聚焦概率統(tǒng)計熱點 提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

概率統(tǒng)計是高中數(shù)學(xué)中的核心內(nèi)容，通過學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計，能夠鍛煉學(xué)生收集、整理、分析信息的能力．離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征常常以解答題的形式出現(xiàn)在高考中，這類題目旨在考查學(xué)生的閱讀理解能力、邏輯推理能力、數(shù)據(jù)分析能力，因此是歷年高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容．本文精選了幾類具有代表性的題型，闡述該類題型的常見考點及應(yīng)對策略．

１ 離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)及應(yīng)用

離散型隨機(jī)變量的分布列具備兩大核心特性：一是所有可能取值的概率之和等于１;二是離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)的概率，等于它取這個范圍內(nèi)各個值之和．在實際問題中，可以充分利用這兩大特性，并通過邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算來求解相關(guān)的概率問題，并驗證結(jié)果的正確性．

例１ 已知離散型隨機(jī)變量X 的分布列如表１所示，則m ＝ ______．

解析 由題意可得m２＋２m２＋（１－２m ＋m２）＋（１－３m ）＝１，化簡整理得４m２－５m ＋１＝０，解得m ＝１或１／４．

當(dāng)m ＝１時，２m２＝２＞１，１－３m ＝－２＜０，不符合要求．

當(dāng)m ＝１／４時，m２＝ １／１６，２m２＝１／８，１－２m ＋m２＝９／１６，１－３m ＝１／４，符合要求，所以m ＝１／４．

點評 本題考查利用分布列的性質(zhì)求解參數(shù)的值，要根據(jù)分布列的性質(zhì)（即概率之和為１）列出方程，然后求解一元二次方程．

２ 求離散型隨機(jī)變量的分布列

在求解離散型隨機(jī)變量X 的分布列時，可遵循如下步驟：首先，深入理解隨機(jī)變量X 所代表的實際含義，明確X 的所有可能取值;其次，計算X 每個可能取值的概率，這是求分布列的核心環(huán)節(jié)，也是最為復(fù)雜和具有挑戰(zhàn)性的部分，因此必須仔細(xì)審題，準(zhǔn)確理解題目中的條件和要求，同時靈活運(yùn)用計數(shù)原理、古典概率等數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理和計算;最后，列出X的分布列．

例２ 算盤是我國古代一項偉大的發(fā)明，是一類重要的計算工具．如圖１所示，算盤多為木制，內(nèi)嵌有九至十五根直桿（簡稱檔），自右向左分別表示個位、十位、百位梁上面一粒珠子（簡稱上珠）代表５，梁下面一粒珠子（簡稱下珠）代表１，五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小．例如，個位撥動一粒上珠、十位撥動一粒下珠至梁上，表示數(shù)字１５．現(xiàn)將算盤的個位、十位、百位分別隨機(jī)撥動一粒或兩粒珠子至梁上．

（１）設(shè)事件A 為“表示的三位數(shù)能被５整除”，B為“表示的三位數(shù)能被３整除”，求事件A ，B 發(fā)生的概率;

（２）求隨機(jī)變量“表示的三位數(shù)除以３的余數(shù)（能整除時記余數(shù)為０）”的概率分布列．

解析 （１）根據(jù)題設(shè)，首先將算盤的個位、十位、百位分別隨機(jī)撥動一粒或兩粒珠子至梁上，因此各位上數(shù)字可以是１，２，５，６，三位數(shù)的個數(shù)是４３＝６４，要使得組成的三位數(shù)能被５整除，則只需個位數(shù)是５．因為這些數(shù)中個位數(shù)是５的數(shù)的個數(shù)為４２＝１６，所以事件A 發(fā)生的概率P （A ）＝１６／６４＝１／４．要使得組成的三位數(shù)能被３整除，則數(shù)字組合有１２６，１５６，２２５，５５２，１１１，２２２，５５５，６６６，共８種，因此滿足條件的三位數(shù)有２A３３＋２A１３＋４＝２２個，所以事件B 發(fā)生的概率P（B）＝２２／６４＝１１／３２，故P（A）＝１／４，P（B）＝１１／３２．