無窮小和無窮大在放縮取點中的作用

摘要：在利用零點存在性定理取點時有時會采用放縮法，但是在眾多不等式放縮中如何選取恰當的函數是值得深思的，文章結合高等數學中無窮大量和無窮小量對其進行解釋.

關鍵詞：零點存在性定理；放縮法；無窮大量；無窮小量

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）07-0045-04

收稿日期：2024-12-05

作者簡介：韓淑敏，本科，二級教師，從事高中數學教學研究.

在解決導數零點這類問題時，若需結合零點存在性定理來說明，此時可采用放縮法將指對函數變為一次、二次等便于求零點的簡單初等函數.但在放縮時如何選取函數才能不至于放縮得過小或者過大呢？仔細探究會發現其本質內涵與高等數學中無窮大量和無窮小量有著千絲萬縷的聯系.1無窮小量和無窮大量的理解

1.1定義

無窮小量和無窮大量是一類特殊的函數，在高等數學中對其進行了如下嚴格的定義：

定義1如果函數f（x）滿足limx→x0f（x）=0（或limx→∞f（x）=0），則稱函數f（x）為當x→x0（或x→∞）時的無窮小.

定義2如果函數f（x）滿足limx→x0f（x）=∞（或limx→∞f（x）=∞），則稱函數f（x）為當x→x0（或x→∞）時的無窮大.

1.2比較及意義的理解

將兩個無窮小（大）量作商構造新函數，根據其極限的不同，可分為高階無窮小（大）、低階無窮小（大）和同階無窮小（大），這些量也反映了無窮小（大）量的變化快慢程度.

定義3[1]已知函數f（x）與g（x）是同一過程中的無窮小，且g（x）≠0.若limx→Δf（x）g（x）=α，其中Δ指代x0或∞.

（1）如果α=0，則稱f（x）是g（x）的高階無窮小.

（2）如果α=∞，則稱f（x）是g（x）的低階無窮小.

（3）如果α≠0且α≠∞，則稱f（x）是g（x）的同階無窮小.

定義4已知函數f（x）與g（x）是同一過程中的無窮大，且g（x）≠0.若limx→Δf（x）g（x）=α，其中Δ指代x0或∞.

（1）如果α=0，則稱f（x）是g（x）的低階無窮大.

（2）如果α=∞，則稱f（x）是g（x）的高階無窮大.

（3）如果α≠0且α≠∞，則稱f（x）是g（x）的同階無窮大.

f（x）是g（x）的高階無窮小（大）其意義是在當x到x0（或∞）的變化過程中從某個時刻以后f（x）比g（x）更接近于0（或∞）；

f（x）是g（x）的同階無窮小（大）其意義是在當x到x0（或∞）的變化過程中從某個時刻以后f（x）與g（x）接近于0（或∞）的程度相仿[2]，由洛必達法則可知，其之比的極限等于兩個函數的導函數的極限.

比如：limx→+∞lnxx=limx→+∞2x=0，故y=lnx是y=x的低階無窮大；limx→+∞exx2=limx→+∞ex2x=limx→+∞ex2=+∞，故y=ex是y=x2的高階無窮大.

2提出問題

當函數在區間（a，b）上有零點時可以利用零點存在性定理來說明其存在性，但問題在于滿足條件的a和b有時較難探尋，其關鍵問題在于f（x）gt;0（或lt;0）此超越不等式較難求解［3］.

例1已知函數f（x）=lnx-ax（0lt;alt;1e），求證f（x）存在兩個零點.

分析通過求導分析得f（x）在（0，1a）上單調遞增，在（1a，+∞）上單調遞減.

因f（x）max=f（1a）=ln1a-1gt;0，

且當x→0+或x→+∞時，f（x）→-∞，

故由零點存在性定理可知f（x）在（0，1a）和（1a，+∞）上分別存在一個零點.

因1agt;1且f（1）=-alt;0，可知f（x）在（1，1a）上存在一個零點，但xgt;1時lnx和ax均為正數，無法直接找出符合題意的x使f（x）=lnx-axlt;0.

3問題探究

問題1如何找出符合題意的x使f（x）=lnx-axlt;0？

此問題的關鍵在于lnx-axlt;0這個超越不等式的求解較難，那么什么樣的不等式容易求解呢？比如，一次不等式、二次不等式、簡單的指數不等式和對數不等式，那么是否可以通過放縮將超越不等式lnxlt;ax轉化為一次或二次不等式呢？由于limx→+∞lnx=+∞，limx→+∞ax=+∞，且當x達到一定程度后會實現lnxlt;ax，可考慮借助插入簡單初等函數φ（x）使得當x→+∞時lnxlt;φ（x）lt;ax，從而通過解決φ（x）lt;ax即可實現目標.

問題2什么樣的函數φ（x）是符合題意且φ（x）lt;ax不等式容易求解？

把握好放縮的尺度尤為關鍵.若放得過大或縮得過小則可能無法實現我們的目的;若x→+∞時φ（x）gt;ax則為放縮過度，則不可實現目標.如何才能放縮得恰到好處呢，為此我們進行了兩個嘗試.

嘗試1取切線放縮φ（x）=x-1，滿足了lnx≤x-1，則

f（x）=lnx-ax≤x-1-axlt;0.

得xlt;11-a.

但因（0，11-a）∩（1a，+∞）=，則f（x）=lnx-axlt;x-1-axgt;0在（1a，+∞）上恒成立.

即當x→+∞時axgt;x-1，這屬于放縮過度.

嘗試2利用切線放縮lnx≤x-1lt;x，將x代替x得lnxlt;2x.

取φ（x）=2x，則

f（x）=lnx-axlt;2x-ax=x（2-ax）lt;0.

得xgt;4a2.

因（4a2，+∞）（1a，+∞），故取x=4a2即可，滿足了當x→+∞時lnxlt;2xlt;ax.

那么在選擇φ（x）時是否有好的方法可以進行簡單提前預判呢？現來分析φ（x）=x-1和φ（x）=2x正確與否的本質內涵.

因為x→+∞時lnx，x-1，2x均為無窮大量，可探究其階之間的關系.

因limx→+∞axx-1=alt;1，limx→+∞ax2x=+∞，故ax是x-1的同階無窮大，是2x的高階無窮大，而這也符合欲使φ（x）lt;ax，那么ax需比φ（x）先到達+∞，由此可知要想實現x→+∞時φ（x）lt;ax，只需找尋ax的低階無窮大量即可.

例2已知函數f（x）=（a+1）（x+1）-aex（agt;1），求證f（x）存在兩個零點.

分析通過求導分析得f（x）在（-∞，lna+1a）上單調遞增，在（lna+1a，+∞）上單調遞減.

因f（0）=1gt;0，

limx→+∞f（x）=-∞，

limx→-∞f（x）=-∞，

則由零點存在性定理可知，f（x）存在兩個零點.

因為exgt;0，采用舍項放縮可得

f（x）=（a+1）（x+1）-aexlt;（a+1）（x+1）.

故取x=-1，可得f（-1）lt;0.

因為xgt;-1時，（a+1）（x+1），aex均為正數，且不等式f（x）lt;0不易求解，故找出x0使得f（x0）lt;0存在困難.

欲使f（x）lt;0只需（a+1）（x+1）lt;aex，

插入函數φ（x）使得（a+1）（x+1）lt;aφ（x）lt;aex即可.

嘗試1取切線放縮φ（x）=x+1，則

（a+1）（x+1）-aexlt;（a+1）（x+1）-a（x+1）

=x+1lt;0.

得xlt;-1.

但因-1（0，+∞），則放縮過度.

探其原因limx→+∞（a+1）（x+1）aφ（x）=a+1agt;1，

即（a+1）（x+1）與a（x+1）是同階無窮大.

嘗試2因為exgt;2x，取φ（x）=2x，則

（a+1）（x+1）-aexlt;（a+1）（x+1）-2ax

=（1-a）x+a+1lt;0.

得xgt;a+1a-1.

因為a+1a-1∈（0，+∞），則取x=a+1a-1即可.

探其原因limx→+∞（a+1）（x+1）aφ（x）=a+12alt;1，

即（a+1）（x+1）與2ax是同階無窮大，

但滿足x→+∞時（a+1）（x+1）lt;2axlt;aex.

嘗試3因為exgt;x2-1（xgt;0），取φ（x）=x2-1，則

（a+1）（x+1）-aexlt;（a+1）（x+1）-a（x2-1）

=（x+1）（2a+1-x）lt;0.

得xgt;2a+1.

因為2a+1∈（0，+∞），則取x=2a+1即可.

探其原因limx→+∞（a+1）（x+1）aφ（x）=0，

即（a+1）（x+1）是a（x2-1）的低階無窮大.

總結由例1和例2可知，同階無窮大有時可以實現目標，有時又不可以，但是高階或低階無窮大卻一定可以實現目標.以下將指數函數、對數函數、三角函數等準備放縮掉的函數稱為放縮函數.

（1）若f（x）與g（x）均為正無窮大量，欲找尋x0使得f（x0）-g（x0）lt;0，放縮后得f（x）lt;φ（x）lt;g（x），若g（x）為放縮函數，則需φ（x）比f（x）先到達+∞，即φ（x）是f（x）的高階無窮大即可；若f（x）為放縮函數，則需φ（x）是g（x）的低階無窮大即可.

（2）若f（x）與g（x）均為負無窮大量，欲找尋x0使得f（x0）-g（x0）lt;0，放縮后得f（x）lt;φ（x）lt;g（x），若g（x）為放縮函數，則需f（x）比φ（x）先到達-∞，即φ（x）是f（x）的低階無窮大即可；若f（x）為放縮函數，則需φ（x）是g（x）的高階無窮大即可.

若遇到無窮小量，則可類比無窮大量來解釋.

例3（2022年全國乙卷文科20改編）求證：函數f（x）=ax-1x-（a+1）lnx（0lt;alt;1）恰有1個零點.

證明定義域（0，+∞），求導得

f ′（x）=a+1x2-a+1x

=（x-1）（ax-1）x2.

因為0lt;alt;1，則f ′（x）gt;0，得xlt;1或xgt;1a；f ′（x）lt;0，得1lt;xlt;1a.

故f（x）在（0，1）和（1a，+∞）上單調遞增，在（1，1a）上單調遞減.

因為lnxlt;x，則

f（x）=ax-1x-（a+1）lnx

gt;ax-1x-（a+1）x.

當xgt;1時，1xlt;x，f（x）gt;ax-（a+2）x，當x0=（a+1a）2gt;1時，f（x0）gt;0.

因為f（1）=a-1lt;0，故由零點存在性定理可知f（x）在（0，+∞）上存在唯一一個零點.

4結束語

利用高階或低階實現放縮取點的方法能夠解決大多數含參零點問題，但在實際應用中我們會碰見非常多的放縮不等式，學生又怎么能清楚地記得這些不等式呢？所以，一些比較常用的放縮是需要學生進行記憶的.

如指數放縮：ex≥x+1gt;x；

ex≤11-x，xlt;1；

exlt;-1x，xlt;0；

ex≥12x2+x+1，x≥0；

exgt;x2，xgt;0；

對數放縮：lnx≤x+1lt;x；

lnxlt;x；

lnx≥1-1x；

lnx≥2（1-1x）；

lnxgt;-1x；

常數放縮：exgt;1，xgt;0；

exlt;1，xlt;0；

exgt;0.

而其余那些需學生理解其真正含義，從而有意義地選取或構造新的不等式，比如x→+∞時，總會有lnxlt;αxβ（αgt;0，βgt;0），exgt;αxβ（αgt;0，0lt;βlt;3），學會靈活使用一次、二次、冪函數放縮，做到心中有把握.

參考文獻：

［1］ 嵇婷.高等數學中無窮小量的相關概念解析及應用[J].安順學院學報，2024，26（02）：118-123，134.

[2] 周正岳，黃麗芹.無窮小比較的意義及其應用[J].高等數學研究，2022，25（04）：19-21.

［3］ 趙海涌.放縮取點法在討論函數零點問題中的應用［J］.高中數理化，2020（22）：13-14.

［責任編輯：李慧嬌］