基于雙指數(shù)跳擴散模型的滬深300ETF期權(quán)定價研究

［摘 要］ 用雙指數(shù)跳擴散模型來描述滬深300ETF資產(chǎn)收益率，用蒙特卡洛方法模擬出雙指數(shù)跳擴散模型和B-S模型下樣本路徑，旨在選擇更能反映期權(quán)實際價格變化的模型。結(jié)果顯示：雙指數(shù)跳擴散模型定價誤差小，擬合效果更優(yōu)。雙指數(shù)跳擴散模型可以更準(zhǔn)確地反映資產(chǎn)跳躍這一特點，同時可以很好地刻畫資產(chǎn)的“尖峰厚尾”和“波動率微笑”。

［關(guān)鍵詞］ 雙指數(shù)跳擴散模型； 蒙特卡洛； 滬深300ETF ； 期權(quán)定價

［中圖分類號］ F832.5 ［文獻標(biāo)識碼］ A

期權(quán)定價研究有很長的歷史且一直處于核心地位。Black和Scholesl（1973）[1]首次提出了Black-Scholesl （B-S）模型，這為期權(quán)定價理論開啟了新篇章。B-S公式有7個假設(shè)，市場是完全競爭、標(biāo)的資產(chǎn)價格服從幾何布朗運動等，實證研究發(fā)現(xiàn)：這些假設(shè)過于理想，不符合市場的實際情況。為了對B-S定價模型進行優(yōu)化與補充，Merton（1973）[2]在B-S模型的基礎(chǔ)上加入了跳過程，并用泊松過程表示實際市場中標(biāo)的資產(chǎn)價格不連續(xù)的跳躍，他認為標(biāo)的資產(chǎn)的價格在受到重大影響的情況下會表現(xiàn)為跳躍。Merton（1976）[3]開始對跳擴散過程機制進行了研究和實驗，提出了帶“跳”的Merton跳擴散模型。但還是有很多學(xué)者認為這種跳躍是隨機偶然突發(fā)事件，所以在期權(quán)定價的時候沒有重視跳過程。但是經(jīng)濟全球化是時代發(fā)展的必然趨勢，總會有各種各樣的突發(fā)事情發(fā)生，例如不可預(yù)測的天災(zāi)人禍、國際關(guān)系的變化、不同國家政策的調(diào)整宏觀等等，這些都可能導(dǎo)致穩(wěn)定持續(xù)變化的市場出現(xiàn)較大幅波動，出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象。

Kou S G（2002）[4] 進一步在跳擴散模型的基礎(chǔ)上細分為正反、上下跳躍以及跳躍范圍，使跳躍過程具體化，提出了雙指數(shù)跳躍擴散模型（KDJ模型）。后面有很多學(xué)者將KDJ模型用以實證，Tse等（2003）[5] 用馬爾科夫蒙特卡洛法（MCMC法）分析雙指數(shù)跳擴散模型。 Ramezani（2007）[6]用不對稱跳躍擴散模型和對Samp;P500指數(shù)進行了實證分析。Lee和Mykland（2008）[7]提出了L-M法，一種全新的確定跳躍點的方法，該方法能檢測出給定的收益率數(shù)據(jù)是否服從純粹連續(xù)分布，從而識別出過程中發(fā)生的跳躍。王獻東等（2009年）[8]將雙指數(shù)跳躍擴散模型與股票相結(jié)合。Benth 和Fred Espen （2012）[9]對電力現(xiàn)貨價格進行實證分析，在幾種模型對比下得出跳擴散模型效果最優(yōu)的結(jié)論。Christara， Leung（2016）[10]基于雙指數(shù)跳躍擴散模型對歐式期權(quán)和美式期權(quán)做了比較和系統(tǒng)論證。趙守娟（2017）[11]給出了雙指數(shù)跳擴散模型下的長期生效期權(quán)定價。莫英（2020）[12]將雙指數(shù)跳躍擴散模型用于對銅期權(quán)定價分析研究，發(fā)現(xiàn)KDJ模型擬合效果最佳。后來的研究將雙指數(shù)跳躍擴散模型應(yīng)用于各種不同標(biāo)的期權(quán)定價分析上，包括股票價格、房地產(chǎn)、上證50ETF、存款保險、復(fù)合期權(quán)、開放式基金費率、豆粕和白糖等方方面面。研究表明，正是由于雙指數(shù)跳擴散模型對不連續(xù)市場的合理刻畫，雙指數(shù)跳躍擴散模型可以靈活地解決上述各種期權(quán)定價問題，不論是傳統(tǒng)金融衍生市場（股票價格、上證50ETF等）還是與人們生活息息相關(guān)的生產(chǎn)生活領(lǐng)域（房地產(chǎn)、存款保險、實物期權(quán)等），凡具有回報率高峰、厚尾特征和“波動微笑”的資產(chǎn)，雙指數(shù)跳躍擴散模型都可以很好地改善這一情況，具有較好的擬合效果。

作為中國市場最具代表性的寬基指數(shù)——滬深300指數(shù)，不僅能夠作為投資業(yè)績的評價標(biāo)準(zhǔn)，而且可以反映整個A股市場全貌，素有中國A股\"晴雨表\"之稱。因此以滬深300指數(shù)為標(biāo)的資產(chǎn)的滬深300ETF期權(quán)即成為投資者投資中國最合理、便捷的選擇之一。所以對滬深300ETF期權(quán)的研究也很有意義，并能給廣大投資者后續(xù)投資提供參考價值。

考慮到自2019年年底以來，新冠肺炎對正常社會秩序、經(jīng)濟穩(wěn)定造成的巨大影響，對于資產(chǎn)價格的定價就應(yīng)該要充分考慮跳過程的存在。故本文采用雙指數(shù)跳擴散模型，對滬深300ETF期權(quán)做定價研究。與傳統(tǒng)的B-S模型作比較，得到兩種模型下的理論價格，而后與實際價格相比，旨在選擇一個更優(yōu)的模型，可以更好地擬合實際期權(quán)的價格，以減少投資風(fēng)險。

1 雙指數(shù)跳擴散模型介紹

Kou提出的雙指數(shù)跳躍擴散模型（KDJ模型）是在B-S模型的基礎(chǔ)上加入了一個帶跳躍項的擴散過程，KDJ模型分成了兩部分：一部分是資產(chǎn)的價格波動關(guān)于時間t的連續(xù)部分用幾何布朗運動來表示，另一部分是價格有跳躍的部分，其中規(guī)定跳躍規(guī)模的對數(shù)是雙指數(shù)分布，并用泊松過程表達突發(fā)事件也就是會產(chǎn)生跳躍的事件。這樣就得到了KDJ模型具體表達式如下：

2 基于雙指數(shù)跳擴散模型的滬深300ETF期權(quán)定價實證分析

2.1 MCMC算法

MCMC法基本原理是已知一個概率密度函數(shù)，需要從這個概率分布中隨機抽樣，來分析這個分布的一些統(tǒng)計特性。就是要從后驗密度函數(shù)中進行抽樣，抽出參數(shù)向量。但直接從后驗分布模擬原數(shù)據(jù)情況是非常困難的，所以MCMC方法就是設(shè)置了一個馬爾可夫鏈π（·），使其平穩(wěn)分布是相同的后驗密度。當(dāng)馬爾可夫鏈?zhǔn)諗浚M值可以被視為一個樣本從后得到的。

在后驗密度函數(shù)P（S|θ）已知的情況下，由貝葉斯原理就可以得到θ在數(shù)據(jù)S上的條件分布，可表示為：π（θ|S）=cp（S|θ）π（θ），其中π（θ）是參數(shù)θ的先驗分布。

雙指數(shù)跳擴散模型的MCMC估計過程如下：

2.4 實證結(jié)果

選擇深交所自2020年10月9日到2022年10月14日滬深300ETF購2022年10月執(zhí)行價格為4200的每日收盤價，做出時間序列圖，如圖1所示。

由圖1可以清晰地看到近兩年滬深300ETF每日收盤價波動還是比較大的。最高達到5.76，最低只有3.78。在此基礎(chǔ)上做出時序圖的概率直方圖，與正態(tài)分布相比看原數(shù)據(jù)是否平衡，是否存在跳躍現(xiàn)象（圖2）。

已知正態(tài)分布的偏度為0，峰度為3，而由圖2滬深300ETF日收盤價的概率直方圖輸出結(jié)果可知：直方圖偏度：-0.3137相對于正態(tài)分布呈現(xiàn)出左偏態(tài)，峰度：4.4981大于3偏離正態(tài)分布。說明該數(shù)據(jù)有明顯尖端現(xiàn)象，序列不平衡，存在跳躍點。由于原數(shù)據(jù)波動較大且反映的信息有限，下面做對數(shù)處理，Ri=lnSi－lnSi－1，做出日對數(shù)收益率時序圖。而后用LM法逐點該序列進行跳過程識別，共篩選出8個跳躍點，其中1個向上的跳躍點，在2022/3/15這一天；同時篩選出7個向下跳躍點，分別是2021/3/16、2021/7/26、2021/7/27、2022/1/25、2022/3/7、2022/3/14、2022/4/25這7天 ，即可以得到向上跳躍概率p=1/488，向下跳躍概率q=7/488。

然后對識別出的跳躍點采取均值插補法，即用該點前后各3位共6位數(shù)的平均值代替。整理數(shù)據(jù)即得到修正后的時間序列RC，進一步做出修正后的對數(shù)收益率時間序列圖。為了更直觀地看出區(qū)別，將修正前后的對數(shù)收益率時序圖做在一張圖上對比，如圖3所示。

由圖3對比圖可以明顯看出在數(shù)據(jù)中后部有幾個跳躍點被剔除了，再由均值替換后得到了更平滑連續(xù)序列圖。

在得到修正后的收益率數(shù)據(jù)后，計算此時的峰度、偏度。處理前后偏度由-0.3137變?yōu)?-0.0368；峰度4.4981 到3.4648，更接近正態(tài)分布的峰度值3了，有很大的改進。說明雙指數(shù)跳擴散模型對滬深300ETF收盤價的處理是有效果的。進一步得出雙指數(shù)跳擴散模型各參數(shù)的參數(shù)估計值。具體的估計值由表3所示。

在得到的雙指數(shù)跳擴散模型各參數(shù)估計值后，用模型各參數(shù)導(dǎo)入運行該模型，用MCMC方法模擬生成收益率數(shù)據(jù)序列， 然后做出模型模擬生成的數(shù)據(jù)和實際數(shù)據(jù)的Q-Q圖， 如圖4所示。

由圖4中可以發(fā)現(xiàn)，所生成的擬合數(shù)據(jù)與實際值基本是一個直線，且重合程度非常大。說明用雙指數(shù)跳擴散模型模擬出的數(shù)據(jù)的確能夠很好擬合真實數(shù)據(jù)的分布狀況，所以用雙指數(shù)跳擴散模型擬合滬深300ETF是可行有效的。

2.5 模型比較

在樣本為滬深300ETF購2022年9月執(zhí)行價格為4200的數(shù)據(jù)運行KDJ模型和B-S定價模型。由于數(shù)據(jù)過多，篇幅有限，選取2022-11-29到2022-12-28一個月的數(shù)據(jù)來做模型對比分析。獲取滬深300ETF這一個月內(nèi)K=4200的相關(guān)數(shù)據(jù)帶入兩個模型計算出理論期權(quán)的價格。然后利用MAE、MPE、RMSE三個相對誤差指標(biāo)來判斷哪個模型計算出的期權(quán)理論價值與期權(quán)實際價格更接近。

將每日交易真實值與計算出的模型每日理論值的結(jié)果可視化，得到圖5。

通過圖5可知，雙指數(shù)跳擴散模型的圖像走勢和實際價格更相似，而且與實際價格的距離也更接近。計算出的三個指標(biāo)的值也能看出來雙指數(shù)跳擴散模型的誤差更小，可以更好擬合實際價格的變化。

為避免特例干擾，隨機抽取滬深300ETF購2022年12月14個行權(quán)價中的5個期權(quán)，重復(fù)上述的步驟，計算總誤差值，匯總，以得到一個更普遍的結(jié)論。結(jié)果顯示如表4所示。

從表4看，整體來說不論執(zhí)行價格K是3300、3800、4000、4200還是4600，KDJ模型的三個指標(biāo)值都是小于B-S模型的。KDJ模型的MSE大致在0.1左右波動但B-S模型的MSE大致在0.2波動，而且KDJ模型RMSE最小可以達到0.002，和真實數(shù)據(jù)的誤差非常之小。而B-S的誤差會稍大一些。所以總的來說，雙指數(shù)跳擴散模型的理論價格比B-S模型的理論價值更接近滬深300ETF的真實值，誤差更小，擬合效果更好。

3 結(jié)論

期權(quán)定價一直都是金融研究的核心，各種期權(quán)定價也得到了不斷地完善。滬深300ETF是晴雨表，能夠很好地反映經(jīng)濟情況。關(guān)于滬深300ETF的研究，有用各種模型來擬合的，但基本沒有人使用雙指數(shù)跳擴散模型來擬合。本文分析了KDJ模型適應(yīng)的情景，再結(jié)合新冠疫情，KDJ模型是很適合用來擬合疫情期間滬深300ETF變化的。實證表明：KDJ模型對滬深300ETF的擬合效果確實優(yōu)于傳統(tǒng)的B-S模型。KDJ模型能更好地刻畫價格的尖端厚尾和波動率微笑，更適合于疫情期間計算期權(quán)的理論價值，可以為投資者提供參考。

［ 參 考 文 獻 ］

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Research on Option Pricing of CSI 300ETF Based on Double Exponential Jump Diffusion Model

ZHU Zhaomei， SHANG Hao

（School of Science， Hubei University of Tech， Wuhan 430068， China）

Abstract： Since the end of 2019， Covid-19， the outbreak of this sudden event to people’s normal social order， economic stability caused a huge impact. The price of assets turns into a jump. In this paper， a double exponential jump diffusion model is used to describe the yield of CSI 300 Index 300 ETF. The sample paths under the double exponential jump diffusion model and B S model are Monte Carlo method， the aim is to choose a model that can better reflect the real price change of options. The results show that the double exponential jump diffusion model has less pricing error and better fitting effect. The double index jump diffusion model can reflect the jump of assets more accurately， and can describe the“Peak fat tail” and“Volatility smile” of assets.

Keywords： double exponential jump diffusion model; Monte Carlo; CSI 300 Index 300 ETF ；pricing

［責(zé)任編校： 閆 品］

［收稿日期］ 2023-06-07

［基金項目］ 國家社會科學(xué)基金（24BTJ068）

［第一作者］ 祝兆媚（1998-）， 湖北恩施人， 湖北工業(yè)大學(xué)碩士研究生， 研究方向為金融統(tǒng)計。

［通信作者］ 商 豪（1982-）， 湖北羅田人， 湖北工業(yè)大學(xué)副教授， 研究方向為隨機分析及其在金融中的應(yīng)用、 金融統(tǒng)計。