突破運(yùn)算難關(guān)推廣探究本質(zhì)

摘要：新高考實(shí)施以來更加關(guān)注對(duì)高階思維的考查，落實(shí)創(chuàng)新性的考查要求，也更加關(guān)注對(duì)同一主題下多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合考查.2024年T8聯(lián)考第18題就是一個(gè)典型例子，文章從不同角度，開闊思路，分析解答，探索運(yùn)算的逐步優(yōu)化.

關(guān)鍵詞：T8聯(lián)考題；圓錐曲線；解法探究；拓展推廣

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2025）07-0002-06

收稿日期：2024-12-05

作者簡(jiǎn)介：王東海，男，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：合肥市教育信息技術(shù)2023年度課題“智慧課堂下利用GGB培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)探究能力的實(shí)踐研究”（項(xiàng)目編號(hào)：HDJ23017）.

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題一直是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，2024年T8 聯(lián)考卷數(shù)學(xué)也不例外，考卷中解析幾何題目重點(diǎn)考查“數(shù)學(xué)運(yùn)算”核心素養(yǎng)，注重對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算嚴(yán)謹(jǐn)性及運(yùn)算過程中觀察能力的考查.考試時(shí)學(xué)生短時(shí)間內(nèi)一方面要知道如何運(yùn)算，另一方面還要能夠運(yùn)算準(zhǔn)確，因而造成本題得分率較低.本文試圖通過對(duì)該題運(yùn)算算理和算法的不斷優(yōu)化，達(dá)到學(xué)生能夠理解運(yùn)算、重視運(yùn)算的目的.

1考題呈現(xiàn)

題目（2024年T8聯(lián)考數(shù)學(xué)第18題）已知雙曲線Γ的方程為x24-y2=1，B-a，0，Ca，0，其中agt;2，Dx0，y0x0≥a，y0gt;0是雙曲線上一點(diǎn)，直線DB與雙曲線Γ的另一個(gè)交點(diǎn)為E，直線DC與雙曲線Γ的另一個(gè)交點(diǎn)為F，雙曲線Γ在點(diǎn)E，F(xiàn)處的切線記為l1，l2，l1與l2相交于點(diǎn)P，線段DP的中點(diǎn)為G，設(shè)直線DB，DC的斜率分別為k1，k2.

（1）證明：4lt;1k1+1k2≤4aa2-4;

（2）求|GB||GC|的值.

分析這道試題主要考查了圓錐曲線中兩直線斜率倒數(shù)和的范圍和兩線段長(zhǎng)度比值問題.（1）問較常規(guī)，利用點(diǎn)參法易得倒數(shù)和的范圍；對(duì)于（2）問既可以采用設(shè)線找直線變量之間關(guān)系的方法，也可采取齊次化法的技巧，還可以利用拋物線的參數(shù)方程加以處理.試題穩(wěn)中求新，體現(xiàn)了考題的基礎(chǔ)性、綜合性和創(chuàng)新性，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力.該試題設(shè)問簡(jiǎn)潔但內(nèi)容豐富，具有較大的探究空間.

2解法探究

策略1線參法策略.

思路1如圖1所示，對(duì)于（2），常規(guī)思路是設(shè)出幾條直線的方程，再利用直線聯(lián)立求出各個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，從而容易求出兩線段長(zhǎng)度的比值.

解法1（常規(guī)線參法）設(shè)Ex1，y1，F(xiàn)x2，y2，直線l1，l2的斜率為k3，k4，故

l1：y-y1=k3x-x1.

與雙曲線Γ：x2-4y2=4聯(lián)立，由Δ=0，得

k3=x14y1.①

同理k4=x24y2.②

聯(lián)立l1，l2方程并消去y，得

xP=y2-y1+k3x1-k4x2k3-k4.

①②代入化簡(jiǎn)，得

xP=4y2-4y1x1y2-x2y1.

設(shè)直線DB，DC方程分別為

x=t1y-a，x=t2y+a，

則t1=1k1=x0+ay0，

t2=1k2=x0-ay0.③

聯(lián)立DB的方程和雙曲線的方程，消去x，得

t21-4y2-2t1ay+a2-4=0.

該方程兩根為y0，y1，

所以y0y1=a2-4t21-4.

所以y1=a2-4t21-4y0.

同理y2=a2-4t22-4y0.

所以xP=4y2-4y1x1y2-x2y1

=4y2-y1t1-t2y1y2-ay1+y2

=4y0t21-t22a2-4t1-t2-ay0t21+t22-8.

將③代入化簡(jiǎn)整理，得

xP=8x04y20-x20-4=8x0-8=-x0.

所以xG=x0+xP2=0.

所以O(shè)G⊥BC.

所以|GB|=|GC|.

所以|GB||GC|=1.

思路2條件中出現(xiàn)兩直線斜率的倒數(shù)和，故而考慮巧設(shè)直線，運(yùn)用齊次化法來處理此題.

解法2（齊次化法）設(shè)Ex1，y1，F(xiàn)x2，y2，直線EF：mx-x0+ny-y0=1.

因?yàn)?k1+1k2=x0+ay0+x0-ay0=2x0y0，

又Γ：x2-4y2-4=0變形為

（x-x0）2-4（y-y0）2+2x0（x-x0）-8y0（y-y0）=0.

所以x-x02-4（y-y0）2+［2x0（x-x0）-8y0（y-y0）］×［m（x-x0）+n（y-y0）］=0.

兩邊同除以x-x02，得

4+8ny0k2+8y0m-2nx0k-1-2x0m=0.

所以1k1+1k2=k1+k2k1k2

=-2nx0+8my01+2mx0=2x0y0.

所以8my20-2nx0y0=2x0+4mx20.

又因?yàn)?y20=x20-4，

所以2mx20-8m-2x0-4mx20=2nx0y0.

整理可得

x0=nx0y0-mx20-4m.

所以1=ny0+m（-4x0-x0）.

對(duì)比EF：mx-x0+ny-y0=1，

所以x=-4x0，y=0.

故直線EF過點(diǎn)（-4x0，0）.

又因?yàn)镻E：x1x4-y1y=1，

PF：x2x4-y2y=1，

將點(diǎn)P坐標(biāo)代入，可得

直線EF：xPx4-yPy=1.

將點(diǎn)（-4x0，0）代入，得xP=-x0.

所以xG=0.

所以|GB|=|GC|.

思路3因?yàn)橹本€DB，DC幾何特征上的相似性，故而可以采用同構(gòu)方程的方法處理該題.

解法3（同構(gòu)方程）Ex1，y1，F(xiàn)x2，y2，DB：y-y0=k1x-x0，DC：y-y0=k2x-x0，

又Γ：x2-4y2-4=0變形為

（x-x0）2-4（y-y0）2+2x0（x-x0）-8y0（y-y0）=0.

將DB，DC的同構(gòu)式代入，得

（x-x0）2-4k2（x-x0）2+2x0（x-x0）-8ky0（x-x0）=0.

從而解得x-x0=8ky0-2x01-4k2.

故y-y0=8k2y0-2kx01-4k2.

所以xE=8ky0-x0-4k2x01-4k2，

yE=4k2y0-2kx0+y01-4k2.

再設(shè)直線EF：y=mx+n，將點(diǎn)E坐標(biāo)代入，得

4k2y0-2kx0+y0=m（8ky0-x0-4x0k2）+n（1-4k2）.

整理，知

4y0+4x0m+4nk2-2x0+8my0k+y0+mx0-n=0.

由韋達(dá)定理，得

1k1+1k2=8my0+2x0n-mx0-y0=2x0y0.

所以x0n=4m.

所以n=4mx0.

所以EF：y=mx+4mx0=m（x+4x0）過點(diǎn)（-4x0，0）.

下同解法2，略.

策略2點(diǎn)參法策略.

思路4本題利用點(diǎn)的坐標(biāo)作為參數(shù)結(jié)合點(diǎn)差法，可以有效減少部分運(yùn)算量.

解法4 （常規(guī)點(diǎn)參法）設(shè)Ex1，y1，F(xiàn)x2，y2，則

1k1=x1-x0y1-y0=4.y1+y0x1+x0，

1k2=x2-x0y2-y0=4y2+y0x2+x0.

所以1k1+1k2=4·y1+y0x1+x0+x2-x0y2-y0

=4·y2+y0x2+x0+x1-x0y1-y0

=4y1y2+y0y2-y1y0-y20+x1x2+x0x2-x0x1-x20x1y2+x0y2-y0x1-x0y0

=4y1y2+y0y1-y2y0-y20+x1x2+x0x1-x0x2-x20x2y1+x0y1-y0x2-x0y0

=8y0y2-y1+2x0x2-x1x1y2-x2y1+x0y2-y1-y0x2-x1

=2x0y0.

所以x1y2-x2y1=4y20x0y2-y1-x0y2-y1

=-4x0y2-y1.

故EF過點(diǎn)（-4x0，0）.

下同解法2，略.

思路5利用點(diǎn)坐標(biāo)作為參數(shù)，再輔之定比點(diǎn)差法，也可進(jìn)一步簡(jiǎn)化運(yùn)算.

解法5（定比點(diǎn)差法）設(shè)Ex1，y1，F(xiàn)x2，y2，令BE=λBD，則

x1+a，y1=λx0+a，y0.

所以x1+a=λx0+a，y1=λy0.

即x1-λx0=λ-1a.

而x21-4y21=4，λ2x20-4λ2y20=4λ2，

兩式相減，得

x1+λx0=-4aλ+1.

同理設(shè)CF=μCD，得x2-μx0=a-aμ，

x2+μx0=4a1+μ，

解得2x1=λa-4aλ-a-4a，

2λx0=a-4aλ-λa-4a;

2x2=4aμ-aμ+a+4a，

2μx0=4a-a+4aμ+aμ.

所以2x1y2-2x2y1=（λμa-4μaλ-aμ-4μa）y0-（aλ+4λa-λμa+4μλa）y0=-8x0（y2-y1）.

故EF過點(diǎn)（-4x0，0）.下同解法2，略.

策略3參數(shù)方程法策略.

解法6設(shè)E（2（1+t21）1-t21，2t11-t21），F(xiàn)（2（1+t22）1-t22，2t21-t22），D（2（1+t20）1-t20，2t01-t20），則

FE：x2·1+t1t21-t1t2-y·t1+t21-t1t2=1，

ED：x2·1+t0t11-t0t1-y·t0+t11-t0t1=1，

FD：x2·1+t0t21-t0t2-y·t0+t21-t0t2=1.

所以1k1+1k2=2t0+t11+t0t1+2t0+t21+t0t2=2kOD

=2t20+1t0.

所以t1+t2=0，t1t2=1t20.

所以xP=21-t1t21+t1t2

=21-1/t201+1/t20

=2t20-1t20+1

=-4x0.

故EF過點(diǎn)（-4x0，0）.

下同解法2，略.

策略4曲線系法策略.

解法7設(shè)Ex1，y1，F(xiàn)x2，y2，則點(diǎn)D處切線為x0x4-y0y=1，

DE：y-y0=k1x-x0，

DF：y-y0=k2x-x0.

所以1k1+1k2=2x0y0.

又設(shè)直線EF：y=kx+m，根據(jù)曲線系知識(shí)，得（y-kx-m）（x0x4-y0y-1）+λ［y-y0k1-（x-x0）］·［y-y0k2-x-x0］=0為雙曲線方程，展開后易得xy，y，x的系數(shù)均為零.

即ky0+x04-λ（1k1+1k2）=0，

my0-1+λ·（x-x0k1+x-x0k2）=0，

k-m4x0+λ2y0-2x0=0.

化簡(jiǎn)上述三式，得m=4kx0.

故直線EF：y=kx+4kx0=k（x+4x0）過點(diǎn)（-4x0，0），下同解法2，略.

點(diǎn)評(píng)本題通過線參法、點(diǎn)參法、參數(shù)方程法、曲線系法對(duì)運(yùn)算不斷優(yōu)化，直至最后尋找到最優(yōu)化的解法，為解析幾何問題的處理帶來啟示.學(xué)生在高三備考中要掌握每種方法的算理和算法，再輔之以一定量的訓(xùn)練，這樣才能在高考中從容應(yīng)對(duì)，達(dá)到高效解題的目的.

3拓展推廣

波利亞曾說，沒有任何一個(gè)題目是徹底完成了的，總還會(huì)有些事情可以做.細(xì)品解題過程及結(jié)論，筆者思考第（2）問的結(jié)論是偶然還是必然呢？

結(jié)論1已知雙曲線Γ：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0），B-t，0，C（t，0），其中tgt;2，Dx0，y0是Γ上一點(diǎn)，直線DB，DC與Γ的另一個(gè)交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)， 則直線EF過點(diǎn)（-a2x0，0）［1］.

證明設(shè)Ex1，y1，F(xiàn)x2，y2，設(shè)直線EF：mx-x0+ny-y0=1.

因?yàn)?k1+1k2=x0+ty0+x0-ty0=2x0y0，

又Γ：b2x2-a2y2-a2b2=0可變形為

b2x-x02-a2（y-y0）2+2x0b2（x-x0）-2a2y0（y-y0）=0.

則b2x-x02-a2y-y02+［2b2x0x-x0-2a2y0y-y0］［m（x-x0）+n（y-y0）］=0.

兩邊同除以（x-x0）2，得

a2+2a2ny0k2+2a2y0m-2b2nx0k-b2-2b2mx0=0.

所以1k1+1k2=k1+k2k1k2

=2x0y0=2a2my0-2b2nx0b2+2b2mx0.

化簡(jiǎn)，得

m（-x0-a2x0）+-y0n=1.

對(duì)比mx-x0+ny-y0=1，

所以x-x0=-x0-a2x0，y-y0=-y0.

所以x=-a2x0，y=0.

所以EF過點(diǎn)（-a2x0，0）.

考題第（2）問可以推廣至一般情形：

結(jié)論2已知雙曲線Γ：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0），B-t，0，C（t，0），其中tgt;2，D（x0，y0）（x0≥a，y0gt;0）是Γ上一點(diǎn)，直線DB，DC與Γ的另一個(gè)交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，Γ在點(diǎn)E，F(xiàn)處的切線記為l1，l2，l1與l2相交于點(diǎn)P，線段DP中點(diǎn)為G，則點(diǎn)G必在y軸上，且|GB|=|GC|.

證明因l1與l2相交于點(diǎn)P，故切點(diǎn)弦所在直線EF為xPxa2-yPyb2=1.④

而由結(jié)論1知，EF過點(diǎn)（-a2x0，0），將此點(diǎn)代入④得xP（-1x0）=1.

所以xP=-x0.所以xG=0.所以|GB|=|GC|.

如果第一象限的點(diǎn)D推廣至雙曲線上其他象限上的點(diǎn)，則探究可得：

結(jié)論3已知雙曲線Γ：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0），B（-t，0），C（t，0），其中tgt;2，D（x0，y0）是Γ上任意一點(diǎn)，直線DB，DC與Γ的另一個(gè)交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，Γ在點(diǎn)E，F(xiàn)處的切線記為l1，l2，l1與l2相交于點(diǎn)P，線段DP的中點(diǎn)為G，則點(diǎn)G必在y軸上，且|GB|=|GC|.

這里考慮將x軸上兩對(duì)稱點(diǎn)B，C推廣至y軸上，經(jīng)探究可得：

結(jié)論4已知雙曲線Γ：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0），B（0，-t），C（0，t），D（x0，y0）是Γ上任意一點(diǎn)，直線DB，DC與Γ的另一個(gè)交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，Γ在點(diǎn)E，F(xiàn)處的切線記為l1，l2，l1與l2相交于點(diǎn)P，線段DP的中點(diǎn)為G，則點(diǎn)G必在x軸上，且|GB|=|GC|［2］.

證明 同結(jié)論1的證法，易得直線過點(diǎn)（0，b2y0）.因l1與l2相交于點(diǎn)P，故切點(diǎn)弦所在直線EF為xPxa2-yPyb2=1.⑤

將此點(diǎn)代入⑤，得yP（-1y0）=1.

所以yP=-y0.

所以yG=0.所以點(diǎn)G必在x軸上，且|GB|=|GC|.

4類比探究

結(jié)論5已知橢圓Γ：x2a2+y2b2=1agt;bgt;0，B-t，0，Ct，0，其中tgt;2，Dx0，y0是Γ上一點(diǎn)，直線DB，DC與Γ的另一個(gè)交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)， 則直線EF過點(diǎn)（-a2x0，0）.

結(jié)論6如圖2，已知橢圓Γ：x2a2+y2b2=1agt;bgt;0，B-t，0，Ct，0，其中tgt;2，D（x0，y0）是Γ上任意一點(diǎn)，直線DB，DC與Γ的另一個(gè)交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，Γ在點(diǎn)E，F(xiàn)處的切線記為l1，l2，l1與l2相交于點(diǎn)P，線段DP的中點(diǎn)為G，則點(diǎn)G必在y軸上，且|GB|=|GC|.

結(jié)論7已知橢圓Γ：x2a2+y2b2=1agt;bgt;0，B0，-t，C0，t，Dx0，y0是Γ上任意一點(diǎn)，直線DB，DC與Γ的另一個(gè)交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，Γ在E，F(xiàn)處的切線記為l1，l2，l1與l2相交于點(diǎn)P，線段DP的中點(diǎn)為G，則點(diǎn)G必在x軸上，且|GB|=|GC|.

5結(jié)束語(yǔ)

總之，學(xué)生在平時(shí)的高考備考中，要嘗試學(xué)會(huì)研題，嘗試對(duì)經(jīng)典高考真題進(jìn)行解法探究、變式探究及推廣探究.通過多解探究，可以開闊自己的解題視野，打破思維定式，提升自己的推理論證能力及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；通過變式探究可以達(dá)到舉一反三的學(xué)習(xí)效果；通過推廣探究可以探究出問題的本質(zhì)，從而達(dá)到“解一題、通一類、會(huì)一片”的效果［3］.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 王東海.對(duì)一道解析幾何最值問題的深入探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2023（21）：19-21 .

［2］ 王東海.一道聯(lián)考試題的解法探究、背景分析及拓展推廣［J］.數(shù)學(xué)通訊，2023（08）：41-43，61.

［3］ 王東海.一道解析幾何分點(diǎn)弦問題的深入探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2023（15）：29-31.

［責(zé)任編輯：李慧嬌］