對一道圓錐曲線模考題的探究與溯源

摘要：文章聚焦一道圓錐曲線模考題，深入探究其解題思路與方法.通過詳細剖析題目條件，從不同角度給出多種解法，展現(xiàn)圓錐曲線知識的靈活運用，同時，深度溯源，探尋該模考題在教材及歷年真題中的命題依據(jù)與知識原型，揭示其與圓錐曲線核心知識點的緊密聯(lián)系，為教學(xué)與備考提供有效參考.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；直線斜率；探究與溯源

中圖分類號：G632文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2025）07-0032-03

收稿日期：2024-12-05

作者簡介：楊希蕊，高中在讀；

李昌成，本科，正高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

直線與圓錐曲線的綜合問題一直是高考及模考的常考題型，通常把直線與圓錐曲線等知識融合在一起，注重數(shù)學(xué)思想方法的考查，尤其注重對數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化等思想的考查，符合課程標(biāo)準中“對數(shù)學(xué)能力的考查要以數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)思想和方法為基礎(chǔ)”的要求.下面以2024年武漢市高三第五次調(diào)研考試圓錐曲線解答題為例進行分析與探究，并進行相關(guān)試題鏈接及溯源，以饗讀者.

1試題呈現(xiàn)

題目如圖1，已知雙曲線E：x2-y2=1，直線PQ與雙曲線E交于P，Q兩點，直線MN與雙曲線E交于M，N兩點.

（1）若直線MN經(jīng)過坐標(biāo)原點，且直線PM，PN的斜率kPM，kPN均存在，求kPMkPN；

（2）設(shè)直線PQ與直線MN的交點為T（1，2），且TP·TQ=TM·TN，求證：直線PQ與直線MN的斜率之和為0.2總體分析

本題是2024年武漢市高三第五次調(diào)研考試第17題，直線與圓錐曲線的綜合題.此題以雙曲線為載體，第（1）問設(shè)點，將斜率表示出來，結(jié)合點差法易求，屬于基礎(chǔ)題.第（2）問入口寬，方法多樣.可以設(shè)直線的普通方程（點斜式或斜截式），利用向量的數(shù)量積結(jié)合韋達定理進行轉(zhuǎn)化求解；數(shù)形結(jié)合易知TP與TQ，TM與TN反向共線，因此可以轉(zhuǎn)化為線段長度的乘積相等，利用弦長公式轉(zhuǎn)化求解，當(dāng)然求解過程中要注意根據(jù)位置關(guān)系合理去絕對值，避免討論；可以結(jié)合四點共圓，利用二次曲線系巧妙求解；還可以利用直線參數(shù)方程的幾何意義求解.當(dāng)然，不同的求解方法，思維量不同，計算量也有很大的差異.

3試題解答

3.1第（1）問解析

解析設(shè)點M（x1，y1），N（-x1，-y1），P（x0，y0），結(jié)合點差法易求得kPMkPN=b2a2=1.

3.2第（2）問解析

由題可知，直線PQ與MN的斜率都存在，記kPQ=k1，kMN=k2.

視角1直線點斜式方程切入.

解法1向量數(shù)量積結(jié)合韋達定理求解.

設(shè)直線PQ：y-2=k1（x-1），P（x1，y1），Q（x2，y2），

TP=（x1-1，y1-2），TQ=（x2-1，y2-2），

聯(lián)立y-2=k1（x-1），

x2-y2=1，消y整理，得

（1-k21）x2-2k1（2-k1）x-（2-k1）2-1=0，

顯然1-k21≠0，且Δgt;0.

由根與系數(shù)的關(guān)系，得

x1+x2=2k1（2-k1）1-k21，

x1x2=-（2-k1）2-11-k21（1-k21gt;0）.①

所以TP·TQ=（x1-1）（x2-1）+（y1-2）（y2-2）

=（x1-1）（x2-1）+k1（x1-1）·k2（x2-1）

=（1+k21）（x1-1）（x2-1）

=（1+k21）［x1x2-（x1+x2）+1］.

將①代入化簡整理，得

TP·TQ=（1+k21）·-41-k21.

同理TM·TN=（1+k22）·-41-k22.

由TP·TQ=TM·TN，得-41-k21=-41-k22.

解得k21=k22.

又k1≠k2，所以k1=-k2，即k1+k2=0.

解法2轉(zhuǎn)化為線段積結(jié)合弦長公式。

由題及圖可知，TP·TQ=-|TP||TQ|，TM·TN=-|TM||TN|.

所以已知條件轉(zhuǎn)化為|TP||TQ|=|TM||TN|.

結(jié)合解法1及題圖可得（不妨設(shè)點P在右支上，點Q在左支上）：

|TP||TQ|=1+k21（x1-1）·1+k21（1-x2）（顯然x1gt;1，x2lt;1）

=（1+k21）（x1-1）（1-x2）

=-（1+k21）（x1-1）（x2-1）

=（1+k21）·41-k21，

同理可求得|TM||TN|=（1+k22）·41-k22（不妨設(shè)點M在右支上，點N在左支上）.

所以（1+k21）·41-k21=（1+k22）·41-k22.

下同解法1.

視角2以直線的斜截式切入.

解法3設(shè)直線PQ：y=k1x+b，滿足k1+b=2.②

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），

聯(lián)立y=k1x+b，

x2-y2=1，消y整理，得

（1-k21）x2-2k1bx-b2-1=0，

顯然1-k21≠0，且Δgt;0.

由根與系數(shù)的關(guān)系，得

x1+x2=2k1b1-k21，

x1x2=-b2-11-k21lt;0（1-k21gt;0）.③

結(jié)合解法2及②③可得

|TP||TQ|=1+k21（x1-1）·1+k21（1-x2）（顯然x1gt;1，x2lt;1）

=-（1+k21）（x1-1）（x2-1）

=-（1+k21）·-b2-2k1b-k211-k21

=-（1+k21）·-（k1+b）21-k21

=（1+k21）·41-k21.

同理|TM||TN|=（1+k22）·41-k22.

下同解法2.

視角3二次曲線系[1].

解法4設(shè)直線PQ：y-2=k1（x-1），直線MN：y-2=k2（x-1），

過P，Q，M，N四點的二次曲線系可表示為

λ（x2-y2-1）+（k1x-y+2-k1）（k2x-y+2-k2）=0.④

結(jié)合解法2可知|TP||TQ|=|TM||TN|.

所以P，Q，M，N四點共圓，于是④式表示一個圓，因此xy項的系數(shù)為0.

將④式化簡整理可得xy項的系數(shù)為-k1-k2，于是-k1-k2=0.

即k1+k2=0.

視角4直線參數(shù)方程中t的幾何意義.

解法5設(shè)直線PQ的參數(shù)方程為x=2+tcosα，

y=1+tsinα（t為參數(shù)），代入x2-y2=1整理，得

（cos2α-sin2α）t2+（2cosα-4sinα）t-4=0.

設(shè)P，Q的參數(shù)分別為t1，t2，則

t1t2=-4cos2α-sin2αlt;0（t1，t2異號）.

所以|TP||TQ|=|t1t2|=4cos2α-sin2α.

設(shè)直線MN的參數(shù)方程為x=2+tcosβ，

y=1+tsinβ（t為參數(shù)），同理|TM||TN|=4cos2β-sin2β.

由|TP||TQ|=|TM||TN|，得cos2α=cos2β.

又α≠β，所以cosα=-cosβ.

所以α=π-β，α，β為直線PQ，MN的傾斜角，故k1+k2=0.

4試題鏈接

題1（2021年新高考Ⅰ卷第21題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點F1（-17，0），F(xiàn)2（17，0），點M滿足|MF1|-|MF2|=2，記點M的軌跡為C.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)點T在直線x=12上，過點T的兩條直線分別交C于A，B兩點和P，Q兩點，且|TA||TB|=|TP||TQ|，求直線AB與直線PQ的斜率之和.

題2（2023年四省聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷第21題）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）過點A（42，3），且焦距為10.

（1）求C的方程；

（2）已知點B（42，-3），D（22，0），E為線段AB上一點，且直線DE交C于G，H兩點，證明：|GD||GE|=|HD||HE|.

5追根溯源

（人教A版數(shù)學(xué)4-4“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”第38頁例4）已知AB，CD是中心為點O的橢圓的兩條相交弦，交點為P.兩弦AB，CD與橢圓長軸的夾角分別為∠1，∠2，且∠1=∠2.求證：|PA||PB|=|PC||PD|.

評注與課本上的例4相比，本質(zhì)上就是互換條件和結(jié)論，將橢圓換成了雙曲線，定點換成了動點，而課本上的例題更具有一般性，利用直線參數(shù)方程更容易證明.

6結(jié)束語

隨著新課改的不斷推進和深化，專家們不斷呼吁大家要回歸課本，重視教材，不盲目刷題，不盲目追求數(shù)量.大家在學(xué)習(xí)的過程中，要注重學(xué)用結(jié)合，靈活運用所學(xué)知識和方法分析和解決問題，在解決問題的過程中建構(gòu)知識、培養(yǎng)能力[2].

參考文獻：

［1］ 甘志國.2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)全國Ｉ卷壓軸題的題源及推廣[J].數(shù)理化解題研究，2024（16）：2-7.

[2] 陳紹銀.例談數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)回歸教材的重要性[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2010（02）：54-56.

［責(zé)任編輯：李慧嬌］