例析萬有引力與宇宙航行問題解題方法

摘要：高中生在學習“萬有引力與宇宙航行”這一章時，會遇到研究對象混亂不清、沒有解題思路等問題，教師在教學過程中應當著重引導學生掌握本章內容的核心解題方法，并用該方法講解各種典型天體問題.

關鍵詞：萬有引力；地面物體；環繞天體

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）07-0105-03

收稿日期：2024-12-05

作者簡介：龍建虹，本科，中小學一級教師，從事高中物理教學研究.[FQ）]

在高考物理中，萬有引力與宇宙航行問題是每年必考的一個知識點，題目難度基本是中等偏下.在高中物理知識體系中，萬有引力與宇宙航行這一章與其他章節聯系不大，造成了學生難以理解、不易得分的現象.實際上，學生只要能把萬有引力與宇宙航行問題的核心抓住，把兩大類研究對象區分清楚，即可快速正確解題.

1萬有引力與宇宙航行問題兩大核心解題方法

1.1問題類型一

題目中已知或未知條件涉及星球表面的重力加速度g，則解題方法為：選擇靜止在星球表面上的某一物體m，對m列出萬有引力與重力的關系方程求解.若忽略地球自轉影響，對地面上物體m：

GMmR2=mg；

若考慮地球自轉影響，對兩極處物體m：GMmR2=mg1，

對赤道處物體m：GMmR2=mg2+mω2自R.

這一類情況要強調：題中沒有提到地球自轉相關信息時，都默認本題屬于忽略地球自轉影響，而要考慮地球自轉，題中會有一些特定的條件來敘述.

1.2問題類型二

題目中已知或未知條件涉及環繞天體，則解題方法是選擇該環繞天體m，對m列出萬有引力提供向心力的關系方程

GMmr2=mv2r求解.

這一類情況要強調，萬有引力公式GMmr2中的r是M與m之間的距離，而向心力公式mv2r中的r是圓軌道的半徑，兩者的物理意義是完全不一樣的，在有些情況下兩者是不相等的，例如雙星問題、三星問題等多星問題.

2運用兩種解題思路例析典型天體問題

2.1天體中的圖像問題

例1宇航員在月球表面將小球豎直向上拋出，取拋出點為坐標原點向上建立x軸，從小球拋出開始計時，小球運動的xt-t圖像如圖1所示.忽略月球的自轉，月球半徑為R，引力常量為G.則下列分析正確的是（）.

A．繞月飛船在近月軌道上的繞行速度為aRb

B．月球的密度為3a2πRGb

C． 小球豎直上拋的初速度為2a

D． 小球從O點上升的最大高度為ab

分析由小球運動的xt-t圖像結合位移時間公式x=v0t-12gt2，就可以求出月球表面的重力加速度g=2ab，屬于問題類型一，因此在忽略月球自轉情況下，根據對月球表面物體m：GMmR2=mg求解出月球質量M，再結合密度公式

便可求出月球密度，判斷出B項正確；再把重力加速度g帶入第一宇宙速度公式v1=gR，可得A項錯誤.第一類情況中大多題是直白地提到了重力加速度g，但有些題中是在描述某個物體在星球表面做自由落體、豎直上拋、平拋等運動，其實都是在間接給出重力加速度g[1]，這都是天體問題中的第一類問題.

2.2要考慮星球自轉影響的天體問題

例22020年7月23 日我國首個獨立火星探測器“天問一號”在文昌航天發射場成功升空并進入預定軌道，已于今年5月15日成功著陸火星表面，對我國持續推進深空探測、提升國家軟實力和國際影響力具有重要意義.已知把火星視為半徑為R均勻球體，火星兩極表面的重力加速度大小為g，火星赤道表面重力加速度大小為ng，引力常量為G.則以下選項正確的是（）.

A．在火星赤道上質量為m的探測器，它對火星表面的壓力大小為mg

B．火星的質量為ngR2G

C．火星的第一宇宙速度為ngR

D．火星的自轉周期為2πR（1-n）g

分析題目條件已知火星表面的重力加速度，屬于問題類型一，兩極和赤道處的重力加速度不一樣.

對火星表面兩極處物體m：GMmR2=mg，對火星表面赤道處物體m：GMmR2=mng+m4π2T2R，兩式聯立即可求出火星的質量M和自轉周期T，再根據火星的第一宇宙速度的公式，可得只有D項正確.

2.3多個研究對象的天體問題

例3已知嫦娥四號繞月運行軌道看作半徑為r的圓軌道如圖2，月球的半徑為R，月球表面的重力加速度為g，引力常量為G，求：（1）月球的質量M；

（2）嫦娥四號的運行周期T；

（3）繞月飛船的最大運行速度v.

分析題中已知條件給出了月球表面的重力加速度g，屬于問題類型一，隱含著忽略月球的自轉

，所以對星球表面物體m列式：GMmR2=mg求解出

月球質量M=gR2G.（2）和（3）的研究對象是月球的環繞天體，屬于問題類型二，對嫦娥四號m列式：

GMmr2=m4π2T2r，結合黃金代換式GM=gR2可解出周期T=2πr3gR2；對月球近月衛星m列式：

GMmR2=

mv2R，再結合黃金代換式可解出第一宇宙速度v=gR.此題是天體問題中非常典型的一類題，

三個小問的研究對象都是不一樣，需清楚每個式子中的m分別是誰的質量.對于初學的學生來說“m”是誰，就是他們在學本單元時最大疑問點和混亂點，所以必須強調所列每一個方程的研究對象.

2.4雙星問題

例4“雙星系統”由相距較近的恒星組成，每個恒星的半徑遠小于兩個恒星之間的距離，圖3雙星系統示意圖而且雙星系統一般遠離其他天體，它們在相互間的萬有引力作用下，繞某一點做勻速圓周運動[2]，如圖3所示為由A、B兩顆恒星組成的“雙星系統”，A星球的質量為m1，B星球的質量為m2，它們中心之間的距離為L，引力常量為G，則下列說法正確的是（）.

A．A、B兩星線速度相等

B．雙星運行的角速度為ω=G（m1+m2）L3

C．A星球的軌道半徑為r1=m1m1+m2L

D．若近似認為B星球繞A星球中心做圓周運動，則B星球的運行周期為T=2πLLGm1

分析雙星問題中的恒星是環繞天體，屬于問題類型二，對其中A列式為：Gm1m2L2=m1ω2r1，對B列式為：Gm1m2L2=m2ω2r2，又有r1+r1=L，結合三個式子便可求出雙星的角速度、周期、兩星各自的軌道半徑等，發現只有B項正確，而雙星的角速度相等，線速度與軌道半徑成正比.雙星、三星等多星問題中，萬有引力公式中的距離和向心力公式中的圓軌道半徑，一般情況都是不相等.

2.5太空電梯問題

例5（多選）人類設想在赤道平面內建造一條垂直于地面并延伸到太空的電梯，又稱“太空電梯”如圖4所示.圖5中，圖線A表示地球引力對航天員產生的加速度大小與航天員距地心的距離r的關系，圖線B表示航天員相對地面靜止時而產生的向心加速度大小與r的關系.圖5中R（地球半徑），r0為已知量，地球自轉的周期為T，引力常量為G，航天員質量為m下列說法正確的有（）.

A．地球的質量為4π2r30GT2

B．當Rlt;rlt;r0 時，航天員從運載倉向外自由釋放一個小物塊，小物塊將做離心運動

C．當Rlt;rlt;r0 時，航天員受到的支持力為m（2πT）2r30r2-m（2πT）2r

D．隨著r的增大，航天員對電梯艙的彈力逐漸增大圖4太空電梯圖5加速度大小與距離關系圖像

分析由圖5可見在r0處時aA=aB，則可知此位置處便是地球同步軌道高度處，所以當航天員在r0處時，屬于問題類型二，對航天員m列式：GMmr20

=m4π2T2r0，便可求出M=4π2r30GT2，A項正確.

當航天員靜止位置在Rlt;rlt;r0時，如果他受到的萬有引力提供向心力，則轉動周期將小于地球自轉周期，就不可能在電梯里相對地球靜止，因此屬于問題類型一，對航天員m列式：GMmr2-FN=m4π2T2r，再聯立M

=4π2r30GT2便可解得宇航員受到支持力為FN=m（2πT）2r30r2-m（2πT）2r，C選項正確.航天員手中的小球自由釋放，則小球受到的萬有引力將大于向心力，小球將會做近心運動，B項錯誤.隨著r的增大，航天員對電梯艙的彈力是先減小后增大，在同步軌道r0處彈力最小為0，航天員處于完全失重狀態，D項錯誤.

3結束語

由例析可見，在學習本章內容時，教師只要著重引導學生在審題過程中選擇和區分兩大類問題，并強化兩種解題方法，學生便能豁然開朗，游刃有余地解決萬有引力與宇宙航行問題.

參考文獻：

［1］都蘋麗，胡崇春.常見的萬有引力問題的分類解析[J].數理化學習（高中版）， 2005（23）：38-41.

［2］ 唐國忠.天體運動中的雙星和多星問題探究[J].高中數理化，2024（18）：15-16.

［責任編輯：李璟］