基于優勢關系的多粒度Pythagorean模糊粗糙集的粒度選擇方法

摘 要：在Pythagorean模糊粗糙集的基礎上，結合優勢關系與多粒度，提出了一種基于優勢關系的多粒度Pythagorean模糊粗糙集模型，并對其進行研究.首先給出了優勢關系的Pythagorean模糊粗糙集、Pythagorean模糊熵概念，討論其性質，然后定義了在樂觀、悲觀下的優勢關系的多粒度Pythagorean模糊粗糙集4種模型，以及Pythagorean模糊貼近度，并證明了其性質，設計了其最優粒度選擇算法.通過遂昌金礦優化采礦的案例，對該模型進行了分析，驗證了其有效性.

關鍵詞：優勢關系；Pythagorean模糊集；多粒度粗糙集；模糊熵；貼近度

中圖分類號：O159 文獻標志碼：A文章編號：1000-2367（2025）03-0079-09

1982年，PAWLAK^［1］最早提出了粗糙集理論，是一種描述不精確、不完整和不確定性的數學工具，自粗糙集提出以來，針對不同的要求對其進行了推廣，如：決策理論粗糙模糊集^［2］、變精度粗糙集^［3］、概率粗糙集^［4］、基于優勢的粗糙集方法^［5-7］、多粒度粗糙集^［8］等，已在機器學習、數據挖掘等領域得到廣泛應用.經典粗糙集及其多數的拓展模型均為單粒度，這不足以處理復雜而龐大的數據，所以從多層次和多角度對復雜模糊問題進行分析處理顯得尤為重要.因此，QIAN等^［9］將粗糙集理論與粒計算思想相結合，提出了多粒度粗糙集，以彌補原始粗糙集中的缺陷.在粗糙集中通常將等價關系作為二元關系進行等價類的劃分，但是由于等價關系過于嚴格限制了粗糙集的應用范圍.為解決這一問題，眾多學者將等價關系進行推廣，如周悅麗等^［10］提出了一種基于相容關系的局部多粒度粗糙集模型，ZHAN等^［11］提出了基于覆蓋的多粒度模糊粗糙集，劉力凱等^［12］提出了基于糾纏關系的變精度優勢關系粗糙集模型.

ZADEH^［13］提出的模糊集（fuzzy set，FS），用隸屬度來描述元素屬于某個集合的程度，突破了經典Cantor集合“非0即1”的限制，模糊集增強了表達不確定信息的能力，為研究不精確信息提供了一個新的途徑.但是該理論不能同時描述支持和反對的態度.ATANASSOV^［14］提出了直覺模糊集（intuitionistic fuzzy set，IFS），該理論同時考慮了隸屬度μ（x）與非隸屬度ν（x），表達了對事物的支持和反對，可以更全面地包含決策信息，在直覺模糊集中，隸屬度μ（x）與非隸屬度ν（x）滿足0≤μ（x）+ν（x）≤1的限制條件，隨著決策情況的不確定性增加，隸屬度與非隸屬度的取值范圍不再滿足于現狀，當隸屬度與非隸屬度之和大于1的時候，直覺模糊集無法刻畫此問題，為此，YAGER^［15］提出畢達哥拉斯模糊集（Pythagorean fuzzy set，PFS），與直覺模糊集相似，但是Pythagorean模糊集的條件相對寬泛，這使得Pythagorean模糊集比直覺模糊集更具有普遍性.如：一個決策者對做出的決策是（（3/2），（1/2））時，此時（3/2）+（1/2）＞1，不能使用直覺模糊集，但是（（3/2））²+（（1/2））²≤1，顯然Pythagorean模糊集比直覺模糊集更好處理實際問題中的模糊性，Pythagorean模糊集一經提出就受到了眾多研究者的廣泛關注.近年來，研究者對Pythagorean模糊集進行了廣泛的研究，取得了豐富的理論成果，如：宋娟^［16］提出了考慮融合算法與交叉熵的Pythagorean決策模型，ZHANG等^［17］提出了基于Pythagorean模糊集新相似度量的多準則決策方法，丁恒等^［18］提出基于Pythagorean模糊冪加權平均算子的多屬性群決策方法，羅靜等^［19］提出基于風險偏好得分函數和Choquet積分算子的Pythagorean模糊決策方法，李美娟等^［20］提出基于一種新得分函數和累積前景理論的Pythagorean模糊TOPSIS法，范建平等^［21］提出了Pythagorean模糊環境下基于交叉熵和TOPSIS的多準則決策方法，姬儒雅等^［22］提出Pythagorean模糊三支概念格，趙杰等^［23］提出了基于優勢關系的Pythagorean模糊三支決策模型等等，Pythagorean模糊集作為直覺模糊集的一種擴展，能更有效地描述不確定信息，在決策問題中得到了較好的應用，因此在Pythagorean模糊粗糙集理論的基礎上結合優勢關系與多粒度，提出了一種基于優勢關系的多粒度Pythagorean模糊粗糙集模型.

綜合上述，本文首先闡述了直覺模糊集、Pythagorean模糊集的基礎理論以及優勢關系的相關知識，然后定義了Pythagorean模糊熵，討論了其性質，提出了悲觀、樂觀的優勢關系的多粒度Pythagorean模糊粗糙集4種模型，并證明其相關性質，最后結合Pythagorean模糊熵、Pythagorean模糊貼近度以及優勢關系的Pythagorean模糊粗糙集，提出了一種粒度選擇方法，為決策者在悲觀、樂觀兩種不同情況下提供了最優選擇.

步驟7 根據定義12，計算A=｛A₁，A₂，A₃，A₄｝樂觀、悲觀多粒度下的貼近度，可得A₁，A₂，A₃，A₄在樂觀、悲觀多粒度粗糙集下的貼近度分別為：0.720 7、0.676 7，0.695 0、0.635 7；0.709 3、0.701 7、0.721 6、0.674 0.

步驟8 根據步驟 7所得，得出樂觀、悲觀2種情況下的最優粒度，在樂觀多粒度下的貼近度排序為：N（A₁）＞N（A₃）＞N（A₂）＞N（A₄），最優粒度為A₁，則在樂觀多粒度模型下應該選擇機械化上向水平分層法對礦山進行升級改造，最優粒度選擇結果與參考文獻［27］中的選擇保持一致，在悲觀多粒度下的貼近度排序為：N（A₃）＞N（A₁）＞N（A₂）＞N（A₄），最優粒度為A₃，則在悲觀多粒度模型下應該選擇上向水平進路充填法對礦山進行升級改造.

步驟9 輸出最優粒度.

3.2 不同方法對比分析

由參考文獻［21］中數據為依據，根據上述步驟可得到樂觀多粒度下的貼近度分別為：y₁=0.604，y₂=0.789，y₃=0.761，y₄=0.668，悲觀多粒度下的貼近度分別為：y₁=0.600，y₂=0.775，y₃=0.793，y₄=0.673.則不同方法下的排序結果，如表5所示.

由表5知，文獻［16，18］中方法，得到的結果排序是一樣的，而文獻［21］所得結果的排序中y₁、y₄與文獻［16，18］中排序結果不同，可能是采用了不同的融合算子所導致的，但最優結果都為y₂，而本文所提方法在樂觀多粒度模型中，所得結果排序與參考文獻保持一致，最優結果也是y₂，說明了本文所提模型的有效性與可行性，本文所提悲觀多粒度模型中，排序結果與上述方法都不相同，最優結果是y₃，這為決策者提供了不同的選擇，如果決策者偏好保守策略，那么基于“求同排異”的悲觀多粒度模型下的最優結果y₂將是最好的選擇，如果決策者偏好激進策略，那么基于“求同存異”的樂觀多粒度模型下的最優結果y₃將是最好的選擇，決策者可以根據自己的風險偏好選擇這最優選擇.

4 結 語

經典的粗糙集理論是建立在等價關系的基礎上，等價關系條件過于嚴格，限制了粗糙集模型的應用范圍，因此在Pythagorean模糊粗糙集模型的基礎上，將優勢關系與多粒度Pythagorean模糊粗糙集相結合，構造基于優勢關系的樂觀、悲觀多粒度Pythagorean模糊粗糙集模型，定義了Pythagorean模糊熵、Pythagorean模糊貼近度，增加了猶豫度對信息評價的影響，最后通過遂昌金礦實例進行了驗證分析，證明了該模型的有效性，并為決策者在2種不同的情況下提供了最優選擇.今后在對信息融合的研究中，將會進一步考慮屬性權重對評價結果的影響.

附錄見電子版（DOI：10.16366/j.cnki.1000-2367.2023.08.24.0001）.

參 考 文 獻

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Granularity selection method of multi-granularity Pythagorean fuzzy rough set based on dominance relationship

Xue Zhan'ao， Yang Mengli， Xin Xianwei， Zheng Yu， Sun Lin

（College of Computer and Information Engineering; Engineering Lab of Intelligence Business amp; Internet of Things，

Henan Normal University， Xinxiang 453007， China）

Abstract： In this paper， on the basis of the Pythagorean fuzzy rough set， combining dominance with multiple granularity， a multi-granularity Pythagorean fuzzy rough set model based on dominance relationship was proposed， for studying." Firstly giving the concept of dominance relationship Pythagorean fuzzy rough set and Pythagorean fuzzy entropy， discussing their properties， then， four models of multi-granularity Pythagorean fuzzy rough set of dominance relations under optimism and pessimism are defined， and" for Pythagorean fuzzy closeness， proving their properties， designing their optimal granularity selection algorithm. Through the case of optimizing mining in Suichang Gold Mine， the effectiveness of the model was analyzed and verified.

Keywords： dominance relationship; Pythagorean fuzzy set; multi-granularity rough set; fuzzy entropy; closeness degree

［責任編校 劉洋 楊浦］