淺談排列組合問題中的不同求解方法

排列組合問題作為數(shù)學(xué)中的一個重要組成部分，在近幾年新高考中逐漸成為重點考查內(nèi)容．它既是古典概率問題求解的基礎(chǔ)，也因解法多樣、思路靈活而富有挑戰(zhàn)性，對學(xué)生的邏輯推理和思維能力有較高要求．解決排列組合問題的一般思路如下．

１）認(rèn)真審題，明確目標(biāo)任務(wù);

２）判斷是采取分步計數(shù)、分類計數(shù)還是兩者結(jié)合的方法，并確定具體的步驟;

３）解析每一步或每一類是屬于排列（有序）還是組合（無序）問題，并明確涉及的元素總數(shù)和需要選取的元素數(shù)量．

在應(yīng)對復(fù)雜的排列組合問題時，有時需要將分類計數(shù)和分步計數(shù)進(jìn)行結(jié)合，因此熟練掌握并運用一些常用的解題策略顯得尤為重要．本文結(jié)合實例，解析一些常用的解題方法．

１ 合理分類與準(zhǔn)確分步策略

合理分類與準(zhǔn)確分步是解決排列組合問題的基礎(chǔ)，合理分類用于將問題分解成獨立的、不重疊的情況，使得每種情況可以獨立計算;準(zhǔn)確分步則是在每種分類下，按步驟逐次相乘．

例１ 某學(xué)校開設(shè)了４門體育類選修課和４門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這８門課中選修２門或３門課，并且每類選修課至少選修１門，則不同的選課方案共有______種（用數(shù)字作答）．

解析 核心問題在于確定選課方案．依據(jù)“８門課中選修２門或３門課”可知需要進(jìn)行分類討論，每種分類下含有的約束條件為“體育類和藝術(shù)類必須選修１門”．

如果學(xué)生選修２門，則選課方案的種類為C１ ４C１４＝１６種．

如果學(xué)生選修３門，則又可分為體育類選１門和２門兩種情況．若體育類選擇１門，則選課方案的種類為C１ ４C２４＝２４種;若體育類選擇２門，則選課方案的種類為C２ ４C１４ ＝２４種．

綜上，不同的選課方案共有１６＋２４＋２４＝６４種．

點評 本題是簡單的計數(shù)問題，考查的是學(xué)生對于分步計數(shù)和分類計數(shù)的理解，以及從現(xiàn)實情境中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力．

２ 特殊元素（或位置）優(yōu)先安排策略

特殊元素（或位置）優(yōu)先安排是指在解決排列組合問題時，針對某些特定元素（或位置）的特殊排列要求優(yōu)先安排，以滿足題目的約束條件．

例２ 用數(shù)字１，２，３，４，５組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為（ ）．

A．２４ B．４８ C．６０ D．７２

解析 要解決的問題是５個數(shù)字組成的奇數(shù)個數(shù)，需要采取分步法，關(guān)鍵在于怎么分步．組成的數(shù)字為奇數(shù)，所以末位有約束條件，只能為１，３，５中的一個，共有C１３種;其他位置是有序排列問題，共有A４４種排列．最后根據(jù)分步計數(shù)原理進(jìn)行計算即可．若運用特殊元素法，則需要根據(jù)分步計數(shù)原理進(jìn)行計算

方法１ （特殊位置法）先排末位，共有C１３種排法，其他位置有A４４種排法．因此，奇數(shù)的個數(shù)為C１ ３A４４ ＝７２，故選D．

方法２ （特殊元素法）特殊元素：１，３，５．

若１排在末位，則其他元素排列共有A４４排法;同理，當(dāng)３或５排末位時，其他元素排列也有A４４種排法．因此，奇數(shù)的個數(shù)為A４４＋A４４＋A４４＝３×A４４＝７２，故選D．

點評 若從特殊位置出發(fā)運用的優(yōu)先法，先滿足特殊位置的要求，再分析其他位置．若從特殊元素出發(fā)，則需要先安排特殊元素，再處理其他元素．

例３ 有５名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選２人參加服務(wù)，則恰有１人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為______．

解析 根據(jù)“服務(wù)兩天、每天兩人”可以確定有４個位置，特殊位置可以看為“有２個位置元素完全一致”．特殊元素是“某名志愿者”．

方法１ （特殊位置法）先確定特殊位置“有２個位置元素完全一致”．已知任意１個位置有C１５種選法，則特殊位置一共有C１５＝５種;剩下還有２個位置，從剩下的４個人中任選２個分別參加周六和周日的社區(qū)服務(wù)，則有A２４＝１２種選法，根據(jù)分步計數(shù)原理，共有５×１２＝６０種選法．

方法２ （特殊元素法）設(shè)５名志愿者分別為a，b，c，d，e，如果a 連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，再從剩余的４人抽?。踩烁鲄⒓有瞧诹c星期天的社區(qū)服務(wù)，共有A２４＝１２種選法，同理，b，c，d，e 連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，也各有１２種方法．

綜上，共有５×１２＝６０種選法．

點評 與例２相比，例３中的特殊位置并不明顯，隱藏在題干的約束條件中．問題看似不能用優(yōu)先法求解．但如果仔細(xì)分析，可以發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)仍為特殊位置問題．因此，在解題時，要分析限制條件，從中找出特殊元素或者特殊位置．此外，還要正確辨別元素和位置，切勿將兩者混淆，導(dǎo)致解題思路出現(xiàn)混亂．

３ 相鄰問題捆綁處理策略

當(dāng)問題中出現(xiàn)某些元素需相鄰的要求時，將這些元素捆綁成一個整體，并將其視作一個單獨的元素參與排列．此方法的核心在于將相鄰元素的組合固定后，再計算元素的排列方式．

例４ 有甲、乙、丙、丁、戊５名師生站成一排拍照，若乙和丙相鄰，則一共有______種不同的排列方式．

解析 乙和丙必須相鄰，對兩者進(jìn)行捆綁，有A２２種捆綁方式;然后對元素進(jìn)行全排列，有A４４種排法．最后，根據(jù)分步計數(shù)原理計算，乙和丙相鄰共有A２ ２A４４＝４８種排列方式．

點評 捆綁問題的特征在于相鄰元素．求解時先確定捆綁方式的種類，然后再對所有元素進(jìn)行排列．因為將相鄰元素進(jìn)行了捆綁，所以捆綁后的元素要比捆綁前少，進(jìn)行計算時要注意元素總數(shù)的變化．

４ 不相鄰問題插空處理策略

當(dāng)題目要求某些元素彼此不相鄰時，先安排其他不受限制的元素，形成間隔空位，然后在這些空位中插入不相鄰的元素．

例５ 有甲、乙、丙、丁、戊５名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則共有______種不同的排列方式．

解析 因為丙和丁兩者相鄰，所以先將丙和丁捆綁，將兩者看成一個元素，有A２２種捆綁方式;將其和乙、戊一起排列時，有A２ ２A３３種排列方式．為保證甲不在兩端，則甲只能采取插空的方式，有２種方式，因此，共有２×A２ ２A３３＝２４種不同的排列方式．

點評 題目雖然沒有出現(xiàn)提示語不相鄰，但依據(jù)甲不站在兩端可以推斷該題仍為插空問題．求解時先排列不受限制的元素，以形成空隙，這些空隙成為不相鄰元素的可插入位置．接著，將要求不相鄰的元素分別插入這些間隔中，從而確保它們不相鄰．

５ 定序問題倍縮策略

定序問題，即在元素的排列中，某些元素之間的順序是固定的．定序問題的倍縮法是一種用于解決部分元素順序已固定的排列問題的策略．如果要對n 個元素排序，不考慮其中m 個元素的順序或其中m 個元素順序一定，則情況數(shù)為n 個元素的全排列除掉m個元素的全排列．

例６ 有４名男生，３名女生，其中３名女生高矮各不相同，將７名學(xué)生排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列（不一定相鄰），則共有______種不同的排法．

解析 題干中出現(xiàn)３名女生必須從矮到高排列，說明該題共有７名學(xué)生，其中３名女生定序的問題．所有元素的全排列有A７７種，定序元素的全排列有A３３種，按照從左到右，女生從矮到高的排列只是其中的一種，故有A７７／A３３＝８４０種不同的排法．

點評 對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列．要注意區(qū)分定序和相鄰、不相鄰問題的區(qū)別．定序問題不一定是相鄰問題，僅僅強調(diào)元素之間具有一定的順序．

（完）