可定向復三維卡拉比-丘流形的計算與數據庫構建

摘要： 為了滿足IIB型弦理論緊致化的需求，我們基于Kreuzer和Skarke構建的多面體數據庫，計算并生成了一個可定向復三維卡拉比-丘流形數據庫. 計算流程如下：首先，通過四維自反多面體構建一個四維Toric 底空間，并確定該底空間中存在的一般復三維卡拉比-丘流形的超平面表達式. 同時，通過分析除子的拓撲性質，確定底空間中可能存在的除子交換Z2 對稱性. 進一步，我們計算了具有除子交換Z2對稱性的復三維卡拉比-丘流形及其固定點等性質，并評估了其在IIB 型弦理論緊致化中的適用性. 在固定點計算過程中，我們對相關計算步驟進行了簡化處理. 統計結果表明，這種簡化對固定點計算結果的影響小于1%，但顯著減少了計算時間，從而大幅提高了計算效率. 我們的研究不僅為IIB 型弦理論緊致化提供了重要的數據支持，也展示了計算方法優化在復雜幾何計算中的潛力.

關鍵詞： 卡拉比-丘流形； 弦緊致化； IIB 型弦理論

中圖分類號： O412. 2 文獻標志碼： A DOI：10. 19907/j. 0490-6756. 240179

1引言

作為從高維弦論到現實理論的主要參數，緊致化中被卷曲的維度的幾何結構在弦唯象研究中具有重要意義［1］. 卷曲維度的幾何結構兼具復雜性和多樣性，并且根據所考慮弦論的類型和緊致化方式的不同，對緊致化流形性質的要求也會發生變化. 這種復雜性和多樣性導致了弦沼澤繪景［2］的提出，也使人們對一些基本哲學問題的回答陷入了人擇原理的僵局. 但不可否認，尋找產生我們如今宇宙的卷曲維度結構，仍然是一個重要的科學問題，它是以弦論為基礎解釋現實世界，并描繪宇宙演化過程所必不可少的一部分.

我們構建的流形數據庫主要面對IIB 型弦理論的流緊致化過程. IIB 型弦論作為備受關注的一種弦論，其緊致化過程早已被廣泛地研究［1］. 其中對流緊致化過程的研究表明，只有被緊致的六維時空是可定向復三維卡拉比-丘流形時，緊致化后的四維理論才具有和標準模型一致的超對稱數N=1 的性質. 除了超對稱數外，荷相消和模穩定等要求也直接影響著四維理論的性質［3］（如基本作用力的數量），因而是決定一個流形緊致化價值的重要參數，而對我們所考慮的情形，這些條件決定于流形的固定點結構.

雖然可定向復三維卡拉比-丘流形及其具體結構在IIB 型弦論流緊致化過程中發揮著重要作用，但由于相關計算過程復雜易錯，現有的數據庫［4-6］獲取的結果在數量，正確性和可重復性方面都各有欠缺. 我們通過簡化算法新計算的數據庫雖然在正確性上稍有不足，但體量上是之前同類數據庫的5倍.

本文的結構安排如下：第二節我們將給出計算可定向復三維卡拉比-丘流形及其結構的流程，同時穿插一些必需的定義和定理；第三節將以實例的方式對算法簡化前后進行對比，并分析簡化的優勢和劣勢；在最后一節我們將給出通過這種方法計算得到的數據庫以及對其的統計結果.

2計算方法

卡拉比-丘流形作為一個高度抽象的幾何對象，只有在一個合適的框架中才能得到很好的描述. 在我們的工作中，這個框架就是Toric Variety.我們所計算的可定向復三維卡拉比-丘流形都以超平面的形式存在于由四維自反格點多面體得到特殊的四維toric variety中.