計數問題的常見解題策略

計數問題在高中數學中占據著重要地位，是組合數學的基礎內容．它廣泛應用于概率、排列組合等多個領域，與實際生活中的諸多場景緊密相連，如抽獎、座位安排、資源分配等．然而，計數問題具有較高的抽象性和復雜性，學生在求解時常常感到困惑．因此，深入研究計數問題的常見解題策略，對提高學生的數學學科素養和解題能力具有重要意義．

本文深入探討高中數學計數問題的常見解題策略，包括特殊元素（位置）優先安排、分組分配、隔板法、捆綁法與插空法以及間接法等．通過詳細闡述各策略的原理，并結合具體實例展現其在解決計數問題中的應用，旨在幫助學生系統掌握計數問題的求解思路，提升數學思維與解題能力，為高中數學學習提供有益參考．

１ 特殊元素（位置）優先安排

在許多計數問題中，存在某些特殊元素或特殊位置，它們對計數結果有著關鍵影響．優先考慮這些特殊元素或位置，能有效簡化解題過程．

例１ ７個人站成兩排，前排３人，后排４人，其中甲和乙必須挨著，甲和丙必須分開站，則一共有（ ）種站法．

A．６７２ B．８６４

C．９３６ D．１０５６

分析 分甲站在每一排的兩端和甲不站在每一排的兩端這兩種情況解答即可．

解 當甲站在每一排的兩端時，有４種站法，此時乙的位置確定，剩下的人隨便站，有４A５５＝４８０種站法．當甲不站在每一排的兩端時，有３種站法，此時乙和甲相鄰有２個位置可選，丙和甲不相鄰有４個位置可選，剩下的４ 人隨便站，有３C１ ２C１ ４A４４＝５７６種站法．

綜上，總共有４８０＋５７６＝１０５６種站法，故選D．

點評 因為甲和乙必須挨著，甲和丙必須分開站，所以甲的位置對乙、丙的位置有影響，所以先安排甲的位置，再安排乙、丙，最后再安排其他人．如果問題中有些條件與其他條件相比格外特殊（如對位置有特殊要求），此時就先考慮這些特殊條件，以特殊條件為依據進行分類討論．

２ 分組分配

將不同元素分組，分組后根據需要分配的問題稱為分組分配問題．分組分配問題可分為平均分組、非平均分組和部分平均分組．平均分組需注意去除重復情況．

１）分組分配問題的基本模型

① 無主體分組：如將４本不同的書分成兩堆，每堆２本或將４本不同的書分成兩堆，一堆３本、一堆１本（只是進行分組，不分配）．

② 有主體等分配：如將４本不同的書分給甲、乙兩人，每人２本（分組后分配，存在元素數量相同的組）．

③ 有主體不等分配：如將４本不同的書分給甲、乙兩人，一人３本、一人１本（分組后分配，每組元素數量不同）．

２）有順序與無順序之間的轉換

① 將原本沒有順序的n 個元素，變成一個有順序的n 個元素，需要乘Ann．

② 反之將原本有順序的n 個元素，變成一個沒有順序的n 個元素，需要除以Ann．

３）如何獲得元素主體間的順序

① 若主體間獲得元素個數不同，則主體間有差異，因此主體間是有順序的．

② 若主體間獲得元素個數相同，則主體間沒有差異，因此主體間是沒有順序的．

例２ 已知有６本不同的書，將其分成三堆，每堆２本，有______種不同的分法．

分析 先利用組合知識和分步乘法計數原理得到有區別的三堆，再除以A３３．

解 先從６本書中任?。脖咀鳛橐欢?，有C２６種取法，再從余下的４本書中任取２本作為一堆，再除以平均分堆的重復次數A３３，所以不同的分堆方法的種數為C２ ６C２４／A３３＝１５．

點評 本題將６本不同的書平均分成三堆，因為這三堆無區別，所以要除以A３３．對于將n 個不同的元素進行無主體分組的問題，需按照下列步驟處理．

第一步，將n 個不同的元素分成有順序的若干堆;

第二步，將有順序的堆轉換為無順序的堆;

第三步，根據乘法計數原理，計算出不同分法的種數．

例３ 現有１０本不同的書，分給甲、乙、丙等六人，其中一人得３本、兩人得２本、三人得１本，則不同分法的種數是______（用排列數、組合數表示）．

分析 先按有區別進行分組，再進行分配（即６個元素的全排列），進而根據無順序差異的組數進行求解．

解 先將１０本書分成有順序的６堆，其中第１堆為３本書，第２，３堆為２本書，第４，５，６堆為１本書，則有C３ １０C２ ７C２ ５C１ ３C１ ２C１１種情況;然后將甲、乙、丙等六人也進行排序，有A６６種情況．而得２本書的兩人和得１本書的三人并無順序差異，因此要除以A２２，再除以A３３．

綜上，不同分法的種數是C３ １０C２ ７C１ ３C１ ２C１ １A６６／A２ ２A３３．

點評 因為得２本書的兩人和得１本書的三人并無順序差異，因此要除以A２ ２A３３，進行去序．對于將n 個不同的元素進行有主體分配的問題，需按照下列步驟處理．

第一步，將n 個不同的元素分成有順序的若干堆;

第二步，排列獲得元素的主體的順序;

第三步，根據乘法計數原理，計算出不同分法的種數．

３ 隔板法

隔板法適用于將相同元素分配給不同對象的問題，通過在元素之間插入隔板來劃分不同對象所得的元素數量．如將若干個相同的球放入不同的盒子，可利用隔板法快速確定放法的種類，關鍵在于正確理解隔板與元素、盒子之間的對應關系．

１）將m 個相同元素分配給n 個人（n≤m ），每人至少１個．

按以下思路求出不同分配方法的種數：先將m 個元素排成一列，中間有m －１個空，然后把n－１個隔板放入m －１個空中即可把所有元素分為n 組，再依次把n 組元素分配給n 個人即可，于是總的分法有Cnm－－１１種，這種處理問題的方法稱為隔板法．

２）將m 個相同元素分配給n 個人（n≤m ），可以有人分不到．

此時可以采用化歸的思路處理．先借過來n 個元素，給每個人分一個，于是問題就轉化為將m ＋n 個相同元素分配給n 個人，每人至少１個，分完之后每個人再扣除一個即可，于是總的分法有Cn－１ m ＋n－１種．

例４ 把９個完全相同的口罩分給６名同學，每人至少１個，則不同的分法有（ ）種．

A．４１ B．５６ C．１５６ D．２５２

分析 問題可轉化為將９個完全相同的口罩排成一列，再分成６堆，每堆至少１個，求其方法數，利用隔板法進行求解．

解 事實上，只需在上述９個完全相同的口罩所產生的８個“空檔”中選出５個“空檔”插入擋板，即可求得符合要求的方法數，有C５８＝５６種，故選B．

點評 該題的實質是將９個相同的元素分成６堆，每堆至少１個，所以可以用隔板法解決．對于相同元素的分組分配問題采用隔板法處理時，要注意“空檔”的數目．

例５ 已知非負整數x１，x２，x３，x４，x５ 滿足x１＋x２ ＋x３ ＋x４ ＋x５ ＝１０，則不同的有序實數對（x１，x２，x３，x４，x５）有______種可能．

分析 首先將問題轉化為正整數x１＋１，x２＋１，x３＋１，x４＋１，x５＋１滿足（x１＋１）＋（x２＋１）＋（x３＋１）＋（x４＋１）＋（x５＋１）＝１５，再利用隔板法進行求解．

解 因為x１＋x２＋x３＋x４＋x５＝１０，所以（x１＋１）＋（x２＋１）＋（x３＋１）＋（x４＋１）＋（x５＋１）＝１５．于是問題轉化為正整數x１＋１，x２＋１，x３＋１，x４＋１，x５＋１滿足（x１＋１）＋（x２＋１）＋（x３＋１）＋（x４＋１）＋（x５＋１）＝１５，則不同的有序實數對（x１＋１，x２＋１，x３＋１，x４＋１，x５＋１）有多少種可能．把１５個１排成１列，放入４個隔板即可，故滿足條件的有序實數對共有C４ １４＝１００１種可能．

點評 因為該題是非負整數解的可能數，無法直接利用隔板法，要轉化為正整數解的可能數進行求解．正整數解的可能數實質是相同元素的分組分配問題，采用隔板法處理時要注意“空檔”的數目，這是解題的關鍵．

４ 捆綁法與插空法

捆綁法用于處理某些元素必須相鄰的情況，將相鄰元素捆綁為一個整體進行排列，然后再考慮內部順序．插空法用于處理部分元素不相鄰的問題，先排列其他元素，再將不相鄰元素插入已排好元素的空隙中．

例６ 用０，１，２，３，４這五個數字組成無重復數字的五位數，數字１和３相鄰的個數為______．

分析 根據１和３相鄰，采用捆綁法可得結果．

解 先將１和３打包成a，再讓０，２，４，a 構成一個四位數，則有C１３×A３３＝１８種情況．再讓１和３內部排序，有２種情況．因此數字１和３相鄰的無重復數字的五位數的個數為１８×２＝３６．

點評 對于元素相鄰問題采用捆綁法，但是不要忘記相鄰元素內部的排列．

例７ A ，B，C，D ，E，F 這６名同學站成一排照相，要求A 與C 相鄰，且A 排在C 的左邊，B 與D 不相鄰，則這６名同學站隊的不同排法數為（ ）．

A．７２ B．４８ C．３６ D．２４

分析 采用捆綁法和插空法一起求解可得結果．

解 因為A 與C 相鄰，且A 排在C 的左邊，所以把A 與C 看成一個整體與E，F 先排，有A３３種排法;因為B 與D 不相鄰，所以采用插空法，有４個空位，從中選２個安排B，D ，有A２４種排法，則這６名同學站隊的不同排法共有A３ ３A２４＝７２種，故選A．

點評 因為該題是某些元素不相鄰和某些元素相鄰的綜合問題，應先利用捆綁法處理相鄰問題，再利用插空法處理不相鄰問題．

５ 間接法

當直接計算某事件的方法數較為困難時，可考慮間接法，即先計算總情況數，再減去不符合要求的情況數．例如，在計算滿足特定條件的排列組合數時，先求出所有可能的排列組合數，再減去不滿足條件的部分，得到符合要求的計數結果．正難則反是非常重要的數學思想，對于某些問題，如果直接從問題的正面去分析過于煩瑣，那么可以嘗試分析問題的反面，從而達到簡化分析過程的目的．

例８ 用１，２，３，４，５，０組成數字不重復的六位數，滿足１和２不相鄰、５和０不相鄰，則這樣的六位數的個數為______．

分析 計算出１，２，３，４，５，０組成數字不重復的六位數的個數、１和２相鄰的六位數的個數、５和０相鄰的六位數的個數、１和２相鄰且５和０相鄰的六位數的個數，利用間接法求解即可．

解 用１，２，３，４，５，０組成數字不重復的六位數共有A６６－A５５＝６００個．而１和２相鄰的六位數共有A５ ５A２２－A４ ４A２２＝１９２ 個，５ 和０ 相鄰的六位數共有A５ ５A２２－A４４＝２１６個，１和２相鄰且５和０相鄰的六位數的個數共有A４ ４A２ ２A２２－A３ ３A２２＝８４個，即滿足１和２不相鄰、５和０不相鄰的六位數的個數為６００－１９２－２１６＋８４＝２７６．

點評 本題主要考查了利用間接法求不相鄰的數字排列問題．對于排列組合問題，如果從正面去解決比較困難，那么可以采用正難則反的策略．簡單說，就是換個思路，從反面去考慮，這其實就是取補集的思想．當題目中出現“至多”或“至少”這樣的字眼時，就可以考慮用間接法解題．

特殊元素（位置）優先安排、分組分配、隔板法、捆綁法與插空法以及間接法是高中數學計數問題中常用的解題策略．通過對這些策略的熟練掌握與靈活運用，學生能夠突破計數問題的重重難關，提高解題的準確性與效率．在學習過程中，學生應注重分析與歸納各類問題，理解各策略的適用場景，通過適當練習加深對解題策略的理解與感悟．同時，教師在教學中應加強對計數問題解題策略的指導，引導學生從不同角度思考問題，培養學生的數學思維與創新能力，為學生在數學領域的深入學習與探索奠定堅實的基礎．

（完）