高中數學概率統計常見題型及思路點撥

審視近年來的高考試題趨勢，不難發現概率統計問題越來越傾向于與社會實際緊密相連，往往以現實生活場景作為命題背景，考查知識的綜合運用能力．命題著重檢驗考生從數據中提取信息、分析數據特征以及運用統計方法處理數據的能力．本文以高中數學概率統計的常見題型為例，分析相關問題的求解思路，供讀者參考．

１ 概率與統計圖表相結合

這類問題是高中數學概率統計部分的一種常見題型．解題時首先要理解圖表所包含的信息，然后運用概率統計的基本概念、公式和方法求解．

例１ 在某地區進行流行病學調查，隨機調查了１００位某種疾病患者的年齡，得到樣本數據的頻率分布直方圖（如圖１）．

（１）估算該地區這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數據用該組區間的中點值來代表）．

（２）估計該地區一位這種疾病患者的年齡位于區間[２０，７０）的概率．

（３）已知該地區這種疾病的患病率為０.１％，該地區年齡位于區間[４０，５０）的人口占該地區總人口的１６％．從該地區任選一人，若此人年齡位于區間[４０，５０），求此人患該種疾病的概率（用樣本數據中的患者年齡位于各區間的頻率作為患者年齡位于該區間的概率，結果需要精確到０.０００１）．

解析 （１）平均年齡為（５×０.００１＋１５×０.００２＋２５×０.０１２＋３５×０.０１７＋４５×０.０２３＋５５×０.０２０＋６５×０.０１７＋７５×０.００６＋８５×０.００２）×１０＝４７.９歲．

（２）設事件A 為“該地區一位這種疾病患者的年齡位于區間[２０，７０）”，則P（A）＝１－P（-A ）＝１－（０.０１＋０.００２＋０.００６＋０.００２）×１０＝１－０.１１＝０.８９．

（３）設事件B 為“任選一人年齡位于區間[４０，５０）”，事件C 為“任選一人患這種疾病”，由條件概率公式可得P（C|B）＝P（BC）／P（B）＝０.１％×０.０２３×１０／１６％ ＝０.００１×０.２３／０.１６ ＝０．００１４３７５≈０．００１４．

點評 求解這類問題時，要從題目條件或統計圖表中提煉出所需要的信息，再進行正確計算．

２ 科學決策類問題

求解這類問題的關鍵在于根據題干信息抽象出數學模型，進而正確選擇統計量，如數學期望、方差、最值等，并依據統計量的數值合理進行決策．

例２ 某工廠近期完成了生產線的智能化升級改造．為評估改造效果，工廠決定從甲、乙兩個車間生產的產品中隨機抽?。保担凹M行檢驗．具體結果如表１所示．

（１）填寫列聯表（如表２）．

是否有９５％的把握認為兩個車間產品的優級品率存在差異？ 是否有９９％的把握認為兩個車間產品的優級品率存在差異？