考慮退化相關(guān)性的電解電容實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)

摘要：目前對(duì)于電解電容的退化特性研究多是基于單個(gè)退化特征，難以精確預(yù)測(cè)電容的剩余壽命。針對(duì)這一現(xiàn)狀，本文提出考慮退化特征相關(guān)性的二元線性Wiener過(guò)程退化模型進(jìn)行電容剩余壽命實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)。首先利用Box-Cox變換對(duì)電容退化數(shù)據(jù)進(jìn)行線性化處理，然后將極大似然估計(jì)結(jié)合自助抽樣法得到的模型參數(shù)經(jīng)Bayesian理論進(jìn)行實(shí)時(shí)更新，并利用蒙特卡洛算法求解電容的剩余壽命分布，最后通過(guò)NASA試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證，并與基于Copula 函數(shù)處理相關(guān)性的算法進(jìn)行了對(duì)比。結(jié)果表明，本文算法的預(yù)測(cè)精度較只考慮電容容值、只考慮等效 串聯(lián)電阻的一維Wiener過(guò)程模型分別提高約0.729 8%，0.091 3%，比基于Copula理論的算法預(yù)測(cè)精度提高了約0.083 2%，可為制訂電解電容的視情維修策略提供依據(jù)。

關(guān)鍵詞：電解電容；實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)；二元維納過(guò)程；Box-Cox變換；Bayesian理論

中圖分類號(hào)： TM407 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： ADOI：10.3969/j.issn.1007-791X.2025.02.007

0引言

電解電容具有壽命長(zhǎng)、額定容量大、頻率特性和溫度特性良好等優(yōu)點(diǎn)，在電子和電氣工程領(lǐng)域中被廣泛用來(lái)濾波、穩(wěn)壓等，其剩余壽命與整個(gè)系統(tǒng)工作狀態(tài)息息相關(guān)。如果能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)電解電容的剩余壽命，有助于對(duì)整個(gè)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)健康管理。

電解電容的性能退化主要體現(xiàn)在電容容值和等效串聯(lián)電阻（Equivalent Series Resistance，ESR）兩個(gè)方面[1]。目前，關(guān)于電解電容的壽命預(yù)測(cè)，國(guó)內(nèi)外已有許多學(xué)者進(jìn)行了研究，大多數(shù)研究只考慮電容容值或ESR單個(gè)退化特征。文獻(xiàn)[1]通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)分別總結(jié)出電解電容的壽命與ESR和容值的關(guān)系，并給出詳細(xì)的退化模型表達(dá)式；文獻(xiàn)[2]基于NASA電解電容的容值老化數(shù)據(jù)，提出了利用粒子群優(yōu)化的無(wú)跡卡爾曼濾波的方法追蹤容值的退化數(shù)據(jù)，有效預(yù)測(cè)了電容的剩余壽命；文獻(xiàn)[3]同樣基于NASA電解電容的容值老化數(shù)據(jù)，利用三種非線性維納模型對(duì)其建模，基于Bayesian框架實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)電容的剩余壽命自適應(yīng)更新；文獻(xiàn)[4]提出一種結(jié)合GRU和PSO-SVR混合機(jī)器學(xué)習(xí)模型，進(jìn)一步提升了電解電容的剩余壽命的預(yù)測(cè)精度。由此可知，許多研究都忽視了電容退化中ESR和容值之間的相關(guān)性，進(jìn)而影響了電解電容剩余壽命預(yù)測(cè)的精度。電容在使用過(guò)程中受自身因素和外部環(huán)境的共同作用，這兩個(gè)退化特征量在同步變化，研究中考慮二者的相關(guān)性可提高電解電容剩余壽命的預(yù)測(cè)精度。

考慮到電容容值和ESR兩個(gè)退化特征之間可能存在非線性相關(guān)性，而描述兩個(gè)變量非線性相關(guān)性的方法多利用Copula函數(shù)。目前，Copula函數(shù)是描述產(chǎn)品退化過(guò)程中不同退化特征相關(guān)性的主流方法。傳統(tǒng)的線性相關(guān)性系數(shù)不能正確度量退化特征之間的相關(guān)性，Copula函數(shù)幾乎包含了所有的相關(guān)信息。文獻(xiàn)[5]基于Copula函數(shù)研究了各類產(chǎn)品退化特征的相關(guān)性，文獻(xiàn)[6]利用藤Copula模型對(duì)多個(gè)土壤參數(shù)的多元分布進(jìn)行了建模。不難看出，Copula理論能夠有效地將多個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)與各隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù)相互關(guān)聯(lián)起來(lái)。但是，基于Copula函數(shù)的研究方法模型參數(shù)估計(jì)復(fù)雜，并且Copula 函數(shù)的形式較為復(fù)雜，選擇不同的 Copula 函數(shù)會(huì)導(dǎo)致不一樣的結(jié)果。其中，文獻(xiàn)[7]利用Copula 函數(shù)構(gòu)建慣性測(cè)量單元的剩余使用壽命（Remaining Useful Life，RUL）聯(lián)合分布函數(shù)，分別采用后向平滑和期望最大化聯(lián)合算法、極大似然估計(jì)算法估計(jì)模型參數(shù)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了RUL的實(shí)時(shí)自適應(yīng)更新預(yù)測(cè)；文獻(xiàn)[8]基于Copula函數(shù)建立考慮參數(shù)性能相關(guān)的退化模型，采用MCMC-Gibbs抽樣算法估計(jì)模型未知參數(shù)，實(shí)現(xiàn)變壓器油紙絕緣剩余壽命預(yù)測(cè)。從文獻(xiàn)可以看出，基于Copula函數(shù)的建模方法不僅模型參數(shù)求解復(fù)雜，而且參數(shù)自適應(yīng)更新過(guò)程繁瑣。

Wiener過(guò)程常被用于分析產(chǎn)品性能退化過(guò)程中所呈現(xiàn)出的隨機(jī)特征，是一種在產(chǎn)品壽命預(yù)測(cè)領(lǐng)域應(yīng)用較為廣泛的概率統(tǒng)計(jì)模型。對(duì)某些產(chǎn)品而言，單單考慮其某一個(gè)退化特征往往不能全面、準(zhǔn)確地反映其性能退化過(guò)程[9]。文獻(xiàn)[10]分別利用一元線性Wiener模型和二元線性Wiener模型對(duì)鎳鎘電池的退化進(jìn)程建模，其中二元Wiener模型能夠更精準(zhǔn)地預(yù)測(cè)鎳鎘電池的壽命；文獻(xiàn)[11]通過(guò)建立Cu和Pb兩種指示元素的二元Wiener過(guò)程退化模型進(jìn)行了離合器的剩余壽命預(yù)測(cè)，提高了預(yù)測(cè)精度；文獻(xiàn)[12]提出了利用主成分分析法融合多個(gè)特征參數(shù)進(jìn)行Wiener過(guò)程建模實(shí)現(xiàn)風(fēng)電軸承剩余壽命預(yù)測(cè)方法，在提高預(yù)測(cè)精度的同時(shí)減少了對(duì)樣本數(shù)據(jù)的依賴。針對(duì)Copula函數(shù)的局限性，借鑒文獻(xiàn)[13]所提方法，本文提出了利用Box-Cox變換結(jié)合二元高斯建模的方法進(jìn)行電解電容在線剩余壽命預(yù)測(cè)，首先利用Box-Cox變換線性化處理電容容值和ESR的退化數(shù)據(jù)，并提高了二者之間的線性相關(guān)性。然后建立電容退化的二元線性Wiener過(guò)程模型，依據(jù)同類型產(chǎn)品的歷史數(shù)據(jù)，采用極大似然估計(jì)法獲得模型離線參數(shù)，通過(guò)Bayesian理論實(shí)現(xiàn)參數(shù)在線更新，完成電解電容RUL的實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)，提高了預(yù)測(cè)精度。

1電容二元Wiener過(guò)程退化建模

在對(duì)電解電容進(jìn)行實(shí)時(shí)壽命預(yù)測(cè)時(shí)，為了盡可能精準(zhǔn)地描述其健康狀態(tài)，可對(duì)電容容值、ESR兩個(gè)特征量同時(shí)進(jìn)行建模分析，即建立二元Wiener過(guò)程來(lái)分析其退化過(guò)程。考慮一個(gè)典型的二元退化過(guò)程{X（t），Y（t）}T，X（t），Y（t）分別對(duì)應(yīng)電容容值和ESR，且兩者還應(yīng)滿足以下性質(zhì)：

基于變換得到的極大似然函數(shù)，利用極大化對(duì)數(shù)似然函數(shù)法可進(jìn)一步求出變換參數(shù)λ。

1.2相關(guān)性分析

為了研究電解電容的剩余壽命，需要分析電容容值和ESR兩種退化數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性。這里采用Pearson相關(guān)性和Spearman秩相關(guān)性定量分析兩個(gè)退化特征之間的線性相關(guān)性。對(duì)于電容而言，Pearson相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為r∈[-1，1]，當(dāng)r為1時(shí)可以表示電容容值和等效ESR完全線性正相關(guān)；當(dāng)r為-1時(shí)可以表示電容容值和ESR完全線性負(fù)相關(guān)；當(dāng)r為0時(shí)可以表示電容容值和ESR完全不相關(guān)。當(dāng)Pearson相關(guān)系數(shù)r在0和-1或者0和1之間時(shí)，說(shuō)明兩者之間存在相關(guān)性，且r絕對(duì)值越大說(shuō)明相關(guān)性越強(qiáng)。Spearman秩相關(guān)系數(shù)rs∈[-1，1]，當(dāng)rs=1或-1時(shí)，說(shuō)明兩個(gè)變量之間嚴(yán)格單調(diào)，否則不嚴(yán)格單調(diào)。

根據(jù)相關(guān)性分析的結(jié)果，判斷電容容值和ESR之間是否有線性相關(guān)性，若不具備線性相關(guān)性或者線性相關(guān)性不強(qiáng)時(shí)需要進(jìn)一步對(duì)電容退化數(shù)據(jù)進(jìn)行變換。

2退化模型參數(shù)估計(jì)和更新

2.1參數(shù)估計(jì)

利用BCT將電容退化特征參數(shù)線性化，得到其變換后的退化數(shù)據(jù){X（t），Y（t）}T。由于電容自身制造工藝、外界工作環(huán)境等因素存在差異，即使是同一批電容，其性能退化過(guò)程也不完全相同，因此將二元線性Wiener過(guò)程模型兩個(gè)漂移參數(shù)a，c設(shè)為隨機(jī)變量，假設(shè)其先驗(yàn)分布為正態(tài)分布，即a～N（μa，σa2），c～N（μc，σc2），其他參數(shù)為固定效應(yīng)參數(shù)。當(dāng)漂移參數(shù)服從正態(tài)分布時(shí)，根據(jù)Bayesian思想，容易推導(dǎo)出其后驗(yàn)分布仍服從正態(tài)分布，則退化模型的參數(shù)可分為兩個(gè)部分：隨機(jī)效應(yīng)參數(shù)（a，c）和固定效應(yīng)參數(shù)（b， d，ρ），且隨機(jī)參數(shù)a～N（μa，σa2），c～N（μc，σc2），其中μa，σa，μc，σc為超參數(shù)。

在實(shí)時(shí)RUL預(yù)測(cè)之前需要獲得模型的初始參數(shù)，而初始參數(shù)是根據(jù)同類型電容的退化數(shù)據(jù)得到的，代表了該類型電容的退化規(guī)律。假設(shè)存在n個(gè)電容m個(gè)不同測(cè)量時(shí)刻的退化數(shù)據(jù)，且任意兩個(gè)相鄰測(cè)量時(shí)刻之間的時(shí)間間隔為單位時(shí)間。為了建模方便，這里假設(shè)單位時(shí)間為1，即Δti，j= ti，j-ti，j-1=1，其中i=1，2，…，n，j=1，2，…，m。對(duì)第i個(gè)電容第j次測(cè)量得到的退化數(shù)據(jù)為W2n×m=（xi，j，yi，j）T，那么所有退化數(shù)據(jù)可表示為

2.3壽命分布估計(jì)

在當(dāng)同時(shí)考慮電容容值和ESR，利用二元Wiener過(guò)程進(jìn)行退化建模時(shí)，同樣可利用首達(dá)失效閾值的概念定義電容的壽命，假設(shè)電容容值的失效閾值為w1，ESR的失效閾值為w2，當(dāng)其中任意一個(gè)退化特征首次達(dá)到失效閾值時(shí)，則電容失效，其定義為

3實(shí)例驗(yàn)證

本研究以NASA電容退化數(shù)據(jù)進(jìn)行算法驗(yàn)證，6個(gè)初始容值均為2 200 μF的電解電容在試驗(yàn)溫度105 ℃下不間斷工作，共得到6組退化數(shù)據(jù)。根據(jù)工業(yè)界給出的電解電容失效標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)電容容值衰減至初始電容容值的20%或者ESR增加到初始ESR的2倍時(shí)，則認(rèn)為其失效。而從NASA的電容退化數(shù)據(jù)中可以看出，當(dāng)電容容值衰減至其初始電容容值的20%時(shí)，而ESR才增加50%左右。為了驗(yàn)證本文所提方法的有效性和合理性，將ESR的失效閾值設(shè)為初始ESR的50%。另外，從NASA的電解電容加速退化數(shù)據(jù)中可以看出，其電容容值和ESR的退化數(shù)據(jù)均顯現(xiàn)出非線性退化的趨勢(shì)，且兩退化數(shù)據(jù)之間存在相關(guān)性，選擇其中1#～4#、6#這5組電容的退化數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，其中5#電容作為待預(yù)測(cè)的目標(biāo)電容。首先對(duì)訓(xùn)練集的退化數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，其中Pearson相關(guān)系數(shù)分別為90.91%，90.64%， 91.15%， 91.78%， 89.53%，Spearman秩相關(guān)系數(shù)均為1，說(shuō)明兩退化量之間相關(guān)性很強(qiáng)，且二者之間嚴(yán)格單調(diào)。

利用BCT變換對(duì)訓(xùn)練集中的電容容值和ESR進(jìn)行線性化處理，其中2#電容的變換結(jié)果如圖2所示。2#電容變換后容值與ESR的退化軌跡都近似于線性模型。

在進(jìn)行BCT時(shí)，訓(xùn)練集中的電容容值最佳變換參數(shù)分別為0.31，0.29，0.31，0.29，0.33，ESR的最佳變換參數(shù)分別為1.11，1.17，1.16，1.05，1.12。由此可以看出，訓(xùn)練集的各電容不論是電容容值還是ESR的最佳變換參數(shù)都非常接近，再利用BCT變換對(duì)5#電容的退化數(shù)據(jù)進(jìn)行變換，得到其容值和ESR的最佳變換參數(shù)分別為0.31和1.11，發(fā)現(xiàn)二者與訓(xùn)練集中的變換參數(shù)接近。考慮到測(cè)量誤差的存在，可認(rèn)為所有電容變換參數(shù)一致，也就意味著所有電容容值和ESR具有相同的非線性特性，這也符合所有電容非線性特征一致性的假設(shè)。再利用Pearson相關(guān)系數(shù)和Spearman秩相關(guān)系數(shù)對(duì)變換后的退化數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)性分析，其結(jié)果如表1所示，可以看出經(jīng)過(guò)BCT后的電容退化數(shù)據(jù)不僅存在提高了線性度，還提高了兩個(gè)性能退化量之間的相關(guān)性，表明BCT對(duì)電容退化數(shù)據(jù)具有很好的變換效果。

在表1中，5組電容容值退化數(shù)據(jù)的變換系數(shù)接近0.3，ESR的退化數(shù)據(jù)的變換系數(shù)接近1.1，為了實(shí)現(xiàn)總體電容退化數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)BCT后仍具有相同的失效閾值，取5組電容容值變換系數(shù)的均值為0.3，ESR變換系數(shù)的均值為1.1，作為總體電容的最佳變換系數(shù)。

利用二元線性Wiener過(guò)程模型對(duì)經(jīng)過(guò)BCT后的電容退化數(shù)據(jù)建模，根據(jù)訓(xùn)練集中的退化數(shù)據(jù)求得模型的初始參數(shù)為：μa=0.042 8，μc=0.365 3，σa=5.188 8×10-4，σc=0.003 1，b=0.073 6，d=0.212 2，ρ=0.080 3。

為了進(jìn)一步觀察不同測(cè)量時(shí)刻的剩余壽命預(yù)測(cè)情況，圖3給出了電容在tk=1 h，50 h，100 h和150 h四個(gè)時(shí)刻通過(guò)本文仿真算法得到的剩余壽命分布。其中，在這四個(gè)測(cè)量時(shí)刻此電容的實(shí)際剩余壽命分別為161 h、112 h、62 h和13 h。基于BCT的二元Wiener模型預(yù)測(cè)結(jié)果的期望分別為166 h、101 h、72 h和17 h，與相應(yīng)時(shí)刻的實(shí)際剩余壽命非常接近。

式中，Rpk為測(cè)量時(shí)刻tk時(shí)的預(yù)測(cè)RUL，Rak為測(cè)量時(shí)刻tk時(shí)的實(shí)際RUL。不同測(cè)量時(shí)刻的RUL相對(duì)誤差結(jié)果如圖4所示。從圖4看出，基于電解電容兩個(gè)退化特征得到的RUL預(yù)測(cè)結(jié)果比只考慮單一性能參數(shù)得到的預(yù)測(cè)結(jié)果精度更高。且考慮電容容值的RUL預(yù)測(cè)平均相對(duì)誤差為1.003 7%，考慮電容等效ESR的RUL預(yù)測(cè)平均相對(duì)誤差為0.365 2%，考慮電容容值和等效ESR相關(guān)性的預(yù)測(cè)平均誤差為0.273 9%。

此外，從圖4可進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，電容在退化末期可能受到自身工藝或者環(huán)境的影響，退化速率發(fā)生突變，預(yù)測(cè)精度有所降低。因此，后續(xù)研究中需進(jìn)一步提高模型的自適應(yīng)追蹤能力。

4基于Copula理論的對(duì)比驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文方法的優(yōu)勢(shì)，與基于Copula理論的算法[17]進(jìn)行對(duì)比，即利用非線性Wiener過(guò)程建模，并用Copula 函數(shù)作為連接函數(shù)將不同退化特征的一元邊緣分布相聯(lián)系。因此本文采用非線性Wiener過(guò)程分別對(duì)電解電容容值和ESR建模，采用Copula函數(shù)來(lái)描述電容容值和ESR的相關(guān)性，其中常見(jiàn)的Copula函數(shù)如表2所示。表2中分布函數(shù)中的θ為Copula函數(shù)的參數(shù)，μ和v是自變量，分別對(duì)應(yīng)電容容值和ESR增量的分布。在得到基于Copula理論構(gòu)造極大似然函數(shù)后，利用分步極大似然估計(jì)求解模型的初始參數(shù)，最后基于Bayesian框架更新目標(biāo)電容的RUL。

5結(jié)論

本文針對(duì)二元Wiener過(guò)程模型的局限性，利用Box-Cox變換改善了電容退化數(shù)據(jù)的線性度和正態(tài)性，并且分析了基于Copula理論的剩余壽命研究。結(jié)果表明，本文所提方法增強(qiáng)了兩個(gè)退化特征的相關(guān)性，可根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)退化數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)，具有較強(qiáng)的魯棒性，且預(yù)測(cè)精度高于只考慮單個(gè)性能參數(shù)或基于Copula函數(shù)處理相關(guān)性的預(yù)測(cè)方法，對(duì)具有多個(gè)退化特征的產(chǎn)品剩余壽命研究具有重要的參考價(jià)值。此外，本文的研究對(duì)象雖然是電解電容，但是其建模方法可為部分電子元件和機(jī)械部件的實(shí)時(shí)剩余使用壽命預(yù)測(cè)提供思路。

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Research on residual life prediction of electrolytic capacitors considering degradation correlation

LI Xiaobo1， WANG Xiang2， WANG Ruiyi2

（1. College of Urban Rail Transit， Shanghai University of Engineering Science， Shanghai 201620， China;2. Shanghai Metro Electronic Technology Co. Ltd.， Shanghai 200233， China）

Abstract： The research on the degradation characteristics of electrolytic capacitors is mostly based on a single degradation feature at present， making it difficult to predict the remaining life of the capacitor accurately. In response to this situation， a binary linear Wiener process degradation model that considered the correlation of degradation features for real-time prediction of capacitor residual life is proposed. Firstly， the Box-Cox transformation is used to linearize the degradation data of capacitors， then the model parameters obtained by combining maximum likelihood estimation with self-sampling method are updated in real-time by Bayesian theory， and the Monte Carlo algorithm is used to solve the remaining life distribution of capacitors. Finally， it is verified by NASA test data and compared with algorithms based on Copula function for processing correlation. The results show that the prediction accuracy of this algorithm is about 0.729 8%， 0.091 3% higher than the model that of the one-dimensional Wiener process model considering only capacitance value and equivalent ESR， respectively. The prediction accuracy is about 0.083 2% higher than that of the algorithm based on Copula theory， which can provide a basis for the formulation of the maintenance strategy of electrolytic capacitors depending on the situation

Keywords： electrolytic capacitor; real-time residual life prediction; binary Wiener process; Box-Cox transformation; Bayesian theory

收稿日期：2023-10-10責(zé)任編輯：溫茂森

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51907117）

作者簡(jiǎn)介：*李小波（1974-），女，山東煙臺(tái)人，博士，副教授，主要研究方向?yàn)檐壍澜煌ㄜ?chē)輛電氣系統(tǒng)故障診斷、狀態(tài)監(jiān)測(cè)與可靠性，Email：lxbsues@126.com。