍵．

例４ A ，B，C，D 四個(gè)家庭各有２個(gè)孩子，共８?jìng)€(gè)孩子，他們準(zhǔn)備分乘甲、乙兩輛汽車出去游玩，要求每輛車限坐４個(gè)孩子（乘同一輛汽車的４個(gè)孩子不考慮位置），且其中A 家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的４個(gè)孩子恰有２個(gè)來自于同一個(gè)家庭的乘坐方式共有（ ）種．

A．１８ B．２４ C．３６ D．４８

解析 根據(jù)題意，A 家庭的孿生姐妹是特殊元素，應(yīng)該優(yōu)先考慮．可分兩種情況討論：第一種，A 家庭的孿生姐妹在甲車上，則甲車上另外的２個(gè)孩子應(yīng)來自不同的家庭，即需在剩下的３個(gè)家庭中任選２個(gè)，再從這每個(gè)家庭的２個(gè)孩子中任選１個(gè)乘坐甲車，有C２３×C１２×C１２＝１２種乘坐方式．第二種，A 家庭的孿生姐妹不在甲車上，則需要在剩下的３個(gè)家庭中任選１個(gè)，讓其２個(gè)孩子都在甲車上，對(duì)于剩余２個(gè)家庭，從每個(gè)家庭的２個(gè)孩子中任選１個(gè)來乘坐甲車，有C１３×C１２×C１２＝１２種乘坐方式．

綜上，共有１２＋１２＝２４種乘坐方式，故選B．

點(diǎn)評(píng) 一般情況下，對(duì)特殊元素的處理需要進(jìn)行分類討論，分類時(shí)應(yīng)關(guān)照特例，做到不重不漏．

３ 相鄰要求，捆綁應(yīng)對(duì)

在一些問題中，若元素相鄰則用捆綁法，若元素不相鄰則用插空法．

例５ 某會(huì)展中心計(jì)劃將１０幅不同的畫在一畫廊并排成一行展出，其中有５幅國(guó)畫、４幅油畫和１幅水彩畫．要求同一類型的畫必須連排在一起，并且水彩畫不放兩端，則共有______種不同的陳列方式．

解析 將同一類型的畫連排在一起，用捆綁法，又水彩畫不放兩端，所以將其看成特殊元素處理．將４幅油畫為一固定組，５幅國(guó)畫為一固定組，因水彩畫只能在中間，故有A２２＝２種排法，油畫內(nèi)部排列有A４４＝２４種，國(guó)畫內(nèi)部排列有A５５＝１２０種，則共有２×２４×１２０＝５７６０種陳列方式．

點(diǎn)評(píng) 相鄰的元素需要優(yōu)先考慮，通過捆綁，就可以將它們看成一個(gè)元素來處理了，但也要考慮不能出現(xiàn)重復(fù)現(xiàn)象．

例６ 某水果超市計(jì)劃在貨架上將甲、乙、丙、丁、戊５種不同的水果排成一列．其中，甲、乙兩種水果必須相鄰，而丙、丁兩種水果則不能相鄰，則共有______種不同的排列方式．

解析 由于要求既有相鄰，又有不相鄰，故先考慮相鄰情況，即先捆綁，再插空．分兩步，將甲、乙捆綁在一起，有A２２＝２種排法，再與戊進(jìn)行全排列，有A２２＝２種排法，將丙、丁插到前面形成的三個(gè)空檔中，有A２３＝６種排法，所以不同的排法共有２×２×６＝２４種．

點(diǎn)評(píng) 相鄰與不相鄰是一類典型問題，這類問題常用先捆綁再插空的思路求解．

４ 順序既定，倍縮處理

求解問題時(shí)要先清楚一些事件是否與順序有關(guān)，如果順序是確定的，應(yīng)該通過倍縮處理，解除順序．需要特別注意平均分組且有序問題中的除序處理．

例７ 某班在星期三上午要上五節(jié)課，計(jì)劃安排語文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)和外語這五門課程．如果數(shù)學(xué)必須比化學(xué)先上，那么有______種不同的課程安排方法．

解析 題目中的“數(shù)學(xué)必須比化學(xué)先上”這一條件，實(shí)際上意味著在排列時(shí)，先不需要考慮數(shù)學(xué)和化學(xué)之間的先后順序．因此，先將語文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)和外語這五門課程進(jìn)行任意的排列組合，有A５５＝１２０種情況，再除去數(shù)學(xué)與化學(xué)之間的順序A２２＝２，則數(shù)學(xué)比化學(xué)先上的排法有１２０÷２＝６０種．

點(diǎn)評(píng) 定不定序問題，經(jīng)常隱藏在題目的字里行間，需要通過仔細(xì)閱讀、細(xì)致分析將其甄別出來．

例８ 現(xiàn)安排３名醫(yī)生和６名護(hù)士去３所學(xué)校為學(xué)生體檢，其中每所學(xué)校需要分配１名醫(yī)生和２名護(hù)士，則共有______種不同的分配方法．

解析 本題需要分四步處理：３名醫(yī)生分為三組無序，有１種方法;６名護(hù)士分為三組，為均勻分組且無序的，有C２ ６C２ ４C２２÷A３３＝１５種方法．又三組醫(yī)生與三組護(hù)士搭配為平均分組有序的，有C１ ３C１２＝６種方法;再將三組醫(yī)生護(hù)士分配到３所不同的學(xué)校，有A３３＝６種方法，于是不同的分配方法共有１×１５×６×６＝５４０種方法．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于平均分組問題，一定要注意是否有序，也就是平均分組后有沒有再一次的排列，如“三組醫(yī)生與三組護(hù)士搭配”就是有序的．

５ 整體思考，剔除個(gè)體

如果一個(gè)問題的主體內(nèi)容比較清楚，但有一些附加條件，在不考慮附加條件的情況下，先計(jì)算出整體的排列數(shù)或組合數(shù)，最后去掉不符合題意的部分．‘

例９ 甲、乙兩人從４門課程中各選修２門，則所選課程中至少有１門不相同的選法共______種．

解析 因?yàn)榧住⒁覂扇藦模撮T課程中各選２門，不同的選法為C２ ４C２４＝３６種，甲、乙兩人所選的２門課程都相同的選法為C２４＝６種．根據(jù)題意，所選的課程都相同的選法不符合要求，應(yīng)該剔除．因此滿足題意的不同選法共有３６－６＝３０種．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于許多關(guān)于“至多”“至少”的問題，可考慮采用“排除法”求解．

本文主要就排列、組合問題中如何避免重復(fù)和遺漏進(jìn)行了探究，結(jié)合典型例題分析介紹了常用的幾種方案．由于排列組合問題相對(duì)復(fù)雜，對(duì)思維能力要求較高，解題方法也形式多樣，同一個(gè)問題從不同的角度去思考也有不同的解法，所以研究和總結(jié)各類題型的解法是睿智的選擇．

（完）