高中函數(shù)單調(diào)性實踐案例研究

摘要：函數(shù)單調(diào)性作為函數(shù)知識主線的重要教學(xué)內(nèi)容，是高考的熱頻考點.文章關(guān)注學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)學(xué)習(xí)的理解與接受情況，探究學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)的障礙成因，并根據(jù)障礙成因制定與實施相應(yīng)的教學(xué)策略，從而改進(jìn)課堂教學(xué).

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；函數(shù)單調(diào)性；案例研究

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2025）07-0068-03

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）將函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的四大主線之一，蘊(yùn)含著眾多數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)素養(yǎng)，奠定函數(shù)知識的基礎(chǔ)將有助于學(xué)生更好地學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)知識[1].此外，《課標(biāo)》中強(qiáng)調(diào)高中數(shù)學(xué)教學(xué)要以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì).然而，在實際的數(shù)學(xué)教學(xué)中，雖然教師花費了大量時間與精力用于函數(shù)部分的教學(xué)以及習(xí)題練習(xí)，學(xué)生在解題過程中仍然會覺得無從下手，并且無法將所學(xué)基本知識與基本方法有效地與題目題設(shè)結(jié)論建立聯(lián)系.繼而，這些疑難困惑便會發(fā)展成為學(xué)生在函數(shù)學(xué)習(xí)時的學(xué)習(xí)障礙，而學(xué)習(xí)障礙將會進(jìn)一步阻礙學(xué)習(xí)進(jìn)程，從而影響學(xué)生的學(xué)習(xí)效率以及教師的教學(xué)進(jìn)度.

1文獻(xiàn)分析

通過查閱學(xué)者們關(guān)于高中函數(shù)相關(guān)內(nèi)容的研究，得到如下信息：

羊振華認(rèn)為高中生對函數(shù)單調(diào)性理解水平普遍欠佳，但對其綜合應(yīng)用的理解水平較高，且隨年齡和年級增長，對概念理解愈發(fā)深刻[2].吳倩基于APOS理論進(jìn)行函數(shù)單調(diào)性教學(xué)設(shè)計，提出教學(xué)應(yīng)關(guān)注學(xué)習(xí)者活動、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理建構(gòu)水平，立足知識體系，預(yù)設(shè)學(xué)生認(rèn)知障礙[3].

劉婉通過問卷與訪談發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性認(rèn)知薄弱，在應(yīng)用、分析、綜合和評價方面表現(xiàn)欠佳，建議教師在新授和復(fù)習(xí)時，注重

相關(guān)能力培養(yǎng)，開展主題教學(xué)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)[4].

李霽航借助SOLO分類法研究高中生函數(shù)單調(diào)性學(xué)習(xí)障礙成因，認(rèn)為概念的抽象性、表征的多樣性及學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)等因素，會導(dǎo)致認(rèn)知障礙[5].

2案例研究

在高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識體系里，單調(diào)性是學(xué)生最先接觸到的六大函數(shù)性質(zhì)之一，因為其定義

抽象、應(yīng)用多樣，成為

函數(shù)學(xué)習(xí)的難點.本文以“函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用”作為

重點觀察案例，呈現(xiàn)基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的

教學(xué)設(shè)計.

2.1數(shù)學(xué)情境，感知性質(zhì)應(yīng)用背景

例1下列滿足x1，x2∈（0，+

SymboleB@ ），x1≠x2，f（x1）-f（x2）x1-x2lt;0的函數(shù)有（）.

A.f（x）=2xB.f（x）=|x-1|C.f（x）=1x-xD.f（x）=ln（1-x）

教師：你從題干中獲取到了什么信息？它考查了函數(shù)的什么性質(zhì)？

學(xué)生：函數(shù)單調(diào)性定義的變形，考查函數(shù)的單調(diào)性.

設(shè)計意圖通過例題設(shè)置開放性回答，引領(lǐng)學(xué)生回憶判斷單調(diào)性的常用方法，并能對每種方法進(jìn)行簡單地敘述，為舊知回顧、抽象性質(zhì)應(yīng)用特征做鋪墊.

2.2數(shù)學(xué)探究，抽象性質(zhì)應(yīng)用特征

教師：你是通過什么方法判斷選項中函數(shù)的單調(diào)性？

學(xué)生：圖象法、性質(zhì)法、求導(dǎo)、復(fù)合函數(shù)……

追問：你是如何想到運用這些方法判斷函數(shù)單調(diào)性？

學(xué)生：關(guān)鍵要觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)，選取合適的方法；如果直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷，過程煩瑣、復(fù)雜.

師生活動1：共同完善表1.

設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生回顧函數(shù)單調(diào)性判斷方法，師生用五種方法進(jìn)行解題，強(qiáng)調(diào)觀察函數(shù)結(jié)構(gòu)的重要性，思考選擇每種方法的原因，并嘗試進(jìn)行拓展延伸，促使學(xué)生主動學(xué)習(xí)與開展發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí).

2.3數(shù)學(xué)體悟，概括性質(zhì)應(yīng)用要義

教師：函數(shù)單調(diào)性的定義是什么？完成表2.

教師：兩個自變量與它們所對應(yīng)的函數(shù)值的大小關(guān)系相同時，函數(shù)單調(diào)遞增；可簡單表述為：在滿足x1，x2∈D的前提下，①②③.你能嘗試在該前提下，得到關(guān)于①②③的其他正確結(jié)論嗎？

生：①③②；②③①.

追問：若在前提與③都成立的基礎(chǔ)上，可進(jìn)一步得到什么結(jié)論？

生：①③.

師：根據(jù)例1中的題干條件，你是如何判斷它所代表的單調(diào)性的？

學(xué)生：利用分式不等式的運算特點，分式不等式小于0，則分子與分母異號，相當(dāng)于兩個自變量與它們所對應(yīng)的函數(shù)值的大小關(guān)系相反，即①②③.

追問：類比例1的分式不等式表示單調(diào)性，還有什么式子可以表示單調(diào)性？

學(xué)生：（x1-x2）［f（x1）-f（x2）］gt;0也可以表示單調(diào)遞增的函數(shù).

教師：剛剛同學(xué)們提及了判斷函數(shù)單調(diào)性的五種方法：定義法、圖象法、性質(zhì)法、求導(dǎo)法、復(fù)合函數(shù)，能否基于上述應(yīng)用概括這五種方法的要義？

師生活動2：整理判斷函數(shù)單調(diào)性的五種方法及其對應(yīng)的函數(shù)結(jié)構(gòu)（見表3，表4）.

設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)結(jié)構(gòu)，體悟函數(shù)單調(diào)性要點與內(nèi)涵，強(qiáng)調(diào)自變量的任意性.回顧五種判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，感受不同函數(shù)結(jié)構(gòu)對應(yīng)判斷方法的差異，促使學(xué)生自主思考、歸納總結(jié)，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2.4數(shù)學(xué)內(nèi)化，辨析性質(zhì)應(yīng)用內(nèi)涵

例2（1）若f（x）=x2-ax在（0，1）上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍.

（2）若fx=log2（x2-ax）在（1，2）上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍.

教師：你采取了什么方法解決例2中的問題？請解釋選擇該方法的原因.

學(xué)生：首先觀察函數(shù)結(jié)構(gòu)，將其分解為基本初等函數(shù)，再根據(jù)結(jié)構(gòu)特點選取適當(dāng)方法進(jìn)行單調(diào)性判斷.

2.5數(shù)學(xué)應(yīng)用，深化性質(zhì)應(yīng)用理解

例3若函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)，且f（a2）lt;f（a），則a的取值范圍是（）.

A.（0，2）B.（-

SymboleB@ ，0）∪（2，+

SymboleB@ ）

C.（-

SymboleB@ ，0）D.（2，+

SymboleB@ ）

延伸1若函數(shù)f（x）在［0，+

SymboleB@ ）上單調(diào)遞增，且f（2a-1）lt;f（-a+5），求a的取值范圍.

延伸2若函數(shù)f（x）=4x+2sinx，求f（a-2）lt;

f（2a-1）的解集.

例4已知函數(shù)f（x）=（1-4a）x+2a，xlt;1，logax，x≥1.是R上的減函數(shù)，求a的取值范圍.

例5若函數(shù)f（x）=4x+1+2x，求f（x）的值域.

3研究建議

基于上述案例研究結(jié)果，對高中數(shù)學(xué)教師

教學(xué)提出如下建議.首先，

教師應(yīng)為學(xué)生創(chuàng)造更多的學(xué)習(xí)時間，提供更多積累函數(shù)解題經(jīng)驗的機(jī)會.讓學(xué)生在復(fù)習(xí)中，加深對函數(shù)知識的理解與應(yīng)用

，逐步

構(gòu)建起屬于自己的函數(shù)知識體系.

其次，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)本質(zhì)，體會函數(shù)圖象與性質(zhì)的聯(lián)系；

強(qiáng)化學(xué)生對數(shù)與形的認(rèn)知，提升其數(shù)形結(jié)合思想的運用能力，為學(xué)生奠定數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，培養(yǎng)解題技能.

參考文獻(xiàn)：［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）[M].北京：人民教育出版社.2017.

[2] 羊振華.高中生“函數(shù)單調(diào)性”理解水平的調(diào)查研究[D].蘭州：西北師范大學(xué)，2017.

[3] 吳倩.基于APOS理論的函數(shù)單調(diào)性教學(xué)設(shè)計策略探究[D].武漢：華中師范大學(xué)，2017.

[4] 劉婉.高中函數(shù)單調(diào)性主題教學(xué)設(shè)計研究[D].新鄉(xiāng)：河南師范大學(xué)，2019.

[5] 李霽航.高中生函數(shù)單調(diào)性學(xué)習(xí)障礙成因及對策研究[D].哈爾濱：哈爾濱師范大學(xué)，2020.

［責(zé)任編輯：李慧嬌］