橢圓、雙曲線與圓關于e2-1的統一性質研究

摘要：圓具有優美的性質，研究發現，橢圓、雙曲線與圓有著類似的優美性質，當橢圓和雙曲線的焦點在x軸上時，圓、橢圓和雙曲線關于“直徑所對周角”的性質可以統一為“CE為直徑的充要條件是kBCkBE=e2-1”；關于“弦中點”的性質可以統一為“H為弦IJ中點的充要條件是kOHkIJ=e2-1”；關于“切點和半徑”的性質可以統一為“ML為切線（K為切點）的充要條件是kOKkML=e2-1”；當焦點在y軸上時，只需將e2-1變換為關于a，b的關系式，再將a換為b，b換為a.圓、橢圓和雙曲線以上三個類似的性質，可以做出統一的敘述，可以看作圓具有特殊性，橢圓和雙曲線具有一般性，而從e2-1的角度看，三者又具有統一性.

關鍵詞：圓；橢圓；雙曲線；性質；e2-1

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）07-0053-04

收稿日期：2024-12-05

作者簡介：楊春猛，碩士，高級教師，從事高中數學教學研究；

文萍，碩士，副教授，從事中學數學教學研究.

基金項目：2023年度云南省教育科學規劃項目“云南省普通高中拔尖創新人才育人模式研究”（項目編號：BC23145）.

橢圓、雙曲線的一些性質在解題過程中能帶來便利，在學習過程中，學生難以記住，筆者對這一類問題做了研究.圓具有優美的性質，初中義務教育教科書數學九年級上冊第二十四章《圓》給出了以下性質：

直徑所對的圓周角為直角，90°的圓周角所對的弦是直徑；

垂直于弦的直徑平分弦，平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦；

經過圓的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，圓的切線垂直于過切點的半徑.

筆者研究后發現，橢圓、雙曲線與圓有著類似的優美性質，整理記錄如下，和讀者共同研究.

1性質的類比研究與統一表述（焦點在x軸上）性質1“直徑所對的圓周角為直角，90°的圓周角所對的弦是直徑”，在有了直線斜率的概念后，可以敘述為“設點B為圓（x-a）2+（y-b）2=r2（rgt;0）上任意一點，C，E為圓上異于點B的任意兩點，直線BC，BE的斜率存在，分別記為kBC，kBE，則CE為圓的直徑的充要條件是kBCkBE=-1.”

類比圓，橢圓、雙曲線有以下性質：

性質2點B為橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）上任意一點，C，E為橢圓上異于點B的任意兩點，直線BC，BE的斜率存在，分別記為kBC，kBE，則CE為橢圓直徑（過中心的弦）的充要條件是kBCkBE=e2-1.

證明（必要性）CE為橢圓的直徑（過中心的弦），設點B的坐標為（x0，y0），點C的坐標為（x1，y1），則有點E的坐標為（-x1，-y1），把點B，C的坐標代入橢圓方程，得x20a2+y20b2=1，

x21a2+y21b2=1，

兩式相減，得

x20-x21a2+y20-y21b2=0.

整理，得

y0-y1x0-x1·y0+y1x0+x1=-b2a2=e2-1.

即kBCkBE=y0-y1x0-x1·y0+y1x0+x1=e2-1.

（充分性）設點B的坐標為（x0，y0），點C的坐標為（x1，y1），點E的坐標為（x2，y2），

把點B，C的坐標代入橢圓方程，得

x20a2+y20b2=1，

x21a2+y21b2=1，

兩式相減，得

x20-x21a2+y20-y21b2=0.

整理，得

y0-y1x0-x1·y0+y1x0+x1=-b2a2.①

因為kBCkBE=y0-y1x0-x1·y0-y2x0-x2=e2-1=-b2a2，②

對比①②兩式，得

y0+y1x0+x1=y0-y2x0-x2.

這說明點B（x0，y0），C′（-x1，-y1），E（x2，y2）三點共線.而C′（-x1，-y1）在橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）上，所以點C′（-x1，-y1）與點E（x2，y2）重合.

而點C（x1，y1）和點C′（-x1，-y1）關于原點對稱，所以直線CE過原點，為橢圓的直徑.

性質3點B為雙曲線x2a2-y2b2=1上任意一點，C，E為雙曲線上異于點B的任意兩點，直線BC，BE的斜率存在，分別記為kBC，kBE，則CE為雙曲線的直徑（過中心的弦）的充要條件是kBCkBE=e2-1［1］.

類比性質2的證明，可以得到性質3的證明.

“CE為圓的直徑的充要條件是kBCkBE=-1”，又因為圓的離心率為0，所以可以看成“CE為圓的直徑的充要條件是kBCkBE=e2-1”，這樣一來，圓、橢圓和雙曲線關于“直徑所對周角”的性質可以統一為“CE為直徑的充要條件是kBCkBE=e2-1”.

性質4“垂直于弦的直徑平分弦，平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦”，可以敘述為“點O為圓（x-a）2+（y-b）2=r2（rgt;0）的圓心，H為圓的弦IJ（不是直徑）上的點，直線OH，IJ的斜率存在，分別記為kOH，kIJ，則H為弦IJ中點的充要條件是kOHkIJ=-1.”

類比圓，橢圓、雙曲線有如下性質：

性質5點O為橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的中心，H為橢圓的弦IJ（不是直徑）上的點，直線OH，IJ的斜率存在，分別記為kOH，kIJ，則H為弦IJ的中點的充要條件是kOHkIJ=e2-1.

證明（必要性）H為弦IJ的中點，設點I的坐標為（x1，y1），點J的坐標為（x2，y2），

則點H的坐標為（x2+x12，y2+y12）.

則有x21a2+y21b2=1，

x22a2+y22b2=1.

兩式相減，得

x22-x21a2+y22-y21b2=0.

整理，得y2-y1x2-x1·y2+y1x2+x1=-b2a2.

所以有y2-y1x2-x1·（y2+y1）/2-0（x2+x1）/2-0=-b2a2.

即kOHkIJ=-b2a2.

所以kOHkIJ=e2-1.

（充分性）H為弦IJ上的點，設點I的坐標為（x1，y1），點J的坐標為（x2，y2），

則點H的坐標為（x1+λx21+λ，y1+λy21+λ）.

所以x21a2+y21b2=1，

x22a2+y22b2=1.

兩式相減，得

x22-x21a2+y22-y21b2=0.

整理，得y2-y1x2-x1·y2+y1x2+x1=-b2a2.③

又因為kOHkIJ=e2-1，

所以y2-y1x2-x1·（y1+λy2）/（1+λ）-0（x1+λx2）/（1+λ）-0=-b2a2.

整理，得y2-y1x2-x1·y1+λy2x1+λx2=-b2a2.④

對比③④式，得y2+y1x2+x1=y1+λy2x1+λx2.

整理，得（1-λ）（x1y2-x2y1）=0.

又因為直線OI與OJ不平行，所以x1y2-x2y1≠0.

解得λ=1.

即點H為弦IJ的中點.

性質6點O為雙曲線x2a2-y2b2=1的中心，H為雙曲線的弦IJ（不是直徑）上的點，直線OH，IJ的斜率存在，分別記為kOH，kIJ，則H為弦IJ中點的充要條件是kOHkIJ=e2-1.

類比性質5的證明，可以得到性質6的證明.

類似于性質1的分析，圓、橢圓與雙曲線關于“弦中點”的性質可以統一為“H為弦IJ中點的充要條件是kOHkIJ=e2-1”.

性質7“經過圓的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，圓的切線垂直于過切點的半徑”，可以敘述為“點O為圓（x-a）2+（y-b）2=r2（rgt;0）的圓心，K為圓上的點，ML為過點K的直線，OK，ML的斜率存在，分別記為kOK，kML，則ML為切線（K為切點）的充要條件是kOKkML=-1.”

類比圓，橢圓、拋物線有如下性質：

性質8點O為橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的中心，K為橢圓上的點，ML為過點K的直線，OK，ML的斜率存在，分別記為kOK，kML，則ML為切線（K為切點）的充要條件是kOKkML=e2-1［2］.

證明（必要性）K為切點，設K的坐標為（x0，y0），所以kOK=y0x0.

又因為橢圓方程為x2a2+y2b2=1，

兩邊求導，得2xa2+2yy′b2=0，

解得y′=-b2xa2y.

又因為K（x0，y0）為橢圓上的點，

所以y′=-b2x0a2y0.

即切線ML的斜率kML=-b2x0a2y0.

所以kOKkML=y0x0·（-b2x0a2y0）=-b2a2.

即kOKkML=e2-1.

（充分性）設K的坐標為（x0，y0），

所以kOK=y0x0.

因為kOKkML=e2-1，

所以y0x0·kML=-b2a2.

所以kML=-b2x0a2y0.

又因為橢圓方程為x2a2+y2b2=1，

兩邊求導，得2xa2+2yy′b2=0，

解得y′=-b2xa2y.

又因為K（x0，y0）為橢圓上的點，

所以有y′=-b2x0a2y0.

即橢圓上過點K（x0，y0）的切線的斜率

k切=-b2x0a2y0.

所以kML=k切.

所以ML為橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）過點K（x0，y0）的切線（K為切點）.

性質9點O為雙曲線x2a2-y2b2=1的中心，K為雙曲線上的點，ML為過點K的直線，OK，ML的斜率存在，分別記為kOK，kML，則ML為切線（K為切點）的充要條件是kOKkML=e2-1.

類比性質8的證明，可以得到性質9的證明.

同理，圓、橢圓與雙曲線關于“切點和半徑”的性質可以統一為“ML為切線（K為切點）充要條件是kOKkML=e2-1”.

2性質的類比研究與統一表述（焦點在y軸上）以上結論當焦點在x軸上時成立，當焦點在y軸上時，只需將e2-1變換為關于a，b的關系式，并且將a換為b，同時將b換為a.

3性質應用

如圖1，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的左頂點為A，點P，Q在C上，且關于y軸對稱.若直線AP，AQ的斜率之積為14，則橢圓的離心率為（）.

A.32B.22C.12D.13

解析設點Q（x，y），則點P（-x，y），

kAP=y-x+a，kAQ=yx+a，kBQ=yx-a.

又因為kAPkAQ=14，kAQkBQ=e2-1，

所以-1=14（e2-1）.

即e=32.

評析該題的快速解出得益于類似“直徑所對圓周角為直角”的橢圓的結論kAQkBQ=e2-1.

4結束語

不難看出，對于圓、橢圓和雙曲線以上三個類似的性質，可以做出統一的敘述，可以看作圓是有特殊性，橢圓和雙曲線具有一般性，而從e2-1的角度看，三者又具有統一性，這或許體現了一種數學的魅力——殊途同歸.

參考文獻：

［1］ 肖志向，邱禮明.兩道課本例習題的探究：斜率乘積為定值e2-1的有心二次曲線的性質賞析[J].中學數學研究（高中版），2013（07）：25-26.

[2] 蘇立標.探求以e2-1為定值的圓錐曲線問題[J].中學數學教學參考，2006（03）：29-30.

［責任編輯：李慧嬌］