APOS理論視角下小學數學度量概念教學路徑

［摘 要］文章基于APOS理論，以“認識厘米”教學為例，系統解析該理論指導下度量概念教學的四階段實施路徑：情境驅動、操作反思、分層練習、網絡建構。

［關鍵詞］APOS理論；認識厘米；度量概念；教學路徑

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2025）08-0069-03

美國學者杜賓斯基提出的APOS理論為數學概念學習提供了重要認知模型。該理論不僅揭示數學概念形成的心理機制，更為教學設計提供了可操作的框架，強調概念學習需經歷操作、過程、對象、圖式四個遞進階段。

操作（活動）階段是指學生在教師的提示下，完成教師安排的一系列操作活動。學生通過直接的外部指令或者教師提示下的觀察、動手操作等外顯活動和思考、回憶等內隱活動，學生根據已經習得的學習經驗，初步形成對相關概念的初步感知，同時獲得對規則的初步認識，并理解和接受規則。

過程階段是指當行動被重復和反思時，個體就會從依賴外部線索轉向對它們進行思維的內部控制。其特點是能夠在頭腦中想象、執行這些步驟，而不需要具體地執行每個步驟。

對象階段是指學生不斷對數學對象進行加工和提煉，形成對概念本質的整體認知，然后對整體化的概念賦予數學定義和符號，并不斷進行提煉和表達。

圖式階段是指學生通過操作階段、過程階段和對象階段將原有認知結構中的相關概念與新概念聯系和整合，形成新的概念框架，同時整合和聯系原有的認知結構，使個體的概念認知水平在不斷建構的過程中對概念的理解達到更高的層次。

基于APOS理論四階段特征，本研究以“認識厘米”教學為例，探索度量概念教學的實施路徑。

一、操作階段：創設活動，引入概念

根據皮亞杰認知發展理論與APOS理論的核心觀點，數學概念的形成始于具身化的動作體驗。通過創設真實問題情境，能將抽象概念轉化為可操作的實踐任務，激發學生自主探究欲望。與傳統教學中重結果輕過程的范式不同，本階段教學設計遵循“體驗—反思—建構”的認知邏輯。具體而言，概念的建立源于學習者對動作的定向轉換，既包含抽象思維活動，也涉及具體肢體動作。以度量概念教學為例，傳統教學往往側重概念的靜態符號化呈現，忽視了概念動態生成的過程性價值。這種教學方式與當前課程標準倡導的“做中學”理念相悖。因此，教學設計需立足學生既有經驗，通過系列化活動激發學生的認知內驅力，使學生在需求驅動下深度參與體驗活動，助推量感持續生長。基于此，活動階段的教學設計包含以下核心環節。

（一）活動素材的系統化選編

活動素材是教師開展活動的基礎。首先，由于度量概念的抽象性，教師在活動素材的選擇上，考慮更多的是直觀性、可操作性特點，同時這些素材是學生生活中常見的、不陌生的。其次，活動素材必須符合本節課的教學內容，能夠幫助教師完成本節課的教學任務，讓活動真正發揮它的教學價值。符合學生需求的活動素材，不僅可以幫助學生將抽象的度量概念具體化，還會給學生帶來豐富的活動體驗。如此，學生能夠積累相關的數學活動經驗，加強數學學習的興趣。

例如，在“認識厘米”一課中，由于二年級學生以直觀的思維為主，抽象思維還很薄弱，教師可選擇讓學生測量身高、書本長度、課桌長度、文具長度等，真正實現數學服務于生活的教學理念。

（二）設計多維的體驗活動

開展體驗活動是培養學生量感的重要方式。體驗活動必須是有層次、有目的的。多維體驗活動可逐步調動學生多種感官參與，使學生經歷“量”的產生過程，感受度量概念產生的必要性，逐步建立對度量概念的表象認知。這里的體驗活動更強調通過具體活動引發思考，讓學生在動手中思考，在思考中反思。

在“認識厘米”的教學中，教師創設測量課桌長度的情境，引導學生用拃這個非標準單位進行測量。當出現“教師量得3拃”與“學生量得6拃”的差異時，教師拋出關鍵問題：“為何同一張桌子會量出不同長度？”學生通過動手操作發現手的大小差異導致結果不同，進而理解統一標準的重要性。這一過程整合了觸覺（手指丈量）、視覺（觀察差異）、動覺（肢體協調）等多模態體驗，促使學生在具身實踐中實現從具象操作到理解抽象概念的過渡。教師通過“量—數—思”三個層次任務鏈，既制造了認知沖突，又引導學生在反思中重構概念體系，從而自然引出“1厘米”這一標準化度量單位。

（三）落實多樣化的估測活動

在量感的形成過程中，比較和估測是必不可少的重要環節。生活中能用單一標準度量單位表示的物體較少，因此教學中需借助身體尺和生活尺幫助學生建立標準度量單位的表象，再通過遷移應用幫助學生深化理解。

例如，“尋找生活中的1厘米”系列活動：建立食指寬度約1厘米的經驗尺，開展“不用尺估計物體厚度”“多種方法驗證橡皮、小方塊的厚度”“幾枚1元硬幣疊加高度約為1厘米”“橡皮長度測量”等活動，并設置開放性問題鏈“能描出5厘米線段長的嗎？”“教室門高多少厘米？”讓學生課后思考。學生在測量橡皮厚度時，通過與硬幣疊加高度對比，將抽象單位與具象物體深度關聯，逐步形成穩定的量感結構。

二、過程階段：反思操作，深化概念

過程階段作為學生數學思維形成的關鍵時期，是對前一階段活動的反思與抽象。在度量概念教學中，學生首先通過完成教師的操作指令，產生學習需求，再通過操作與感知活動對概念形成表象理解。隨后，通過重復與反思，將活動內容內化為自身認知，構建新的認知程序。行為活動的“數學化”是學生自主構建概念模型的核心路徑。因此，度量概念教學的過程階段設計需聚焦以下兩方面。

（一）在反思中發展量感

反思操作是過程階段的核心環節。通過系統反思，學生能夠對比度量概念的特征，抽象其本質屬性，從而推動量感的發展。在此過程中，教師可通過設計關鍵問題引導學生思考，如“你是如何確定這一長度的”，促使學生回溯操作步驟，提煉數學經驗。需注意的是，學生往往難以獨立完成經驗轉化，因此教師需適時介入，通過結構化引導幫助學生將活動經驗升華為數學認知。這一階段不僅是量感精細化的關鍵，更是數學活動經驗積累的核心環節。

例如，在學生認識了1厘米后，教師設計活動“尋找生活中長度約為1厘米的物體”。學生完成后，教師提問：“如何確認物體的準確長度？”學生反饋方法（如使用1厘米小棒比對），教師總結參照物標準化的意義；接著，教師又讓學生來估一估一塊橡皮的長度，以及2厘米有多長。讓學生把兩根小棒連接在一起，累積量感。活動是量感建立的基礎，但是僅有活動又是不夠的。每次操作后，教師要引導學生進行反思，總結思維方法，提升經驗，促進遷移。多樣化操作方法（實物參照與感知參照）能深化學生對度量標準的理解，而反思環節能將零散活動轉化為結構化經驗，幫助學生實現從“操作”到“量感”的質變。

（二）在辨析中理解特征

小學生對度量概念的認識易受非本質屬性干擾（如顏色、形狀），此時需通過對比辨析活動，引導其聚焦核心特征。教師可設計驗證性任務，如“無工具估測1厘米厚度的物體”“多方法驗證橡皮厚度（疊加對比、工具復測）”“探究多少枚硬幣疊起來的厚度約等于1厘米”等。此類活動通過操作—驗證—討論的閉環，讓學生在矛盾沖突中剔除非本質屬性（如材質差異），最終掌握“標準單位”的本質特征。

三、對象階段：鞏固運用，豐富概念

在對象階段，學生通過將活動應用到過程中，深化對概念本質的認識，直至能夠用語言和符號表達概念，此時過程“封裝”形成數學對象，學生以此為對象進行運用，進一步鞏固和豐富對概念的認知。然而，對象階段的“封裝”并非一蹴而就，當學生遇到困難時，可能需要“解壓縮”，即重新經歷從操作階段到過程階段，多次深化對概念的認知，最終將度量概念“封裝”為完整的數學對象。因此，對象階段的形成主要通過以下三個步驟完成。

（一）組織數學語言

在小學階段，教材中的概念定義多為描述性定義，例如“面積”被定義為封閉圖形表面的大小。然而，學生以具象思維為主，對概念的描述往往不夠全面，缺乏對本質屬性的概括能力。因此，教師應引導學生逐步概括度量概念的特點，鼓勵學生用語言進行提煉和歸納。在學生表達后，教師需用更精練的數學語言表達，以幫助學生形成完整的度量概念認知。

（二）在應用中深化概念

通過解決問題，學生可以進一步理解度量概念。例如，學生在認識長度單位和1厘米后，通過測量活動認識幾厘米，逐步建立對長度單位的認識。從1厘米到幾厘米的累積過程不僅體現了度量的本質，還培養了學生的量感。在這些應用中，學生不僅能深化對度量概念的認知，形成更完整的度量表象，還能通過系統強化和鞏固，形成更精確的認知，逐步豐富量感。

（三）在變式訓練中加深理解

度量概念的變式訓練旨在不改變概念本質屬性的前提下，針對學生的易錯點進行強化練習。例如，讓學生用沒有0刻度線的直尺測量鉛筆長度，通過對比感知測量的本質是數出待測物中包含的標準單位（如1厘米）。這種辨析活動不僅加深了學生對度量本質的認識，還幫助他們理解測量工具的由來——標準單位的累積。

四、圖式階段：縱橫聯系，聯結概念

圖式階段，是學生對度量的相關概念進行縱橫聯系，形成更大的認知結構，它也是學習數學概念達到的最高階段。在圖式階段之前，學生已經掌握了相關度量概念的定義、性質及運用，并在頭腦中構建穩定的數學對象。因此在圖式階段，不僅需要學生掌握前面三個階段的內容，還需要學生對其他數學概念進行聯系和整合。也就是說，這個階段的達成，需要學生長時間的學習和不斷完善，使度量概念的體系不斷豐富起來。有關圖式階段的教學過程主要包括以下兩個方面。

（一）梳理學習過程，建立概念間的橫縱聯系

在這個階段的學習中，教師需要引導學生對每節課的學習過程進行整理，如“今天我們認識了一個新的度量概念，我們為什么要學習這個度量概念？”“我們是如何學習這個度量概念的呢？”等具有引導總結性的提問。在幫助學生回顧學習過程的同時，也讓學生對相關度量概念建立起新的聯系，完成對知識體系的建構。

（二）培養圖式意識

度量概念知識體系的建構有助于學生從整體上把握度量概念的本質，促進學生量感的提升。同時，對知識的整理過程也是學生將度量概念進行內化的過程，從而建立更加清晰的表象。例如，教師可以在教學每節課或每個概念后，引導學生通過畫手抄報、畫思維導圖等方式來對知識進行整理，從而培養學生的圖式意識。

總之，APOS理論為小學數學度量概念教學提供了新的路徑。在基于該理論進行度量概念教學時，教師不僅要充分考慮學生學習概念的心理建構規律，還要在每個階段設計恰當有效的活動，讓學生在優質的活動中積累豐富的數學經驗，加深對度量概念的理解，讓教學效率在活動中螺旋上升，讓學生的量感持續生長。

［ 參 考 文 獻 ］

［1］ 郭立軍，劉鳳偉.APOS理論指導下小學數學概念教學的實踐研究：以三年級面積概念教學為例[J].小學數學教師，2021（2）：78-83.

［2］ 張文莉.小學數學典型度量概念的解讀與教學實踐研究[J].智力，2020（14）：128-129.

【本文系重慶市教育科學“十四五”規劃2023年度一般課題“基于APOS理論的小學數學度量概念教學設計的研究”（項目編號：K23YG1250192）研究成果。】

（責編" " 金" " 鈴）