從動(dòng)力學(xué)角度討論斜面上“滑塊—木板”模型問題

摘要：“滑塊—木板”模型是高中物理重要模型之一，也是高考命題的重點(diǎn)、難點(diǎn)之一.斜面上“滑塊—木板”模型問題，有幾個(gè)判定點(diǎn)，易使學(xué)生思維混亂.從動(dòng)力學(xué)角度討論斜面上“滑塊—木板”模型問題，利用假設(shè)法、整體法、隔離法等物理方法，展開對(duì)滑塊、木板力與運(yùn)動(dòng)的討論，確定滑塊和木板的力與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，讓學(xué)生能夠順利解答物理問題.

關(guān)鍵詞：滑塊—木板；假設(shè)法；整體法；隔離法

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2025）07-0102-03

斜面上“滑塊—木板”模型問題，存在幾個(gè)判定點(diǎn)：（1）滑塊與木板之間有無摩擦力；（2）滑塊與木板之間摩擦力的方向；（3）滑塊與木板之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài).學(xué)生面對(duì)這幾個(gè)判定點(diǎn)，思路混亂，無從入手[1].從動(dòng)力學(xué)角度分析斜面上“滑塊—木板”模型，展開對(duì)滑塊和木板力與運(yùn)動(dòng)的討論，列出牛頓運(yùn)動(dòng)定律方程，解出加速度，判斷結(jié)果與假設(shè)是否一致，最終確定滑塊和木板的力與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，讓學(xué)生能夠自信地走出第一步，科學(xué)思維能力也隨之提升[2].

1“滑塊—斜面”模型問題

如圖1，固定斜面傾角為θ，滑塊質(zhì)量為m，滑塊與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為g，試討論滑塊在斜面上的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和所受摩擦力的方向.

剖析若mgsinθgt;μmgcosθ，即μlt;tanθ，則滑塊沿著斜面向下運(yùn)動(dòng)，受到滑動(dòng)摩擦力的方向沿著斜面向上；若mgsinθ≤μmgcosθ，即μ≥tanθ，則滑塊靜止在斜面上，受到靜摩擦力的方向沿著斜面向上.

2斜面上“滑塊—木板”模型問題

如圖2，固定斜面傾角為θ，滑塊質(zhì)量為m，木板質(zhì)量為M，滑塊與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1，木板與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ2，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為g，試討論以下四個(gè)問題：

（1）滑塊與木板之間摩擦力的有無；

（2）滑塊與木板之間摩擦力的方向；

（3）滑塊與木板之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；

（4）滑塊、木板沿斜面的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

設(shè)計(jì)意圖（1）“滑塊—斜面”模型，比較動(dòng)摩擦因數(shù)與斜面傾角正切值，判斷滑塊運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和摩擦力方向，為斜面上“滑塊—木板”模型中運(yùn)動(dòng)和力假設(shè)提供參考；（2）斜面上“滑塊—木板”模型，提出四個(gè)問題，為下文討論指明任務(wù).

3從動(dòng)力學(xué)角度討論斜面上“滑塊—木板”模型問題

3.1動(dòng)摩擦因數(shù)均小于斜面傾角的正切值

例題滑沙運(yùn)動(dòng)是人們比較喜歡的一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)模型可簡(jiǎn)化為如圖3（a），傾角為θ=37°的斜坡上有一滑板，滑板與沙面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ2=0.525，人（可視為質(zhì)點(diǎn)）坐在滑板上端，與滑板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)取決于人的衣料，假設(shè)圖中人與滑板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1=0.4，人的質(zhì)量與滑板的質(zhì)量相等均為m，斜坡足夠長(zhǎng)，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，取g＝10 m/s2，規(guī)定沿著斜面向下為正方向.（1）試分析人脫離滑板之前上文中四個(gè)問題；（2）若μ1=0.525，μ2=0.4，再次分析.

解析（1）由μ1=0.4lt;tanθ，μ2=0.525lt;tanθ，μ1lt;μ2，假設(shè)人相對(duì)滑板向下運(yùn)動(dòng)，則人的加速度大于滑板的加速度，受力分析如圖3（b）.

隔離法對(duì)人，

mgsinθ-μ1mgcosθ=ma1，a1=2.8 m/s2.

隔離法對(duì)滑板，mgsinθ+μ1mgcosθ-2μ2mgcosθ=ma2，a2=0.8 m/s2.

計(jì)算結(jié)果a1gt;a2，與假設(shè)吻合.故人與滑板之間存在滑動(dòng)摩擦力，且人所受摩擦力方向沿著滑板向上，人相對(duì)滑板向下運(yùn)動(dòng)，人、滑板都相對(duì)沙面向下運(yùn)動(dòng).

（2）由μ1=0.525lt;tanθ，μ2=0.4lt;tanθ，μ1gt;μ2，假設(shè)人和滑板一起沿著沙面向下運(yùn)動(dòng)，則人和滑板的加速度相等，受力分析如圖3（c）.

整體法對(duì)人和滑板，2mgsinθ-2μ2mgcosθ=2ma共，a共=2.8 m/s2.

隔離法對(duì)人，mgsinθ-f靜=ma共，f靜=3.2m，f靜max=μ1mgcosθ=4.2m.

計(jì)算結(jié)果f靜maxgt;f靜，a共=2.8 m/s2，與假設(shè)吻合.故人與滑板之間存在靜摩擦力，且人所受摩擦力方向沿著滑板向上，人相對(duì)滑板有向下運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，人、滑板一起沿著沙面向下運(yùn)動(dòng).

設(shè)計(jì)意圖（1）用真實(shí)情景和具體數(shù)據(jù)來討論問題，可以給學(xué)生一個(gè)直觀的比較；（2）交換動(dòng)摩擦因數(shù)，改變數(shù)據(jù)，再次討論，加深學(xué)生的認(rèn)知；（3）思維方法歸納總結(jié)，提升學(xué)生科學(xué)思維能力.

3.2動(dòng)摩擦因數(shù)僅一個(gè)大于斜面傾角的正切值

變式1僅改變一個(gè)接觸面的動(dòng)摩擦因數(shù)，（1）若μ1=0.4不變，μ2=0.8改變，試分析人脫離滑板之前上文中四個(gè)問題；（2）若μ1=0.8改變，μ2=0.525不變，再次分析.

解析（1）由μ1=0.4lt;tanθ，μ2=0.8gt;tanθ，μ1lt;μ2，假設(shè)滑板靜止在沙面上，人沿滑板向下運(yùn)動(dòng)，則滑板加速度為零，人的加速度不為零，如圖4（a）.

隔離法對(duì)人，

mgsinθ-μ1mgcosθ=ma1，a1=2.8 m/s2，

隔離法對(duì)滑板，mgsinθ+μ1mgcosθ-f靜=0，f靜=9.2m，a2=

0.

滑板與沙面間最大靜摩擦力

f靜max=2μ2mgcosθ=12.8m，

計(jì)算結(jié)果f靜maxgt;f靜，a1=2.8 m/s2，a2=0，與假設(shè)吻合.故人與滑板之間存在滑動(dòng)摩擦力，且人所受摩擦力方向沿著滑板向上，人相對(duì)滑板向下運(yùn)動(dòng)，滑板靜止在沙面上.

（2）由μ1=0.8gt;tanθ，μ2=0.525lt;tanθ，μ1gt;μ2，假設(shè)人和滑板一起沿著斜面向下運(yùn)動(dòng)，則人和滑板的加速度相等，如圖4（b）.

整體法對(duì)人和滑板，2mgsinθ-2μ2mgcosθ=2ma共，a共=1.8 m/s2.

隔離法對(duì)人，mgsinθ-f靜=ma共，f靜=4.2m，f靜max=μ1mgcosθ=6.4m.

計(jì)算結(jié)果f靜maxgt;f靜，a共=1.8 m/s2，與假設(shè)吻合.故人與滑板之間存在靜摩擦力，且人所受摩擦力方向沿著滑板向上，人相對(duì)滑板有向下運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，人和滑板一起沿著沙面向下運(yùn)動(dòng).

3.3動(dòng)摩擦因數(shù)均大于斜面傾角的正切值

變式2接觸面的動(dòng)摩擦因數(shù)均改變，（1）若μ1=0.8、μ2=0.9，試分析人脫離滑板之前上文中四個(gè)問題；（2）若μ1=0.9、μ2=0.8，再次分析.

解析（1）由μ1=0.8gt;tanθ，μ2=0.9gt;tanθ，μ1lt;μ2，假設(shè)人和滑板均靜止，則人和滑板加速度均等于零，如圖5（a）.

隔離法對(duì)人，f靜1=mgsinθ=6m，f靜1max=μ1mgcosθ=6.4m.

整體法對(duì)人和滑板，f靜2=2mgsinθ=12m，f靜2max=2μ2mgcosθ=14.4m.

計(jì)算結(jié)果f靜1maxgt;f靜1，f靜2maxgt;f靜2，加速度均等于零，與假設(shè)吻合.故人與滑板之間存在靜摩擦力，且人所受摩擦力方向沿著滑板向上，人相對(duì)滑板有向下運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，人、滑板均靜止在沙面上.

（2）由μ1=0.9gt;tanθ，μ2=0.8gt;tanθ，μ1gt;μ2，假設(shè)人和滑板均靜止，則人和滑板加速度均等于零，如圖5（b），易得與（1）中完全相同的結(jié)果.

3.4動(dòng)摩擦因數(shù)有等于零

變式3人與滑板之間，或滑板與沙面之間接觸面光滑時(shí)，或是兩個(gè)接觸面均光滑，分析上文中四個(gè)問題.

解析若人和滑板之間光滑，其他粗糙，如圖6（a），易知人和滑板之間無摩擦，人相對(duì)滑板向下運(yùn)動(dòng).

若滑板和沙面之間光滑，其他粗糙，

如圖6（b），易得人和滑板的加速度均為gsinθ，故人和滑板之間無摩擦力，無運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，一起沿著沙面下滑.

若兩個(gè)接觸面均光滑，人和滑板之間無摩擦力，一起沿著沙面下滑.

4結(jié)束語

綜合以上討論，對(duì)斜面上“滑塊—木板”模型問題，歸納總結(jié)如下.

（1）滑塊與木板之間摩擦力的判定：若滑塊與木板或木板與斜面之間有接觸面光滑時(shí)，滑塊與木板之間不存在摩擦力；若滑塊與木板、木板與斜面的接觸面均粗糙時(shí)，滑塊與木板之間存在摩擦力，且滑塊所受摩擦力的方向沿著木板向上.

（2）滑塊與木板之間運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的判定：①當(dāng)μ2gt;tanθ時(shí)，木板靜止在斜面上，若μ1gt;tanθ，滑塊靜止在木板上；若μ1lt;tanθ，滑塊沿著木板向下運(yùn)動(dòng).②當(dāng)μ2lt;tanθ時(shí)，木板沿著斜面向下運(yùn)動(dòng)，若μ1gt;μ2，滑塊與木板，一起沿斜面向下運(yùn)動(dòng)；若μ1lt;μ2，滑塊相對(duì)木板向下運(yùn)動(dòng).

參考文獻(xiàn)：［1］

孫林源.撥開云霧是晴天 分清緣由定乾坤：有關(guān)“滑塊—木板”類型的求解方法[J].數(shù)理化解題研究，2017（22）：81-84.

[2] 林東檳.“滑塊—木板”模型全攻略[J].物理教學(xué)，2019，41（03）：23-26.

［責(zé)任編輯：李璟］