離散時間冷貯備可修重試系統(tǒng)可靠性建模

摘要：研究了離散時間冷貯備可修重試系統(tǒng)，該系統(tǒng)考慮了失效部件的兩階段維修行為和Bernoulli休假機(jī)制。系統(tǒng)中所有失效部件都進(jìn)行第一階段基本維修，經(jīng)過基本維修之后的部件會以一定概率進(jìn)行第二階段可選維修。修理工每完成一個階段的維修均會以一定的概率進(jìn)行休假或繼續(xù)留在系統(tǒng)中。針對離散時間多個事件可能會同時發(fā)生的情形，定義了多個事件同時發(fā)生的先后次序。基于兩類優(yōu)先級規(guī)則，提出了兩種不同的模型。利用差分方程迭代解法和母函數(shù)法等推導(dǎo)出了系統(tǒng)可用度、可靠度和首次失效前平均時間等關(guān)鍵可靠性指標(biāo)。通過數(shù)值算例，演示了各個參數(shù)的變化對系統(tǒng)性能指標(biāo)的影響，得到了成本效益比最小值所對應(yīng)的兩類維修率的最優(yōu)值，比較了兩種模型瞬態(tài)可靠性指標(biāo)的數(shù)值結(jié)果。

關(guān)鍵詞：重試；冷貯備；兩階段維修；Bernoulli休假；可靠度；可用度

中圖分類號： O213.2 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： ADOI：10.3969/j.issn.1007-791X.2025.02.010

0引言

冷貯備冗余作為提高系統(tǒng)可靠性的有效手段，在醫(yī)院急救系統(tǒng)、供電系統(tǒng)和飛行控制系統(tǒng)等對可靠性要求特別高的關(guān)鍵任務(wù)系統(tǒng)中已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用。多數(shù)可靠性文獻(xiàn)都是在部件壽命或維修時間連續(xù)的假設(shè)下來研究可修系統(tǒng)的可靠性建模與評估問題，但有時系統(tǒng)的壽命或維修時間由離散時間段度量。關(guān)于離散時間系統(tǒng)可靠性模型的早期研究見文獻(xiàn)[1-2]。隨后，Ruiz-Castro等[3]基于離散位相分布分析了離散時間冷貯備可修系統(tǒng)的可靠性。余玅妙等[4]采用離散向量Markov過程方法研究了修理工具有單重休假機(jī)制和兩同型部件并聯(lián)的離散時間可修系統(tǒng)。Eryilmaz[5]基于幾何分布分析了離散時間冷貯備可修系統(tǒng)首次故障前時間分布的表達(dá)式。溫艷清等[6]利用聚合隨機(jī)過程理論研究了具有多重休假策略的離散時間冷貯備可修系統(tǒng)的可靠性。最近，張婷婷等[7]針對樣本數(shù)據(jù)不足的情形構(gòu)建了離散時間隨機(jī)不確定多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性模型。王康等[8]建立了基于離散時間貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的列控中心動態(tài)概率安全評估模型并進(jìn)行了可靠性分析。Kan等[9]利用概率生成函數(shù)法分析了離散時間冷貯備系統(tǒng)的壽命分布，計算并評估了系統(tǒng)的可靠度和危險率函數(shù)。Chadjiconstantinidis等[10]研究了離散時間δ-沖擊可靠性模型中隨機(jī)變量的分布特性。

兩階段服務(wù)或維修是一種常見的多階段維修策略，在一些生產(chǎn)制造系統(tǒng)、計算機(jī)、通信工程及服務(wù)行業(yè)等領(lǐng)域具有一定的應(yīng)用背景和前景。關(guān)于兩階段服務(wù)的研究多數(shù)集中在排隊系統(tǒng)模型上。程慧慧等[11]采用補(bǔ)充變量法研究了具有兩階段服務(wù)和多重休假機(jī)制的MX/G/1重試排隊系統(tǒng)。Wu等[12]考慮了一個具有兩階段異構(gòu)服務(wù)方案的M/M/（1+c）排隊系統(tǒng)及雙目標(biāo)優(yōu)化問題。Laxmi等[13]研究了具有二次可選服務(wù)和工作休假的不耐煩顧客排隊系統(tǒng)。Xu等[14]研究了具有延遲假期的兩階段異構(gòu)服務(wù)重試排隊系統(tǒng)模型和相關(guān)優(yōu)化設(shè)計。以往可修系統(tǒng)可靠性的研究大多集中于失效部件的單階段維修，但這并不能滿足所有實(shí)際情況。因此，Wang等[15]在具有Bernoulli休假機(jī)制的連續(xù)k/n：F可修重試系統(tǒng)中考慮了失效部件的兩階段維修，比較分析了有無重試或休假系統(tǒng)的成本效益比（cost-benefit ratio，CBR） 。Gao[16]在具有重試機(jī)制的溫貯備系統(tǒng)中也考慮了失效部件的兩階段維修，分析了系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)。

基于離散時間重試機(jī)制的研究早期主要集中在排隊系統(tǒng)的排隊性能指標(biāo)上。鑒于重試機(jī)制在許多實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用，如數(shù)據(jù)中心、云服務(wù)計算中心、網(wǎng)絡(luò)通信系統(tǒng)等相關(guān)領(lǐng)域，近些年，一些學(xué)者從系統(tǒng)可靠性的角度研究了可修系統(tǒng)中失效部件的重試機(jī)制。Gao等[17]利用Markov過程方法和Laplace變換方法對具有不可靠修理設(shè)備和重試機(jī)制的混合貯備可修系統(tǒng)進(jìn)行可靠性分析。Wang等[18]采用Laplace-Stieltjes變換方法對四種具有不可靠服務(wù)器和重試機(jī)制的系統(tǒng)可靠性進(jìn)行了研究，并對其CBR進(jìn)行了比較分析。康佳等[19]研究了具有不可靠修理設(shè)備和兩種不同類型部件的溫貯備可修重試系統(tǒng)可靠性與成本模型。Yu等[20]研究了具有重試機(jī)制和Bernoulli沖擊的離散時間k/n：G可修系統(tǒng)可靠性。

在實(shí)際系統(tǒng)中，管理者通過對系統(tǒng)運(yùn)行情況與經(jīng)濟(jì)效益的綜合考量，往往會針對修理工（服務(wù)員）制定一定的休假策略。Wang等[21]對修理工具有多重休假機(jī)制的系統(tǒng)可靠性建模與評估問題進(jìn)行了研究。左凱等[22]研究了修理工具有多重休假機(jī)制的k/n溫貯備系統(tǒng)，該系統(tǒng)的修理設(shè)備可更換。但在工程實(shí)際中，每維修完一個失效部件后，即使系統(tǒng)中還有失效部件存在，修理工也有可能因特殊原因以一定概率去休假，此類休假規(guī)則被稱為Bernoulli休假。因其相較于其他休假更具現(xiàn)實(shí)性和靈活性，該休假規(guī)則廣泛應(yīng)用于電子通訊系統(tǒng)、閘門控制系統(tǒng)和計算機(jī)等實(shí)際領(lǐng)域，文獻(xiàn)[15，23]考慮了修理工的Bernoulli休假機(jī)制。

基于以上文獻(xiàn)綜述可以看出，可修重試系統(tǒng)模型可以用于許多實(shí)際系統(tǒng)。在工程實(shí)際中，一些可修系統(tǒng)運(yùn)行、維修及檢查時間由離散時間段度量。基于不同的實(shí)際需求，失效部件可能會進(jìn)行可選維修。因此，針對失效部件的可選維修行為和修理工的休假機(jī)制，建立與分析離散時間可修重試系統(tǒng)的可靠性模型具有重要的理論與實(shí)際價值。這促使研究人員將失效部件的兩種維修行為和Bernoulli休假機(jī)制引入到離散時間冷貯備可修重試系統(tǒng)中，并對該系統(tǒng)進(jìn)行可靠性建模與評估。本文與文獻(xiàn)[3，6]都考慮了離散時間冷貯備可修系統(tǒng)。與文獻(xiàn)[3]相比，本研究從重試機(jī)制、維修行為和休假機(jī)制三個方向?qū)﹄x散時間冷貯備可修系統(tǒng)模型進(jìn)行了拓展；與文獻(xiàn)[6]相比，本研究從部件個數(shù)、重試機(jī)制和維修行為三個方向?qū)﹄x散時間冷貯備可修系統(tǒng)模型進(jìn)行了拓展。本文與文獻(xiàn)[15]都研究了失效部件的兩階段維修行為和修理工的休假機(jī)制，不同之處在于文獻(xiàn)[15]中所有隨機(jī)變量均服從連續(xù)時間分布，本文中所有隨機(jī)變量均服從離散時間分布。本文主要創(chuàng)新性工作如下：1）將失效部件的兩階段維修行為和修理工的Bernoulli休假機(jī)制引入到離散時間冷貯備可修重試系統(tǒng)可靠性模型，分析了系統(tǒng)性能指標(biāo)隨關(guān)鍵參數(shù)的變化情況，對CBR優(yōu)化問題進(jìn)行分析與求解。2）針對多個事件可同時發(fā)生的情形，考慮了兩類不同的離散時間可靠性模型，比較了兩類模型的瞬態(tài)可靠性指標(biāo)。3）利用遞推法得到了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率及穩(wěn)態(tài)可靠性指標(biāo)的計算表達(dá)式。本文的結(jié)構(gòu)組織如下：首先詳細(xì)地描述了系統(tǒng)模型；其次推導(dǎo)了系統(tǒng)可用度、可靠度和首次失效前平均時間（mean time to first failure， MTTFF） 等可靠性指標(biāo)，構(gòu)建了系統(tǒng)期望成本函數(shù)和CBR 函數(shù)；最后分析了系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)性能指標(biāo)的影響。

1系統(tǒng)模型描述與分析

本文研究的冷貯備可修系統(tǒng)由1個運(yùn)行部件、n-1個冷貯備部件和1個修理工組成。初始時刻所有部件都是新的，系統(tǒng)正常運(yùn)行，修理工空閑。當(dāng)運(yùn)行部件失效時，冷貯備部件立即替換失效部件開始運(yùn)行（切換時間忽略）。若修理工空閑，則立即修理該部件。否則，該部件進(jìn)入重試空間，并在隨機(jī)時間后重復(fù)其維修請求（重試規(guī)則先進(jìn)先出）。基于不同的實(shí)際需求，失效部件要么在基本修復(fù)（主體功能修復(fù)如新）完成后以概率運(yùn)行或等待運(yùn)行，要么以概率λ選擇可選維修（主體功能修復(fù)如新下的附加性維護(hù)）。修理工修復(fù)完失效部件后，可能會以概率μ進(jìn)行休假，也可能以概率留在系統(tǒng)中，等待新失效的部件到達(dá)。當(dāng)部件選擇可選維修和修理工開始休假同時發(fā)生時，前者優(yōu)先于后者。所有與修理工和部件有關(guān)的隨機(jī)變量均相互獨(dú)立。模型具體假定如下。

1） 運(yùn)行部件的壽命、失效部件的基本維修時間、可選維修時間、失效部件的重試時間以及修理工休假時間分別服從參數(shù)為p、δ、η、r和υ的幾何分布。

2） 時間軸被分割成一系列相等的時間間隔，所有事件只能發(fā)生在分割好的分點(diǎn)處。針對同一離散時刻點(diǎn)上多個事件可同時發(fā)生的情形，構(gòu)建如下兩種類型事件發(fā)生次序的優(yōu)先級模型。

模型A：①任一階段維修完成，部件失效，失效部件重試；②修理工休假開始或結(jié)束，部件失效，失效部件重試。

模型B：①部件失效，失效部件重試，任一階段維修完成；②部件失效，失效部件重試，修理工休假開始或結(jié)束。

為了更加直觀地理解同一離散時刻點(diǎn)上事件發(fā)生的先后次序，圖1和圖2展示了兩類優(yōu)先級模型中事件在同一時刻點(diǎn)發(fā)生次序的主要區(qū)別。

4數(shù)值分析

本節(jié)以三個部件的模型A為例，令p=0.18，δ=0.8，r=0.4，η=0.8，μ=0.5，λ=0.6，υ=0.4為系統(tǒng)參數(shù)的基本值。通過數(shù)值例子對所構(gòu)建的模型進(jìn)行了驗證。

4.1可靠性指標(biāo)分析

圖3～圖7展示了模型A的瞬時可用度在各個參數(shù)下隨時刻τ的變化情況。從圖形提供的數(shù)值結(jié)果可看到系統(tǒng)瞬時可用度曲線隨時間的增加先急劇下降，然后緩慢下降到平穩(wěn)態(tài)勢，此平穩(wěn)值為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度。參數(shù)p顯著影響著A（τ），參數(shù)δ對A（τ）的影響略大于參數(shù)η，參數(shù)υ對A（τ）的影響略大于參數(shù)r。從圖8可以看出系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度隨著參數(shù)p的增大而減小，隨著參數(shù)r的增大而增大，即運(yùn)行部件的失效率越小，系統(tǒng)正常運(yùn)行的時間就越長，失效部件的重試率越大，重試空間中失效部件的重試時間就越短，從而保證失效部件能夠得到及時修復(fù)。從圖9可以看出系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度隨著參數(shù)δ和η的增大而增大，即失效部件的兩階段維修率的值越大，處于維修狀態(tài)的部件修復(fù)時間就越短，系統(tǒng)中正常的部件就會越多。

4.2CBR分析

令C1=20，C2=10，C3=30，C4=50，C5=60，C6=20，Cs=80為參數(shù)基本值。圖10的數(shù)值結(jié)果展示了CBR（δ，η）隨參數(shù)δ和η變化情況，發(fā)現(xiàn)隨著參數(shù)δ和η的增大，圖形的表面呈現(xiàn)先下降后上升的趨勢，且該圖形存在最低點(diǎn)。令D=200，αmax=200，q1=0.4，q2=0.3，wmax=0.8，wmin=0.6，vmax=0.6，vmin=-0.6為粒子群算法中參數(shù)基本值。計算可得最優(yōu)值（δ*，η*）=（0.460 9，0.341 2），對應(yīng)CBR的最小值為CBR（δ*，η*）=121.586 3。

4.3兩類模型的瞬態(tài)可靠性指標(biāo)比較

表2提供了模型A和B瞬態(tài)可靠性指標(biāo)的數(shù)值比較結(jié)果。通過觀察表2可知模型A的可靠性（可用度和可靠度）高于模型B，即在構(gòu)建模型時規(guī)定多個事件同時發(fā)生的不同先后次序會對系統(tǒng)可靠性產(chǎn)生影響。原因是：1）當(dāng)失效部件的任意階段維修完成優(yōu)先于部件失效時，系統(tǒng)中正常的部件數(shù)就會增加；2）當(dāng)修理工休假結(jié)束優(yōu)先于部件失效時，系統(tǒng)中失效的部件數(shù)就會減少。1）和2）都會導(dǎo)致系統(tǒng)處于工作狀態(tài)的時間變長，Vs（τ）變小，V（τ）變大，系統(tǒng)的可靠性變高。

5結(jié)論

本文研究了具有兩階段維修和Bernoulli休假機(jī)制的離散時間冷貯備重試系統(tǒng)可靠性建模與優(yōu)化問題。系統(tǒng)中所有與修理工和部件有關(guān)的隨機(jī)變量均服從幾何分布。基于離散時間Markov理論定義了系統(tǒng)狀態(tài)空間和狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，建立了系統(tǒng)狀態(tài)概率方程組。通過對系統(tǒng)狀態(tài)概率進(jìn)行分析，得到了系統(tǒng)可用度、可靠度、條件失效概率和MTTFF等可靠性指標(biāo)，以及修理工處于各個狀態(tài)的概率、重試空間中失效部件的期望數(shù)和系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)期望繁忙周期等系統(tǒng)性能指標(biāo)。通過分析各個參數(shù)對系統(tǒng)瞬時可用度的影響，發(fā)現(xiàn)適當(dāng)降低部件失效率對提高系統(tǒng)可靠性起到關(guān)鍵性作用。采用粒子群優(yōu)化算法得到了CBR最小值所對應(yīng)的δ*和η*，即可以從具有不同維修能力和水平的修理工中進(jìn)行科學(xué)選擇，達(dá)到維修資源的合理配置。

參考文獻(xiàn)

[1] XEKALAKI E. Hazard functions and life distributions in discrete time[J]. Communications in Statistics-Theory and Methods， 1983， 12（21）： 2503-2509.

[2] BRACQUEMOND C， GAUDOIN O. A survey on discrete lifetime distributions[J]. International Journal of Reliability， Quality and Safety Engineering， 2003， 10（1）： 69-98.

[3] RUIZ-CASTRO J E， PEREZ-OCON R， FERNANDEZ-VILLODRE G. Modelling a reliability system governed by discrete phase-type distributions[J]. Reliability Engineering and System Safety， 2008， 93（11）： 1650-1657.

[4] 余玅妙， 唐應(yīng)輝， 陳勝蘭. 離散時間單重休假兩部件并聯(lián)可修系統(tǒng)的可靠性分析[J]. 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)， 2009， 29（5）： 617-629.

YU M M， TANG Y H， CHEN S L. Reliability analysis of discrete time two-unit parallel repairable system with single vacation[J]. Journal of Systems Science and Mathematical Sciences， 2009， 29（5）： 617-629.

[5] ERYILMAZ S. Discrete time cold standby repairable system： combinatorial analysis[J]. Communications in Statistics-Theory and Methods， 2016， 45（24）： 7399-7405.

[6] 溫艷清， 崔利榮， 劉寶亮， 等. 冷貯備離散時間狀態(tài)聚合可修系統(tǒng)的可靠性[J]. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù)， 2018， 40（10）： 2382-2387.

WEN Y Q， CUI L R， LIU B L， et al. Reliability of a cold standby discrete time state aggregated repairable system[J]. System Engineering and Electrics， 2018， 40（10）： 2382-2387.

[7] 張婷婷， 胡林敏， 王桂榮. 離散時間隨機(jī)不確定多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性分析[J]. 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)， 2021， 41（7）： 2006-2017.

ZHANG T T， HU L M， WANG G R. Reliability analysis of a discrete time random uncertain multi-state system[J]. Journal of Systems Science and Mathematical Sciences， 2021， 41（7）： 2006-2017.

[8] 王康， 齊金平， 周亞輝， 等. 基于離散時間貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的列控中心可靠性分析[J]. 中國機(jī)械工程， 2021， 32（4）： 390-398.

WANG K， QI J P， ZHOU Y H， et al. Reliability analysis of train control center based on discrete-time Bayesian network[J]. China Mechanical Engineering， 2021， 32（4）： 390-398.

[9] KAN C， ERYILMAZ S. Reliability assessment of a discrete time cold standby repairable system[J]. Top， 2021， 29： 613-628.

[10] CHADJICONSTANTINIDIS S， ERYILMAZ S. The Markov discrete time δ-shock reliability model and a waiting time problem[J]. Applied Stochastic Models in Business and Industry， 2022， 38（6）： 952-973.

[11] 程慧慧， 田中連. 具有多重休假和兩階段服務(wù)的MX/G/1重試排隊系統(tǒng)[J]. 科學(xué)技術(shù)與工程， 2020， 20（32）： 13091-13098.

CHENG H H， TIAN Z L. MX/G/1 retrial queue system with multiple vacations and two-phase service[J]. Science Technology and Engineering， 2020， 20（32）： 13091-13098.

[12] WU C H， YANG D Y. Bi-objective optimization of a queueing model with two-phase heterogeneous service[J]. Computers and Operations Research， 2021， 130： 105230.

[13] LAXMI P V， JYOTHSNA K. Cost and revenue analysis of an impatient customer queue with second optional service and working vacations[J]. Communications in Statistics-Simulation and Computation， 2022， 51（8）： 4799-4814.

[14] XU W， LI L， FAN W， et al. Optimal control of a two-phase heterogeneous service retrial queueing system with collisions and delayed vacations[J]. Journal of Applied Mathematics and Computing， 2024， 70： 2879-2906.

[15] WANG Y， HU L M， ZHAO B， et al. Stochastic modeling and cost-benefit evaluation of consecutive k/n： F repairable retrial systems with two-phase repair and vacation[J]. Computers and Industrial Engineering， 2023， 175： 108851.

[16] GAO S. Availability and reliability analysis of a retrial system with warm standbys and second optional repair service[J]. Communications in Statistics-Theory and Methods， 2023， 52（4）： 1039-1057.

[17] GAO S， WANG J T. Reliability and availability analysis of a retrial system with mixed standbys and an unreliable repair facility[J]. Reliability Engineering and System Safety， 2021， 205： 107240.

[18] WANG K H， WU C H， YEN T C. Comparative cost-benefit analysis of four retrial systems with preventive maintenance and unreliable service station[J]. Reliability Engineering and System Safety， 2022， 221： 108342.

[19] 康佳， 胡林敏， 王妍. 基于優(yōu)先使用權(quán)的溫貯備可修重試系統(tǒng)可靠性與期望成本模型[J]. 控制與決策， 2024， 39（4）： 1351-1360.

KANG J， HU L M， WANG Y. Reliability and expected cost model of warm standby repairable retrial system with priority in use[J]. Control and Decision， 2024， 39（4）： 1351-1360.

[20] YU X Y， HU L M， MA M R. Reliability measures of discrete time k-out-of-n： G retrial systems based on Bernoulli shocks[J]. Reliability Engineering and System Safety， 2023， 239： 109491.

[21] WANG G R， HU L M， ZHANG T T， et al. Reliability modeling for a repairable （k1，k2）-out-of-n： G system with phase-type vacation time[J]. Applied Mathematical Modelling， 2021， 91： 311-321.

[22] 左凱， 吳文青， 張元元. 修理工多重休假且修理設(shè)備可更換的n中取k溫貯備系統(tǒng)研究[J]. 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)， 2021， 41（6）： 1729-1741.

ZUO K， WU W Q， ZHANG Y Y. Analysis of a k-out-of-n warm standby system with repairman’s multiple vacations and replaceable repair facility[J]. Journal of" Systems Science and Mathematical Sciences， 2021， 41（6）： 1729-1741.

[23] LIU S J， HU L M， LIU Z C， et al. Reliability of a retrial system with mixed standby components and Bernoulli vacation[J]. Quality Technology and Quantitative Management， 2021， 18（2）： 248-265.

Reliability modeling of discrete-time cold standby repairable retrial systems

MA Mengrao， HU Linmin， YU Xiaoyun

（School of Science， Yanshan University， Qinhuangdao， Hebei 066004， China）

Abstract： A discrete-time cold standby repairable retrial system is studied， which takes into account the two-phase maintenance behavior of failed components and Bernoulli vacation mechanism.All the failed components in the system are carried out the first phase of basic maintenance， and the components after basic maintenance will be carried out the second phase of optional maintenance with a certain probability. Upon completion of a phase of maintenance， the repairman will take a vacation or stay in the system with a certain probability. For the situation where multiple events may occur simultaneously in the discrete time， the priority order of multiple events occurring simultaneously is defined. Two different models are proposed based on two types of priority rules. The key reliability indexes such as system availability， reliability and mean time to first failure are derived by means of iterative algorithm of difference equation and generative function method. A numerical example is given to demonstrate the influence of each parameter on the system performance indexes， and the optimal values of two repair rates corresponding to the minimum value of the cost-benefit ratio are obtained， and the numerical results of transient reliability indexes of the two models are compared.

Keywords： retrial; cold standby; two-phase maintenance; Bernoulli vacation; reliability; availability

收稿日期：2024-03-19責(zé)任編輯：王建青

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目（72071175）；中央引導(dǎo)地方科技發(fā)展資金項目（246Z0305G）；河北省軟件工程重點(diǎn)實(shí)驗室項目（22567637H）；石家莊市駐冀高校基礎(chǔ)研究項目（241790737A）

作者簡介：馬夢饒（1997-），女，河北邯鄲人，碩士研究生，主要研究方向為系統(tǒng)可靠性理論及應(yīng)用；*通信作者：胡林敏（1978-），男，內(nèi)蒙古通遼人，博士，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向為系統(tǒng)可靠性理論及應(yīng)用，Email：linminhu@ysu.edu.cn。