整體架構(gòu)，凸顯運(yùn)算一致性

［摘 要］口算是數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中“數(shù)與運(yùn)算”的重要內(nèi)容，是學(xué)生必須掌握的一項(xiàng)技能。文章以“除數(shù)是一位數(shù)的口算除法”教學(xué)為例，通過“深度解讀教材，提煉核心問題”“基于學(xué)情，整體架構(gòu)教學(xué)”“凸顯結(jié)構(gòu)化教學(xué)，幫助學(xué)生領(lǐng)悟運(yùn)算一致性”的策略，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］口算除法；運(yùn)算一致性；結(jié)構(gòu)化

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2025）08-0047-03

在傳統(tǒng)的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，部分教師為落實(shí)某一課的教學(xué)目標(biāo)，往往能做到“三多”，即情境多、問題多、練習(xí)多。然而，教學(xué)中存在情境零散、追問不到位、信息碎片化、思考淺層次、缺乏整體意識、缺乏結(jié)構(gòu)化觀念等問題，導(dǎo)致學(xué)生很難主動地將新知與其認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的舊知聯(lián)系起來，也就談不上有意義的學(xué)習(xí)。有意義的學(xué)習(xí)是指學(xué)習(xí)者頭腦中的某種認(rèn)知結(jié)構(gòu)在吸收新的信息后進(jìn)一步完善，使得原有認(rèn)知得到進(jìn)階。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出，感悟數(shù)的運(yùn)算及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識。這就要求教師要注重運(yùn)算一致性。

基于以上認(rèn)識，筆者認(rèn)為，教師應(yīng)基于學(xué)情，通過整合教材內(nèi)容開展結(jié)構(gòu)化教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生領(lǐng)悟運(yùn)算一致性。下面，筆者將以“除數(shù)是一位數(shù)的口算除法”教學(xué)為例，從三個方面談?wù)勛约旱乃伎肌?/p>

一、深度解讀教材，提煉核心問題

學(xué)生在二年級下冊學(xué)習(xí)了表內(nèi)除法、有余數(shù)除法，在三年級下冊開始學(xué)習(xí)除數(shù)是一位數(shù)的口算除法。這節(jié)課是“除數(shù)是一位數(shù)的除法”單元的“種子課”，屬于數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，在學(xué)生學(xué)習(xí)整數(shù)除法的第二階段起到承上啟下的作用，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)除數(shù)是多位數(shù)的除法打下基礎(chǔ)。

教材中將“除數(shù)是一位數(shù)的除法”單元的內(nèi)容按口算除法、筆算除法、解決問題的順序分三個層次編排，這體現(xiàn)了由簡到繁、由易到難的學(xué)習(xí)規(guī)律（見表1）。

第一個層次是口算除法，教材編排了3道例題，分別為整十、整百、整千數(shù)除以一位數(shù)的口算，幾百幾十、幾千幾百除以一位數(shù)的口算，幾十幾除以一位數(shù)的口算。學(xué)生用已掌握的口算方法解決新問題，為學(xué)習(xí)本單元后續(xù)的筆算除法、解決問題奠定基礎(chǔ)。在探究口算算理的過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在直觀的操作過程中歸納口算方法，并助力學(xué)生理解算理、溝通算法，從而使學(xué)生實(shí)現(xiàn)被除數(shù)從兩位數(shù)到三位數(shù)、整十?dāng)?shù)到整百數(shù)、整十?dāng)?shù)到非整十?dāng)?shù)的遷移。

數(shù)與運(yùn)算的內(nèi)核是計(jì)數(shù)單位，數(shù)的概念是基于計(jì)數(shù)單位的“組裝數(shù)”，數(shù)的運(yùn)算是基于計(jì)數(shù)單位的“分解數(shù)”。因此，“除數(shù)是一位數(shù)的口算除法”這節(jié)課的關(guān)鍵是“如何借助幾何直觀，從計(jì)數(shù)單位的視角溝通算理與算法的聯(lián)系”。

二、前測定位學(xué)情，立足現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)

前測為課堂教學(xué)提供了依據(jù)。口算是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)筆算和估算的基礎(chǔ)，也是運(yùn)算教學(xué)的重點(diǎn)。為了更好地了解學(xué)生學(xué)習(xí)“除數(shù)是一位數(shù)的口算除法”的起點(diǎn)，筆者在教學(xué)前隨機(jī)選取35名學(xué)生進(jìn)行了前測，前測單如圖1所示。

對于“60÷3”這個算式，只有4人能從數(shù)的組成和除法的意義來理解，能把60看成6個十。因此，本節(jié)課的重點(diǎn)應(yīng)放在引導(dǎo)學(xué)生從計(jì)數(shù)單位的角度理解算理。此外，學(xué)生在解釋“120÷3”和“36÷3”的算理時，會用到“60÷3”的算理，因此教學(xué)時可將原有的3道例題合為1課時進(jìn)行教學(xué)，并把例1整合進(jìn)去。

三、凸顯結(jié)構(gòu)教學(xué)，領(lǐng)悟運(yùn)算本質(zhì)

（一）從圖形走向數(shù)字，加強(qiáng)數(shù)學(xué)理解

教學(xué)過程中教師要處理好算理與算法的關(guān)系，做到寓理于算，理法相融。一些教師過于強(qiáng)調(diào)算法，而忽略算理，如此，學(xué)生雖理解了算法，但出現(xiàn)變式時卻不能應(yīng)用自如。因此，在口算的教學(xué)過程中，教師要利用教材提供的圖片、小棒、計(jì)數(shù)器等教學(xué)資源，數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生動手操作，調(diào)動多種感官參與，以多元化的表征形式，化抽象為形象，從圖形走向數(shù)字，更好地理解數(shù)的概念和運(yùn)算的本質(zhì)，以及二者之間關(guān)聯(lián)，進(jìn)而理解算理。

筆者認(rèn)為教師應(yīng)該在活動中幫助學(xué)生構(gòu)建除法的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行推廣，讓學(xué)生感受除法實(shí)際上是將被除數(shù)轉(zhuǎn)化為若干個計(jì)數(shù)單位，然后運(yùn)用表內(nèi)除法的知識對計(jì)數(shù)單位進(jìn)行均分。對于整十?dāng)?shù)、整百數(shù)或整千數(shù)除以一位數(shù)的口算，可以利用計(jì)數(shù)器表征，即用1顆珠子表示1個十、1個百或1個千，可見幾個十、幾個百和幾個千的均分都是相同的，只是計(jì)數(shù)單位變了而已，由此，學(xué)生能建立對口算除法的意義的理解。看似簡約的過程，卻聯(lián)系了之前所學(xué)的簡單口算，這也為日后學(xué)習(xí)更多數(shù)位的口算除法建立了聯(lián)系。筆者在學(xué)生弄清楚“60÷3”“600÷3”“6000÷3”都是將6個計(jì)數(shù)單位平均分成3份后，再一次用計(jì)數(shù)器展示平均分的過程，讓學(xué)生進(jìn)行對比（如圖2）。

運(yùn)算的本質(zhì)是推理，推理是抽象的計(jì)算。通過數(shù)形結(jié)合的方式讓學(xué)生再次從圖形走向計(jì)算背后的算理，讓學(xué)生感受到除法計(jì)算就是對計(jì)數(shù)單位進(jìn)行均分，也能促使學(xué)生應(yīng)用類比推理思想，從而讓學(xué)生自主建構(gòu)結(jié)構(gòu)化認(rèn)知。

（二）從結(jié)果走向過程，關(guān)聯(lián)深度思維

口算是學(xué)生接觸的眾多運(yùn)算中最常見的一種，也是學(xué)生最先接觸的簡單計(jì)算。在計(jì)算學(xué)習(xí)中，筆者對比各版本教材，發(fā)現(xiàn)在內(nèi)容編排上都是先學(xué)習(xí)口算，再學(xué)習(xí)筆算。筆算相對復(fù)雜，是多次口算的程序化表達(dá)。除法的筆算過程就是多次乘法口算和減法口算的程序化表達(dá)的過程。熟練掌握整數(shù)乘、除法口算的關(guān)鍵是將算式轉(zhuǎn)化為表內(nèi)除法。教學(xué)時應(yīng)從結(jié)果走向過程，用系統(tǒng)的觀點(diǎn)、結(jié)構(gòu)化的思想來構(gòu)思教學(xué)過程，滲透方法，關(guān)聯(lián)深度思維，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的過程中逐漸形成結(jié)構(gòu)化思維。

“除數(shù)是一位數(shù)的口算除法”中的“整十?dāng)?shù)、整百數(shù)、整千數(shù)除以一位數(shù)的口算除法”“幾百幾十除以一位數(shù)”“幾十幾除以一位數(shù)的口算除法”，本質(zhì)都是將算式轉(zhuǎn)化為表內(nèi)除法。因此在教學(xué)時，教師通過一系列比較，加強(qiáng)新舊知識的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識的遷移，讓學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上概括算法，找到除數(shù)是一位數(shù)的口算除法的本質(zhì)，從而提升分類、比較、概括能力。

筆者用多元表征激活學(xué)生的前期經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行算理的前置聯(lián)構(gòu)。例如，對于“66÷3”的先分后合的計(jì)算過程，學(xué)生想到了不同的表征辦法——畫圖、擺小棒、使用計(jì)數(shù)器等，由表層至內(nèi)涵，學(xué)生各抒己見，在思辨中逐漸歸向本質(zhì)的理解。明白“66÷3”的算理之后，筆者引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算“666÷3”“66666÷3”。學(xué)生在對比關(guān)聯(lián)中再次深化對除法模型的認(rèn)識，進(jìn)一步領(lǐng)會除法運(yùn)算的一致性。

結(jié)構(gòu)化教學(xué)能夠幫助學(xué)生關(guān)注不同階段學(xué)習(xí)的知識之間的顯性聯(lián)系，而且有助于學(xué)生挖掘知識背后的思想方法。教師在教學(xué)中要有意識地將知識與思想方法進(jìn)行深度關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生聯(lián)結(jié)知識板塊，形成結(jié)構(gòu)化思維方式，使得核心素養(yǎng)培養(yǎng)落地。

（三）從不能整除走向整除，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)

在教學(xué)中，教師應(yīng)該有整體意識，即眼中不僅要有本節(jié)課的“小樹”，還要有整個單元的“小樹林”。“除數(shù)是一位數(shù)的口算除法”是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)筆算除法的基礎(chǔ)，學(xué)生對除法模型的理解將影響學(xué)生對筆算除法算法的掌握。因此，在“除數(shù)是一位數(shù)的口算除法”這節(jié)課的教學(xué)中，教師應(yīng)突破教材布局的局限，加入“計(jì)數(shù)單位一次分不完”的情形，讓學(xué)生經(jīng)歷從不能整除走向整除，凸顯除法模型的本質(zhì)。

對于“被除數(shù)是兩位數(shù)的口算”，大部分學(xué)生能夠?qū)⒈怀龜?shù)“拆開”來計(jì)算，但受加減法豎式計(jì)算的影響，部分學(xué)生習(xí)慣從低位算起，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果出錯。這種負(fù)遷移不是一下子就能糾正的，因此這便成了一個教學(xué)難點(diǎn)。計(jì)算66÷3時，學(xué)生認(rèn)為從個位算起或從高位算起都可以得出結(jié)果，對此，教師不管從分小棒的習(xí)慣來解釋，即告訴學(xué)生“一般都是分完大捆再分小捆”，還是直接告訴學(xué)生從高位算起是計(jì)算法則，都缺乏說服力，使得學(xué)生對“從高位算起”的理解不夠深刻。因此，筆者在練習(xí)環(huán)節(jié)中加入練習(xí)（如圖3），幫助學(xué)生在均分計(jì)數(shù)單位的過程中理解為何要從高位算起。

當(dāng)百位是5，算式為548÷2。如果從高位分起，則先把百位的5個百平均分成2份，每份為2個百，余1個百；把余下的1個百轉(zhuǎn)化為10個十，與十位的4個十合起來為14個十，再將其平均分成2份，每份為7個十；把個位的8個一平均分成2份，每份為4個一。如果從低位分起，則先把個位的8個一平均分成2份，每份為4個一；把十位的4個十平均分成2份，每份為2個十；把5個百平均分成2份，每份為2個百，余下1個百，此時無法再接著分，余數(shù)又比除數(shù)大，這不符合除法定理。因此，從低位算起是不合理的。

對比從高位算起和從低位算起的計(jì)算步驟，學(xué)生在操作與計(jì)算中感受到從高位算起的合理性，從而深刻掌握除法計(jì)算的算理。學(xué)生有了本節(jié)課這樣拆分小方塊的經(jīng)驗(yàn)，去學(xué)習(xí)“除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法”就順理成章了。

在教學(xué)中，教師應(yīng)該從教材和學(xué)情出發(fā)，整體架構(gòu)，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)。今日的教是為了以后的少教或不教。對于“除數(shù)是一位數(shù)的口算除法”，教師應(yīng)緊扣計(jì)數(shù)單位，從圖形走向數(shù)字，數(shù)形結(jié)合，幫助學(xué)生感悟運(yùn)算一致性；從結(jié)果走向過程，關(guān)聯(lián)深度思維，進(jìn)一步領(lǐng)悟運(yùn)算一致性；從不能整除走向整除，凸顯除法的本質(zhì)，感悟運(yùn)算一致性，最終實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)培養(yǎng)落地。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2] 許衛(wèi)兵.小學(xué)數(shù)學(xué)整體建構(gòu)教學(xué)[M].上海：上海教育出版社，2021.

[3] 王巖，逄亞楠，王均杰.單元整合重關(guān)聯(lián)主題統(tǒng)整落素養(yǎng)：大概念下“小數(shù)乘、除法”單元設(shè)計(jì)與實(shí)踐[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2021（Z3）：13-17.

[4] 史葉鋒.主題式學(xué)習(xí)：從課堂走向未來[J].江蘇教育研究，2016（14）：55-58.

（責(zé)編" " 楊偲培）