概率統計中賽制問題的求解思路

概率統計問題是近年來高考數學中的熱點內容，其綜合性強、靈活性高，既考查學生的數學基礎，又注重考查邏輯推理與實際應用能力．其中，賽制問題作為概率統計的典型應用場景，以其貼近生活的背景和豐富的變式，常常成為試題的亮點與難點．這類問題不僅要求學生掌握概率的基本概念和公式，還需要在動態變化的賽程中提煉規律、建模分析，從而完成對數據的科學推斷和合理預測．本文通過梳理賽制問題的類型和特點，逐步探討如何從題目背景中挖掘有效信息、建立數學模型，從而通過概率與統計的方法解決問題．

１ 解題總體思路

對于賽制中的概率統計問題，遵循如下步驟．

１）規則理解．解答賽制問題的第一步是準確理解題目給出的比賽規則，包括比賽流程、勝負條件和晉級規則等．

２）目標引領．在理解比賽規則后，要明確題目要求解決的核心問題，準確識別出題目中的核心要求，然后將其與比賽規則結合，確定解決問題的方向．

３）構建數學模型．用概率知識求解問題，注意當問題較為復雜時，可以采用逆向思維，即求解對立事件的概率，然后利用概率的互補性求解目標事件的概率．該步驟的求解關鍵在于能夠正確選用概率模型．

２ 概率統計中常見賽制

２.１ 淘汰制

淘汰制是指在比賽中，每輪比賽結束后，部分選手將被淘汰，直至最終決出勝者的一種賽制．常見的淘汰制包括單敗淘汰和雙敗淘汰．對于淘汰制，解答的關鍵就是列舉出符合條件的基本事件．

例１ （２０２０年全國Ⅰ卷理１９）甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下．累計負兩場者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空;每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰;當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束．經抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空．設每場比賽雙方獲勝的概率都為１／２．

（１）求甲連勝四場的概率;

（２）求需要進行第五場比賽的概率;

（３）求丙最終獲勝的概率．

解析 （１）甲連勝四場的概率P ＝（１／２）４＝１／１６．

（２）記事件A 為該場比賽甲贏，事件B 為該場比賽乙贏，事件C 為該場比賽丙贏，則四場內結束比賽的概率為P′＝P（AAAA）＋P（BBBB）＋P（ACCC）＋P（BCCC）＝１／１６＋１／１６＋１／１６＋１／１６＝１／４，所以需要進行第五場比賽的概率為１－P′＝３／４．

（３）丙最終獲勝的情況為（從第二場比賽開始）負空勝勝、勝勝勝、勝勝負勝、勝負空勝，對應的概率分別為１／８，１／８，１／１６，１／８，所以丙贏的概率為１／８＋１／８＋１／１６＋１／８＝７／１６．

點評 該題第（１）問較為簡單，第（２）問和第（３）問具有一定的難度，需要學生正確理解比賽規則，列舉出所有符合條件的基本事件．本題屬于雙敗淘汰問題，基本條件更為復雜，這也是該題的難點所在．

２.２ 連勝制

連勝制即選手需在比賽中保持連續的勝利，達到規定的連勝場次即可獲勝或晉級．與淘汰制類似，解答的關鍵也是列舉出符合條件的基本事件．

例２ （２０２２年全國乙卷理１０）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p１，p２，p３，且p３＞p２＞p１＞０．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（ ）

A．p 與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關

B．該棋手在第二盤與甲比賽，p 最大

C．該棋手在第二盤與乙比賽，p 最大

D．該棋手在第二盤與丙比賽，p 最大

解析 該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤．記該棋手在第二盤與甲比賽，且連勝兩盤的概率為p甲，則p甲＝２（１－p２）p１p３＋２p２p１（１－p３）＝２p１（p２＋p３）－４p１p２p３．

記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為p乙，則p乙＝２（１－p１）p２p３＋２p１p２（１－p３）＝２p２（p１＋p３）－４p１p２p３．

記該棋手在第二盤與丙比賽，且連勝兩盤的概率為p丙，則p丙＝２（１－p１）p３p２＋２p１p３（１－p２）＝２p３（p１＋p２）－４p１p２p３．

綜上，可得

p甲－p乙＝２p１（p２＋p３）－４p１p２p３－[２p２（p１＋p３）－４p１p２p３]＝２（p１－p２）p３＜０，p乙－p丙＝２p２（p１＋p３）－４p１p２p３－[２p３（p１＋p２）－４p１p２p３]＝２（p２－p３）p１＜０，即p甲＜p乙，p乙＜p丙，則該棋手在第二盤與丙比賽，p 最大，選項D正確，選項B和C錯誤．p 與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序有關，選項A 錯誤，故選D．

點評 該題為連勝賽制，因為事件相互獨立，所以考查的仍為獨立事件概率的計算．在分析規則時，要能夠挖掘出隱藏信息，因為在三盤中連勝兩盤，則第二盤為必勝盤．依據該信息羅列比賽狀況，然后完成相關的計算．

２.３ 積分制

在積分制中，參賽者通過比賽獲得積分，積分的高低決定了選手在比賽中的成績和排名．

例３ 甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得１０分，負方得０分，沒有平局．在三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為０.５，０.４，０.８，各項目的比賽結果相互獨立．

（１）求甲學校獲得冠軍的概率;

（２）用X 表示乙學校的總得分，求X 的分布列與期望．

解析 （１）設甲在三個項目中獲勝的事件依次為A ，B，C，所以甲學校獲得冠軍的概率為P（ABC）＋P（-ABC）＋P（A-BC）＋P（AB-C）＝０.５×０.４×０.８＋０.５×０.４×０.８＋０.５×０.６×０.８＋０.５×０.４×０.２＝０.１６＋０.１６＋０.２４＋０.０４＝０.６．

（２）依題可知X 的所有可能取值為０，１０，２０，３０，所以P（X ＝０）＝０.５×０.４×０.８＝０.１６，P（X ＝１０）＝０.５×０.４×０.８＋０.５×０.６×０.８＋０.５×０.４×０.２＝０.４４，P（X ＝２０）＝０.５×０.６×０.８＋０.５×０.４×０.２＋０.５×０.６×０.２＝０.３４，P（X ＝３０）＝０.５×０.６×０.２＝０.０６，即X 的分布列如表１所示．

E（X ）＝０×０.１６＋１０×０.４４＋２０×０.３４＋３０×０.０６＝１３．

點評 求解本題的關鍵仍在于將規則轉化為符合條件的基本事件，然后求解獨立事件的概率

通過觀察以上常見賽制題，可以發現對于這類概率問題，無論賽制如何變化，求解的思路“不離其宗”，首先需要依據比賽規則，列舉出賽況，然后根據題意，選擇出合適的基本事件，最后運用概率公式完成求解．因為比賽涉及的基本事件具有獨立性，試題考查獨立事件概率的計算，需要重點掌握該部分的知識．

本文系江蘇省泰州市“十四五”教育科學規劃２０２１年度立項課題?數據分析素養培養的實踐研究?（課題編號：tzyblx２０２１Ｇ００７）研究成果．

（完）