平面二部圖的Clar覆蓋多項(xiàng)式

摘要：Clar覆蓋多項(xiàng)式是表征分子圖共軛體系電子結(jié)構(gòu)的一種方法。通過研究平面二部圖的Clar覆蓋多項(xiàng)式，可以深入探討相關(guān)分子圖的共振理論及其性質(zhì)。基于平面二部圖的Clar覆蓋多項(xiàng)式的相關(guān)定理，利用生成函數(shù)的方法計(jì)算平面二部圖的Clar覆蓋多項(xiàng)式；推導(dǎo)出一類特殊圖的Clar覆蓋多項(xiàng)式的遞推關(guān)系，并利用生成函數(shù)的方法計(jì)算兩類Cata型平面二部圖的Clar覆蓋多項(xiàng)式的顯式表達(dá)式。根據(jù)平面二部圖的Clar覆蓋多項(xiàng)式，可以了解化學(xué)分子的電子結(jié)構(gòu)，預(yù)測其化學(xué)性質(zhì)和反應(yīng)行為，并設(shè)計(jì)新的分子結(jié)構(gòu)。

關(guān)鍵詞：平面二部圖；Clar覆蓋多項(xiàng)式；遞推關(guān)系；顯式表達(dá)式

中圖分類號：O157.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

本文引用格式：劉瑩，王廣富，高新宇. 平面二部圖的Clar覆蓋多項(xiàng)式[J]. 華東交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2025，42（1）：120-126.

The Clar Covering Polynomials of Plane Bipartite Graphs

Liu Ying1， Wang Guangfu2， Gao Xinyu1

（1. School of Science， East China Jiaotong University， Nanchang 330013， China; 2. School of Mathematics and

Information Scienes， Yantai University， Yantai 264000， China）

Abstract： The Clar covering polynomial of molecular graphs is a method to characterize the electronic structure of conjugated systems. By studying the Clar covering polynomials of plane bipartite graphs， the resonance theory of related molecular graphs and their properties can be thoroughly investigated. Based on the theorem related to Clar covering polynomials of plane bipartite graphs， the method of generating functions is utilized to compute Clar covering polynomials of plane bipartite graphs. Recurrence relationship for Clar covering polynomials of a special class of graphs are derived. In turn， explicit expressions the Clar covering polynomials of two classes of catacondensed plane bipartite graphs are computed using the generating function method. On the Clar covering polynomials of plane bipartite graphs， it is possible to understand the electronic structure of chemical molecules， predict their chemical properties and reaction behavior， and design new molecular structures.

Key words： plane bipartite graphs; the Clar covering polynomial; recurrence relations; explicit expressions

Citation format： LIU Y， WANG G F， GAO X Y. The Clar covering polynomials of plane bipartite graphs[J]. Journal of East China Jiaotong University， 2025， 42（1）： 120-126.

化學(xué)圖論作為圖論的一個(gè)重要分支，在過去幾十年中受到了廣泛關(guān)注。化學(xué)圖論中的模型用圖結(jié)構(gòu)表示分子，用頂點(diǎn)表示原子，用邊表示原子間的化學(xué)鍵。通過研究模型中的一些指數(shù)，可以更方便地理解化合物的性質(zhì)[1-3]。其中，Kekulé結(jié)構(gòu)和Clar結(jié)構(gòu)可用于預(yù)測各種化合物的化學(xué)和物理性質(zhì)，在化合物的相關(guān)理論中起著核心作用。用[K（G）]表示圖[G]中的Kekulé結(jié)構(gòu)數(shù)目，圖[G]的完美匹配是覆蓋圖[G]中所有頂點(diǎn)的獨(dú)立邊的集合。自1865年Kekulé首次提出Kekulé結(jié)構(gòu)的概念以來，各類圖的Kekulé結(jié)構(gòu)數(shù)得到了廣泛研究[4-5]。

為了比較分子間的共振穩(wěn)定性，在Herndon-Hosoya模型中，首次提出了（廣義）Clar結(jié)構(gòu)的概念[6]。近二十年來，許多學(xué)者研究了各類圖的Clar結(jié)構(gòu)及其相關(guān)性質(zhì)[7-15]。

文獻(xiàn)[10]定義一個(gè)六邊形系統(tǒng)[H]的Clar覆蓋是[H]的一個(gè)生成子圖[C]，[C]中每個(gè)分支要么是一個(gè)六邊形，要么是一條邊。Clar結(jié)構(gòu)是指具有六邊形數(shù)最多的Clar覆蓋。當(dāng)六邊形被替換為一個(gè)內(nèi)面的邊界時(shí)，Clar覆蓋和Clar結(jié)構(gòu)的概念就可以擴(kuò)展到平面二部圖中[16]。對于平面二部圖[G]，如果[G]的生成子圖[Q]中每個(gè)分支都是一條邊或一個(gè)內(nèi)面的邊界，那么[Q]就被稱作是[G]的Clar覆蓋。具有內(nèi)面數(shù)最多的Clar覆蓋被稱為[G]的Clar 結(jié)構(gòu)。

2006年，Gutman等[17]計(jì)算了多重線性六邊形鏈的Clar覆蓋多項(xiàng)式。2010年，Chen等[18]計(jì)算出一類Peri型苯圖的Clar覆蓋多項(xiàng)式的顯式表達(dá)式。2020年，He等[19]報(bào)告了基本Peri型苯類的Clar覆蓋多項(xiàng)式的閉式公式。2022年，F(xiàn)urtula等[20]將Clar覆蓋多項(xiàng)式廣義化，計(jì)算了苯系物廣義Clar覆蓋多項(xiàng)式的遞推公式，并給出了計(jì)算苯鏈廣義Clar覆蓋多項(xiàng)式的算法。

本文首先將文獻(xiàn)[16]中的定理推廣到平面二部圖，推導(dǎo)了一類特殊圖Clar覆蓋多項(xiàng)式的遞推關(guān)系。然后通過次相鄰面之間距離的奇偶性將Cata型平面二部圖進(jìn)行分類，用生成函數(shù)的方法計(jì)算得出兩類Cata型平面二部圖的Clar覆蓋多項(xiàng)式。

1 一些性質(zhì)和遞推關(guān)系

設(shè)[G]是平面二部圖，將圖[G]的Clar覆蓋多項(xiàng)式定義[7]如下

[P（G，w）=C∈?wh（C）]

式中：[?]為[G]中所有Clar覆蓋的集合；[C]為[G]的一個(gè)Clar覆蓋；[h（C）]為[C]中包含的面數(shù)。

定理1[10]" 設(shè)[G]是一個(gè)平面二部圖，則以下命題成立：

1） [ρ（G，0）=K（G）]，圖[G]包含0個(gè)面的Clar結(jié)構(gòu)的數(shù)目等于[G]中Kekulé結(jié)構(gòu)的數(shù)目；

2） Clar覆蓋多項(xiàng)式中第[i]項(xiàng)的系數(shù)等于包含[i]個(gè)面的Clar覆蓋的數(shù)目。

定理2[10]" 設(shè)[G]是一個(gè)平面二部圖，[G1，G2，…，Gs]是[G]的[s]個(gè)連通分支。那么

[P（G，w）=i=1sPGi，w。]

下文中，為方便起見，我們將圖[G]的Clar覆蓋多項(xiàng)式[P（G，w）]簡稱為[P（G）]。

定理3[10]" 設(shè)[G]是一個(gè)平面二部圖，[e=xy]是[G]中一條邊，則以下命題成立：

1） 如果[s1，s2]是[G]中具有公共邊[e=xy]的相鄰面（如圖1所示），那么[PG=wi=12PG-si+P][G-xy+PG-x-y]；

2） 如果[e=xy]是只位于一個(gè)圈[s]上的邊（如圖2所示），那么[PG=wPG-s+PG-xy+P][G-x-y]；

3） 如果[e=xy]是[G]中一條割邊（如圖3所示），那么[PG=PG-xy+PG-x-y]。

設(shè)[G]是一個(gè)平面圖。圖[G]外部面邊界上的邊稱為[G]的外圍邊，直接和外部面相鄰的內(nèi)面稱為外圍面。設(shè)[s]是[G]中所有頂點(diǎn)都在外部面上的外圍面；[Gi（i=1，2，…，n）]是平面二部圖[G]中互不相交的分支，且均與[s]相鄰，即[EGi?E（s）=ei]。將[Gi]和[Gj]之間的距離定義為邊[ei]和[ej]之間的距離。下面我們給出這類特殊平面二部圖[G]的一些結(jié)論。

推論1" 將[Gi]和[Gi+1]之間直接連接[Gi]的邊記為[e=xixi]，其中[xi∈VGi]。

1） 如果[Gi]和[Gi+1]之間的距離是奇數(shù)（如圖4（a）所示），那么[PG-xixi=PG-xixi-xi+1xi+1]；[PG-xi-xi=PG-xi-xi-xi+1-xi+1]。

2） 如果[Gi]和[Gi+1]之間的距離是偶數(shù)（如圖4（b）所示），那么[PG-xixi=PG-xixi-xi+1-xi+1]；[PG-xi-xi=PG-xi-xi-xi+1xi+1。]

證明：1） 當(dāng)[Gi]和[Gi+1]之間的距離是奇數(shù)時(shí)，[Gi]和[Gi+1]之間有偶數(shù)個(gè)頂點(diǎn)。根據(jù)定理1.3命題（3）可知[PG-xixi=PG-xixi-xi+1xi+1+PG-xixi-][xi+1-xi+1]。由于[PG-xixi-xi+1-xi+1]的每一個(gè)連通分支都不含有Kekulé結(jié)構(gòu)，也不含Clar結(jié)構(gòu)，即[PG-xixi-xi+1-xi+1=0]。因此[PG-xixi=][PG-][xixi-xi+1xi+1]。

類似地，[PG-xi-xi-xi+1xi+1=0]。因此[PG-][xi-xi=][PG-xi-xi-xi+1-xi+1]。

2） 當(dāng)[Gi]和[Gi+1]之間的距離是偶數(shù)時(shí)，可以通過類似的方法證明結(jié)論成立。

推論2" 如果任意兩個(gè)[Gii=1，2，…，n]之間的距離是1，那么[P（G）=i=1nPGi+（w+1）i=1nPGi-xi-][xi+1]，其中[i≡0modn]，[xi]，[xi]是[Gi]和[C2n]的公共點(diǎn)。

證明：設(shè)[Gi=Gi-xi-xi+1]，[i≡0mod n ]。利用定理3展開邊[x1x1]：[PG=wPG-s+PG-x1x1+P][G-x1-x1]。其中，[PG-s=i=1nPGi]；[PG-x1x1=][PG-x1x1-x2x2-…-xnxn=i=1nPGi]；[PG-x1-][x1=Px1-x2-x2-…-xn-xn=i=1nPGi]。因此，[PG=wPG-s+PG-x1x1+PG-x1-x1=][i=1nPGi+w+1i=1nPGi]。

設(shè)[G1]和[G2]是兩個(gè)互不相交且具有Kekulé結(jié)構(gòu)的平面二部圖。[e1=x1y1∈EG1]和[e2=x2y2∈EG2]是外圍邊。我們把[e1]和[e2]黏合起來得到一條新的邊[e=xy]。將[G1]與[G2]的外圍邊黏合得到的圖記為[G1xyG2][21]（如圖5所示）。

引理1" 兩個(gè)平面圖[G1]和[G2]通過黏邊得到的圖[G1xyG2]依然是平面圖。

證明：利用平面圖的歐拉公式即證。

定理4" [G1xyG2]的Clar覆蓋多項(xiàng)式為

[PG1xyG2=PG1-x-yPG2+PG1PG2-x-" " " " " " " " " " " " " " y-PG1-x-yPG2-x-y。]

證明：利用定理3展開[G1]，[G2]中的邊[xy]可以得到兩個(gè)遞推式：[PG1=wPG1-s1+PG1-x-y+PG1-][xy]，[PG2=wPG2-s2+PG2-x-y+PG2-xy。]利用定理3展開[G1xyG2]中的邊[xy]：[PG1xyG2=wP][G1xyG2-s1+wPG1xyG2-s2PG1xyG2-xy+P][G1xyG2-x-y]其中，[wPG1xyG2-s1=wP][PG2-x-y=Px-yPG1-PG1-x-y-PG1-][xy]；[wPG1xyG2-s2=wPG1-x-yPG2-s2=][PG1-x-yPG2-PG2-x-y-PG2-xy]；[P][G1xyG2-x-y=PG1-x-][yPG2-x-y]。因?yàn)閇G1]和[G2]都有Kekulé結(jié)構(gòu)，因此[PG1xyG2-xy=][PG1-x-yPG2-xy+PG1-xyPG2-x-y]。綜上所述，[PG1xyG2=P G1-x-yPG2+PG1][PG2-x-y-PG1-x-yPG2-x-y]。

2 Cata型平面二部圖的Clar覆蓋多項(xiàng)式

兩個(gè)面是次相鄰的，如果兩個(gè)面都與同一個(gè)面相鄰，如圖6中的面1和3。如果鏈圖中任意兩個(gè)次相鄰面之間的距離奇偶性相同，且包含滿足要求的面數(shù)最多，則將其稱為極大線性鏈。兩個(gè)極大線性鏈相鄰當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)極大線性鏈包含一個(gè)公共面。特別地，對于只包含兩個(gè)面的極大線性鏈，我們規(guī)定其中任意兩個(gè)次相鄰面之間的距離為偶數(shù)。

設(shè)[G]是有[n]個(gè)極大線性鏈[（n≥1）]的平面二部圖，[n]個(gè)極大線性鏈中的面為[r1，r2，…，rnri≥2，][i=1，2，…，n]，將其記為[Glr1，r2，…，rn]。在不引起混淆的情況下，簡記為[Glrn]。

[Glrn]可以分為以下4種情況：

情況1） [r1]中任意兩個(gè)次相鄰面之間距離均為偶數(shù)；

情況2） [r1]中任意兩個(gè)次相鄰面之間距離均為奇數(shù)；

情況3） [ri（i=1，2，…，n）]中任意兩個(gè)次相鄰面之間的距離為偶數(shù)，由[ri]和[ri+1]的公共面連接的兩個(gè)面之間的距離為奇數(shù)；

情況4） [ri（i=1，2，…，n）]中任意兩個(gè)次相鄰面之間的距離為奇數(shù)，由[ri]和[ri+1]的公共面連接的兩個(gè)面之間的距離為偶數(shù)。

下面分別研究這4種情況。其中情況1）情況3）滿足文獻(xiàn)[14]中六角形系統(tǒng)的距離特性，因此可以直接通過六角形系統(tǒng)Clar覆蓋多項(xiàng)式推導(dǎo)得出，本文不再過多贅述。

2.1 [r1]中任意兩個(gè)次相鄰面之間的距離均為奇數(shù)

定理5" 當(dāng)[r1]中任意兩個(gè)次相鄰面之間的距離均為奇數(shù)時(shí)，[Glr1]的Clar覆蓋多項(xiàng)式為

[PGlr1=k1+2k2=nk1+k2k11k1（w+1）k2+ " " " " " " " " （w+1）k1+2k2=n-1k1+k2k11k1（w+1）k2] （1）

證明：設(shè)[r1=n]。將[PGlr1]簡記為[fn]。利用定理3展開圖6中邊[xy]得到：[fn=wfn-2+fn-1+fn-2=][（w+1）fn-2+fn-1]。初始條件為：[f0=1]；[f1=w+2]。

假設(shè)[fn（n≥0）]的生成函數(shù)為[Fz=i=0∞zifi]。可以推導(dǎo)出[Fz=1+w+1z1-z1+w+1z-1]，其中[1-z1+w+1z-1=kgt;0k1+2k2=kk1+k2k11k1（w+1）k2zk。]將上述表達(dá)式代入[Fz]，并使[zn]的系數(shù)相等得到[fn=k1+2k2=nk1+k2k11k1（w+1）k2+" " " "（w+1）k1+2k2=n-1k1+k2k11k1（w+1）k2][，]當(dāng)[n≥2]時(shí)成立。

通過分析式（1），我們可以得到以下結(jié)果：

1） [KGlr1=k1+2k2=nk1+k2k1+][" " " " " " " " " " " " " " " " " " "k1+2k2=n-1k1+k2k1]；

2） [σGlr1=n+12， n是奇數(shù)n2， n是偶數(shù)]，[" " " " " " " " σGlr1，σGlr1=1，" n是奇數(shù)n+22，" n是偶數(shù)" ]。

2.2 [ri（i=1，2，…，n;n≥2）]中任意兩個(gè)次相鄰面之間的距離均為奇數(shù)

設(shè)[Glrn]每個(gè)極大線性鏈中的次相鄰面之間的距離為奇數(shù)，并且[ri]和[ri+1]恰好有一個(gè)公共面[f]。假設(shè)[ri]中與[f]相鄰的面為[fi]，[ri+1]中與[f]相鄰的面為[fi+1]。此時(shí)[fi]和[fi+1]之間的距離是偶數(shù)（如圖7所示）。設(shè)[Glrn-1]表示從[Glrn]刪去最后一個(gè)外圍面后得到的圖（如圖8所示）。

定理6" 當(dāng)[ri（i=1，2，…，n;n≥2）]中次相鄰面之間的距離為奇數(shù)時(shí)，[Glrn]的Clar覆蓋多項(xiàng)式為[PGlrn=frn-1-frn-2frn-1-1-frn-1-2frn-1-3-frn-1-4+frn-2-2PGl" " " " " " " " "rn-1-frn-1-frn-2frn-1-2frn-1-3-frn-1-4frn-1-1frn-1-1-frn-1-2" " " " " " " " "Gfln-2，ri≥4]初始條件為：[PGlr1=fr1]；[PGlr2=fr1fr2-2-fr1-2][fr2-2]。

特別地，如果[r1=r2=…=rn=m]，設(shè)[Θi=][k1+2k2=ik1+k2k1fm-2+fm-3-fm-4k1-1k2fm-2fm-3-fm-4 ][fm-1k2]，那么[Glrn]的Clar覆蓋多項(xiàng)式為

[ln=fmΘn-1+fm-1fm-2-f2m-2-fm-3fm+fm-4fm" " "Θn-2+fmfm-2fm-3-fm-4fm-1Θn-3 ] （2）

證明：將[Glrn]簡記為[lrn]。利用定理7展開邊[xy]，得到[lrn]和[lrn-1]的遞推關(guān)系：[lrn=frn-1-][frn-2lrn-1-2+frn-2lrn-1，lrn-2=frn-3-frn-4l][rn-1-2+frn-4lrn-1]。通過化簡可以得到

[lrn=frn-1-frn-2frn-1-1-frn-1-2frn-1-3-frn-1-4+frn-2lrn-1- " frn-1-frn-2frn-1-2frn-1-3-frn-1-4frn-1-1frn-1-1-frn-1-2lrn-2 ] （3）

初始條件為：[lr1=fr1]；[lr2=fr1-2fr2-1+fr1fr2-2-fr1-2][fr2-2]。

對于式（3），如果[r1=r2=…=rn=m]，將[lrn]簡記為[ln]。式（3）簡化為[ln=fm-2+fm-3-fm-4ln-1-fm-2][fm-3-fm-4fm-1ln-2]。初始條件為：[l1=fm]；[l2=fm-1][fm-2+][fm-2fm-f2m-2]。

假設(shè)[ln（n≥1）]的生成函數(shù)為[Ln（z）=i=1∞zili]。因此[Ln=fmz+fm-1fm-2-f2m-2-fm-3fm+fm-4fmz21-zfm-2+fm-3-fm-4-zfm-2fm-3-fm-4fm-1+][ fmfm-2fm-3-fm-4fm-1z31-zfm-2+fm-3-fm-4-zfm-2fm-3-fm-4fm-1]。類似地，可以推導(dǎo)出[ln=fmΘn-1+fm-1fm-2-f2m-2-fm-3fm+][fm-4fmΘn-2+fmfm-2fm-3-fm-4fm-1Θn-3]。

通過分析式（2），我們可以得到以下結(jié)論：

1） 設(shè)[Mi=k1+2k2=n-ik1+k2k1Kfm-2+Kfm-3-][Kfm-4k1（-1）k2Kfm-2Kfm-3-Kfm-1Kfm-4k2]如果[r1=r2=…=rn=m]，那么[Glrn]中的Kekulé結(jié)構(gòu)數(shù)為：[KGlrn=KfmM1+Kfm-1Kfm-2-K][fm-22-Kfm-3Kfm+Kfm-4KfmM2+KfmK][fm-2Kfm-3-Kfm-1Kfm-4M3]。

2） 如果[r1=r2=...=rn=m]，那么[Glrn]的最高次項(xiàng)及其系數(shù)可以從下面兩個(gè)等式中得出

[σ（Gl（rn））=n2（m-2）+32，m是奇數(shù)，并且n是奇數(shù)n2（m-2）+2，m是奇數(shù)，并且n是偶數(shù)m2+n-12（m-2），m是偶數(shù)，并且n是奇數(shù)m2+n-12（m-2），m是偶數(shù)，并且n是偶數(shù)] ；

[" " " " " σ（Gl（rn），σ（Gl（rn）））=n-12，m是奇數(shù)，并且n是奇數(shù)1，m是奇數(shù)，并且n是偶數(shù)-1n-12+（n-1）（m+2）4，m是偶數(shù)，并且n是奇數(shù)-1n-42+（n-4）（m+2）4，m是偶數(shù)， 并且n是偶數(shù)]。

2.3 應(yīng)用

根據(jù)上述結(jié)果和遞推關(guān)系，可以計(jì)算各種分支Cata型平面二部圖的Clar覆蓋多項(xiàng)式。

設(shè)圖[G]中[ri+1，ri+2，…，ri+j]都只包含兩個(gè)面，那么[ri+1，ri+2，…，ri+j（j≥1）]構(gòu)成長度為[j+1]，且其中任意兩個(gè)次相鄰面之間的距離為奇數(shù)的極大線性鏈。

例1" 假設(shè)[ri]和[ri+1ri≥2，i=1，2，…，n-1]是相鄰的相關(guān)序列。[ri]和[ri+1]中次相鄰面之間距離的奇偶性不同（如圖9所示）。

設(shè)[s]是[G]中所有頂點(diǎn)都在外部面上的外圍面；[hi-1（i=m，n，k，t）]是平面二部圖[G]中與[s]相鄰的互不相交的分支（如圖10所示）。

例2" 圖10中所示的分支Cata型平面二部圖[G]的Clar覆蓋多項(xiàng)式為

[PG=hm-1hn-1hk-1ht-1+w+1]

3 結(jié)論

1） 利用類比遞推法證明了一類特殊圖的Clar覆蓋多項(xiàng)式的遞推關(guān)系。

2） 利用生成函數(shù)的方法計(jì)算了兩類Cata型平面二部圖的Clar覆蓋多項(xiàng)式的顯式表達(dá)式。

3） 利用這一結(jié)果，可以進(jìn)一步計(jì)算出各種不同類型的分支Cata型平面二部圖的Clar覆蓋多項(xiàng)式。

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第一作者：劉瑩（1998—），女，碩士研究生，研究方向?yàn)閳D論。E-mail：liuying@ecjtu.edu.cn。

通信作者：王廣富（1976—），男，教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)閳D論。E-mail：wgfmath@126.com。