“手割分析法”在中學數學解題中的應用研究

摘要：“手割分析法”是源于棋類復盤拆解思路的數學解題分析方法，通過對條件與結論進行類似“分割”“重組”“對比”等步驟，挖掘解題思路.文章闡述了其概念、理論基礎，探討其在代數、幾何中的應用，并進一步探討在解題過程中的應用策略，為中學數學解題提供新方法參考.

關鍵詞：手割分析法；中學數學；解題

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）07-0057-04

收稿日期：2024-12-05

作者簡介：謝慶，碩士研究生，從事數學教學研究.

*通信作者：陳維，副教授，從事概率論與數理統計研究.

手割也稱“手割分析法”或“手割法”，是日本“圍棋術語”，即解剖，一般用來分析局部得失.手割分析的具體做法是在一個局部拿掉相同數量的白子和黑子以便直觀比較雙方的子效.在原譜的行棋順序之外，換一個順序擺出拿掉的黑白子以便分析每步棋的得失.值得注意的是，取舍哪些黑白子完全由主觀而定，同時原棋譜之外往往有不止一種手割順序.棋力強者或經驗豐富者會做出更加客觀的分析，因此手割效果與專業水平具有正相關關系[1].

在中學數學教學中，教師需運用合理的教學策略，引導學生充分掌握應用題的解題方法[2].培養學生的高效解題能力是核心目標之一，“手割分析法”作為新興分析視角，借鑒棋類復盤剖析智慧，為數學解題打開了新路徑，深入探究其在中學數學各板塊的應用，對提高教學效果、提升學生思維品質意義深遠.

1“手割分析法”概述

1.1概念敘述

“手割分析法”，從棋類術語“手割”引申而來，在數學解題里，是將題目已知條件、所求結論按內在邏輯關聯、數學結構拆分成多個“組件”，重新審視各組件間數學關系，洞察解題關鍵步驟、隱藏思路的方法.如做代數運算，對等式各項、函數各部分剖析重組，突破運算困境；解幾何證明題時，把圖形性質、邊長條件等分割細究，通過重組尋找線索.

1.2理論基礎

1.2.1認知負荷理論

認知負荷理論認為，人的工作記憶容量有限，在處理復雜信息時容易出現認知過載.在數學解題中，面對復雜的題目條件和問題，學生往往會感到無從下手.而“手割”分散信息、分步處理，降低認知負荷，能夠幫助學生聚焦關鍵.“手割分析法”將題目中的已知條件和所求結論按照一定的邏輯關系和數學結構進行分割，使原本復雜的問題分解為多個相對簡單的子問題，從而降低了每個子問題的認知難度，讓學生能夠更輕松地理解和處理信息，避免了因信息過多而導致的思維混亂.通過分割，學生可以將注意力集中在每個子問題上，更深入地挖掘其中的關鍵信息和數學關系.這種聚焦有助于學生更準確地把握問題的本質，找到解題的突破口，提高解題效率.

1.2.2問題解決理論

問題解決理論認為，有效的問題解決首先需要對問題進行準確表征.“手割分析法”通過將題目中的條件和結論進行可視化、結構化的處理，幫助學生更清晰地理解問題的結構和要求，從而更好地進行問題表征.這種清晰的問題表征有助于學生在解題過程中更準確地調用相關的知識和方法.“手割分析法”為學生提供了一種新的解題策略和思維方式，讓學生在面對不同類型的數學問題時，能夠嘗試運用分割、重組和對比等方法，發現問題中的隱藏信息和內在聯系，從而找到更有效的解題方法.

2“手割分析法”在中學數學解題中的步驟

“手割分析法”在數學解題中，可以理解為一種通過切割、重組圖形或問題，以便更直觀地分析、比較和解決問題的策略.這種方法的核心在于簡化問題、突出關鍵信息，從而幫助學生更好地理解和解決數學問題.

2.1精準剖析問題，明確要素構成

明確題目要求，理解問題背景，識別關鍵信息和數學概念.首先，仔細閱讀題目，確保理解問題的具體要求.其次，識別出題目中的關鍵信息，如已知條件、未知量和需要求解或證明的結論.同時，理解問題所涉及的數學概念、公式或定理，為后續解題奠定基礎.將復雜問題分解為更小的、更易于管理的子問題，這是解題的基礎，也是后續分割元素、細化知識單元的前提.

2.2巧妙分割元素，細化知識單元

在理解問題的基礎上，識別出題目中的關鍵元素.將復雜問題分解為更小的、更易于管理的子問題.每個子問題都涉及一個或幾個關鍵元素，通過解決這些子問題，可以逐步逼近最終答案.針對每個子問題，進一步細化相關的數學知識點.將問題中的元素進行分割，識別出各個部分之間的關聯點.這些關聯點可能是數學公式、定理、性質之間的邏輯關系，也可能是變量之間的函數關系.通過分割元素，可以更清晰地看到問題結構，從而更容易找到解題的突破口.

2.3靈活重組關聯，搭建解題橋梁

在識別出關聯點后，就需要進行靈活重組，搭建起解題的橋梁.這一步驟的關鍵在于將已知條件與未知量通過關聯點連接起來，形成一個完整的解題路徑.重組的方式通常有以下幾類：

（1）公式變換：利用數學公式進行變換，將已知條件轉化為更易于處理的形式.

（2）定理應用：根據題目中的條件，選擇合適的數學定理進行應用，從而推導出新的結論.

（3）變量替換：在復雜的表達式中，通過變量替換簡化計算過程.

（4）圖形輔助：對于幾何問題，可以通過繪制圖形來直觀展示問題結構，從而更容易找到解題路徑.

2.4審慎對比抉擇，實現高效求解

逐一評估每種解題思路的可行性、復雜度和可能得出的結果.在此階段，可以借助已有的數學知識和經驗，進行類似圍棋中子效分析的判斷.根據對比結果，選擇最有可能高效解決問題的思路或方法.按照所選的思路和方法解題，并在解題過程中保持警惕，隨時準備根據實際情況調整策略.解題后，要驗證答案的正確性，確保所選方案確實有效.在整個過程中，審慎對比和抉擇是實現高效求解的關鍵，這不僅需要扎實的數學基礎和解題技巧，還需要良好的邏輯思維和判斷能力.

3“手割分析法”在中學解題中的應用

”手割分析法“是一種通過對問題中的條件和結論進行分割、重組、對比等步驟，尋找解題思路和方法的分析方式，在數學解題中可幫助學生打破常規思維，挖掘題目中的隱含信息和內在聯系.

3.1“手割分析法”在代數解題中的應用

在代數解題中，“手割分析法”能夠幫助學生和解題者深入剖析代數式或方程的內部結構.這種逐步拆解的過程有助于理解代數式是如何由基本的運算符號和數字、字母組合而成的，“手割分析法”為解題策略的選擇提供了依據.

例1若關于x的方程kx-1+xx-1-2xx（x-1）=0有增根，求k的值.

解析（1）剖析問題，明確要素.本題涉及分式方程，關鍵要素有分式方程本身kx-1+xx-1-2xx（x-1）=0，以及增根這一概念.增根是使分式方程分母為0的根，所以先確認該方程分母有x-1和x（x-1），那么增根可能是x=0或x=1.根據增根求出k的值，這就需要將分式方程化為整式方程.

（2）分割元素，細化知識.先對原分式方程進行化簡：方程兩邊同乘x（x-1）得kx+x2-2x=0.

將其展開整理，得x2+（k-2）x=0.

（3）重組關聯，搭建橋梁.因為增根是x=0或x=1.當x=0時，代入整式方程x2+（k-2）x=0，得02+（k-2）×0=0，此時無法確定k值；當x=1時，代入整式方程得

12+（k-2）×1=0，解得k=1.

（4）審慎對比，高效求解.通過將增根x=0或x=1分別代入整式方程進行分析，發現只有當增根為x=1時能確定k的值為1.

例2已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的離心率為22，且經過（2，1）.設A，B是橢圓C上的兩點，且OA·OB=0（O為坐標原點），求證：1|OA|2+1|OB|2為定值.

解析（1）剖析問題，明確要素.本題涉及橢圓的方程（由離心率和過點條件確定）、向量的垂直關系以及要證明的關于1|OA|2+1|OB|2為定值的結論.首先要根據橢圓條件求出橢圓方程，然后設出A，B兩點坐標，利用向量垂直和橢圓方程進行推導定值.

（2）分割元素，細化知識.由橢圓離心率e=ca=22和橢圓過點（2，1），以及a2=b2+c2，聯立方程組可求出a2=4，b2=2，則橢圓方程為x24+y22=1.可設A（x1，y1），B（x2，y2），故x1x2+y1y2=0以及x214+y212=1，x224+y222=1.

（3）重組關聯，搭建橋梁.將x214+y212=1變形為y21=2-x212，同理y22=2-x222.

則|OA|2=x21+y21=x21+2-x212=x212+2，

同理|OB|2=x222+2.

所以1|OA|2+1|OB|2=2x21+4+2x22+4，通過將x1x2+y1y2=0變形代入化簡可得定值.

（4）審慎對比，高效求解.經過化簡計算可得1|OA|2+1|OB|2=34，為定值.

3.2“手割分析法”在幾何解題中的應用

幾何問題所涉及的圖形結構復雜，包含眾多的線條和角度.通過分割和重組，能夠更清楚地看到角與角、邊與邊之間的等量關系、相似關系或者全等關系.學生在不斷地分割和組合圖形的過程中，會逐漸形成對幾何圖形的敏銳洞察力.

例3在正方形ABCD中，E是BC邊上的一點，F是CD邊上的一點，且∠EAF=45°，求證：EF=BE+DF.

證明（1）剖析問題，明確要素.本題關鍵要素是正方形ABCD，以及在其邊上的點E，F和特定角度∠EAF=45°，要證明的結論是線段EF與BE，DF之間的數量關系.解題需要利用正方形的性質，以及考慮通過圖形的分割與拼接來構建等量關系.

（2）分割元素，細化知識.延長CB至點G，使BG=DF，并連接AG.由正方形的性質可知，AB=AD，∠ABG=∠ADF=90°.又因為BG=DF，所以可證△ABG≌△ADF（SAS）.

即有AG=AF，∠BAG=∠DAF.

（3）重組關聯，搭建橋梁.因為∠EAF=45°，∠BAD=90°，所以∠BAE+∠DAF=45°.而∠BAG=∠DAF，所以∠GAE=∠BAE+∠BAG=45°=∠EAF.

故有AG=AF，∠GAE=∠FAE，AE=AE.

可證△AEG≌△AEF（SAS）.

則EF=EG=BE+BG=BE+DF.

（4）審慎對比，高效求解.通過上述的分割、構造全等三角形以及推理過程，證明了EF=BE+DF，“手割分析法”通過合理分割圖形，將分散的條件重組關聯，從而找到解題的關鍵路徑.

例4在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=AB=AC=2，BC=22，求三棱錐P-ABC的外接球半徑.

解析（1）剖析問題，明確要素.本題關鍵要素是三棱錐的棱長，要確定其外接球半徑，需要考慮三棱錐的特殊幾何結構，利用正三棱錐的性質以及外接球的相關知識進行解答.通過觀察三棱錐的底面是等腰直角三角形，側棱長都相等，可嘗試將三棱錐與正方體相聯系進行分析.

（2）分割元素，細化知識.將三棱錐補成一個正方體，正方體的棱長設為a.因為底面是等腰直角三角形且BC=22，所以可得AB=AC=2，那么正方體的面對角線長為2，則正方體棱長a=2.

（3）重組關聯，搭建橋梁.三棱錐的外接球就是補成的正方體的外接球，正方體的體對角線長就是外接球的直徑2R.根據正方體的對角線公式，正方體的棱長為2時，體對角線長為（2）2+（2）2+（2）2=6，即2R=6.

（4）審慎對比，高效求解.通過將三棱錐補成正方體的思路，把陌生的三棱錐外接球問題轉化為熟悉的正方體外接球問題，從而求解出外接球半徑R=62.

4結束語

“手割分析法”是一種源于棋類復盤拆解思路的數學解題分析方法，其在中學數學解題中的應用，關鍵在于理解題意、分割元素、尋找關聯點、靈活重組以及驗證答案.在應用過程中，學生可以更有效地解決數學問題，提升數學解題能力.雖然“手割分析法”在圍棋中主要用于分析棋局，但將其理念應用于中學數學解題中，可以幫助學生更加系統地、有條理地分析和解決問題［3］.

參考文獻：

［1］ 吳新宇.手割分析法[J].圍棋天地，2010（08）：2.

［2］ 陳建忠.初中數學應用題的解題方法及教學策略分析[J].數理化解題研究，2024（29）：77-79.

［3］ 趙士元.“三會、四能”：數學解題教學的根本訴求[J].數學通報，2022，61（06）：38-41，62.

［責任編輯：李慧嬌］