基于OBE教育理念的高等概率論課程改革與創新

摘要：高等概率論作為數學統計學專業的重要課程，具有理論性強、內容抽象等特點。在教學過程中，該課程存在理論抽象難理解、教學方式單一、學生參與度低等問題。針對這些問題，文章基于OBE教育理念，從明確學習成果、優化課程體系、實施有效的教學策略、完善評價體系、持續改進與反饋五個方面進行改革與創新。

關鍵詞：OBE；高等概率論；案例

OBE（成果導向教育）是一種以學生學習成果為導向的教育理念。它強調從預期的學習結果出發，逆向設計教學過程，確保所有學生都能達到預定的學習目標。

一、明確學習成果目標

高等概率論課程（以下簡稱課程）以培養具有扎實統計學學科基礎理論和專門知識，能利用統計方法解決實際問題的高級專業人才為目標。通過課程的學習，學生可以系統地了解概率論的基本知識，掌握測度論、高等概率論相關理論中的基本方法和基本技巧，為學生深入學習隨機過程、隨機分析和數理統計等奠定基礎，并培養學生抽象思維。通過對概率論中若干重要定理的推理，學生能提高嚴謹的邏輯能力和科學精神。

二、優化課程體系

（一）引入實際案例

在教學中，教師可以適時引入與專業相關，與科技前沿、時事熱點相關的應用案例及課程思政案例，引導學生用概率論的思想、方法將其轉化為數學問題，并采用恰當的數學方法求解。

1.案例一：乘積空間上的測度與積分

在數學分析中，低維空間與高維空間的表示法、體積與積分之間的關系，以及重積分化為累次積分等問題都是非常重要。因此，討論抽象空間中的這些問題具有重要意義，即如何由“低維”可測空間及其測度構造“高維”可測空間及其測度；如何由“重積分”化“累次積分”以及如何構造任意多個概率空間的乘積概率空間的問題。

乘積空間上的測度與積分理論在數學及其他科學領域中有著廣泛的應用。例如，在統計學中，特別是多元統計分析中，經常需要處理多個變量的聯合分布，乘積空間上的測度與積分理論提供了處理這類問題的工具，有助于理解變量間的相關性和依賴性；在量子力學中，狀態空間通常是一個希爾伯特空間，而多個粒子系統的狀態位于這些空間的張量積上，因此乘積空間上的測度和積分理論對于理解與計算多粒子系統的行為至關重要。在機器學習和人工智能領域，特別是在處理多維數據或特征時，乘積空間上的測度和積分理論可以用來定義與優化模型，尤其是在貝葉斯網絡中，節點之間的概率關系可以用乘積空間上的測度來表示，從而幫助進行推理和預測。

2.案例二：Radon-Nikodym定理的證明及其應用

首先，教師直觀地介紹Radon-Nikodym定理（拉東-尼克蒂姆定理）的內容。在可測空間上，如果有一個符號測度和一個有限測度，且符號測度關于測度絕對連續，則在幾乎處處相等的意義下存在唯一的Borel可測函數（波萊爾可測函數）使之成為符號測度關于該有限測度的Radon-Nikodym導數。該定理結論中“存在性”的證明，采用“從特殊到一般”的證明思路，這種證明方法在數學定理的證明過程中特別經典，非常具有代表性。教師通過逐步分析該定理的證明思路，可以強化學生的邏輯推理能力，進而增強學生解決一般數學問題的科學思維。

Radon-Nikodym定理是測度論中的一個基本結果，它提供了兩個測度之間關系的一種描述方式。該定理雖然內容比較抽象，但在概率論、統計學、經濟學、金融數學等領域有著廣泛的應用。例如，在統計推斷中，Radon-Nikodym定理用于比較不同假設下的似然函數，尤其是在假設檢驗中，可以通過計算兩個假設下觀測數據的Radon-Nikodym導數來決定哪個假設更合理；在貝葉斯統計中，先驗分布和后驗分布之間的關系可以通過Radon-Nikodym導數來表達；在金融數學中，Radon-Nikodym定理用于定義等價鞅測度，這是無套利定價理論的核心，通過找到一個關于物理測度絕對連續的風險中性測度，可以將衍生品的價格表示為在風險中性測度下的期望值；在信息論中，Radon-Nikodym定理用于定義Kullback-Leibler散度（又稱為相對熵），這是衡量兩個概率分布之間差異的一個重要指標，而相對熵的定義涉及兩個概率測度之間的Radon-Nikodym導數。

（二）增加實踐環節

MATLAB（矩陣實驗室）、Mathematica（科學計算軟件）、Maple（數學家的軟件）并稱為三大數學軟件，在數學類科技應用軟件中在數值計算方面首屈一指。借助數學軟件，學生可以更好地理解和掌握所學內容。學生可以運用數學軟件完成關于條件概率、期望、零一律、中心極限定理、大數定律等內容的隨機數模擬，學生應用數學軟件實現隨機現象的圖像和試驗，提高動手能力和創新實踐能力；理論加實踐的教學方法在保證學生學好理論知識的同時，培養了學生運用數學軟件解決問題的興趣和能力，進而提高學生在數學建模競賽等賽事中的獲獎率。

三、實施有效的教學策略

（一）強調理論與實踐相結合

對于想繼續深造的學生，教師應加強理論深度，提供前沿的研究課題和學術討論的機會。例如，在講授條件期望相關章節時，教師可以介紹Markov過程（馬爾可夫過程）和鞅過程的定義，并用兩者的定義，判斷某些隨機過程是否具有Markov性質或鞅性質。同時，高等概率論課程中有很多定理都是以早期國外概率學家的名字命名的，如Fubini定理（富比尼定理）、Kolmogorov零一律（柯爾莫哥洛夫零一律）等，容易讓學生產生國內缺少從事概率論研究的數學家或者我國概率論研究不強的錯覺。實際上，中國在概率論及相關領域涌現了許多杰出的數學家和概率學家，他們在國際上享有很高的聲譽，并取得了許多世界一流的成就。

例如，中國科學院院士王梓坤主要從事概率論和隨機過程的研究，他在隨機過程的極限理論、隨機微分方程及隨機動力系統等方面作出了重要貢獻。王梓坤的工作在國際上得到了廣泛認可，他的研究成果被應用于多個領域，包括金融數學和生物統計學；中國科學院院士彭實戈主要從事概率論和金融數學的研究，他是中國金融數學的奠基人之一，特別是在倒向隨機微分方程（BSDE）和非線性期望理論方面作出了開創性的貢獻。彭實戈的工作在國際上得到了廣泛認可，他的研究成果對金融市場的風險管理、資產定價等領域產生了重要影響。教師可以進一步介紹我國概率學家如王梓坤院士、彭實戈院士等專家學者在Markov過程、正倒向隨機微分方程等領域內的杰出成就，激發學生繼續深造的興趣。

（二）個性化輔導

根據學生的不同職業目標，教師應開展個性化的指導。例如，對想要考公務員的學生，教師應指導他們理解如何在邏輯推理部分運用概率知識；對希望從事研究工作的學生，教師應引導他們參與科研項目；對想進入中學任職的學生，教師可以通過案例分析、實際問題解決等方法，將復雜的概率論概念簡化，并聯系到基礎教育中的數學內容。例如，高等概率論課程中涉及一些重要定理的證明，而證明思路是中學階段就學習和使用過的反證法、數學歸納法等，教師通過分析這些方法的精妙之處，可以幫助將來想從事教育行業的學生強化數學思維，進而提高教學水平。

（三）促進交流與合作學習

通過課堂討論、辯論賽或者模擬授課等活動，學生會互相學習對方的觀點和想法，同時鍛煉表達能力和團隊協作能力。例如，對可測函數序列幾種收斂之間的“強弱”關系（如圖1所示），在學生學習了“強”收斂能推出“弱”收斂的證明之后，教師可以引導學生獨立思考或小組討論：為什么“弱”收斂不能推出“強”收斂，且給出“弱”收斂不能推出“強”收斂的例子，最后讓學生講出相關反例。

（四）利用技術輔助教學

教師使用在線資源如視頻講座、虛擬實驗室等工具來豐富課程內容，使抽象的概率論概念更加直觀易懂。例如，利用學習通，建立線上課程，教師可以在章節內發布速課視頻，在資料文件夾中分享課件和相關領域的前沿問題的學術論文，還可以鼓勵學生在班級空間內暢所欲言，方便學生隨時提問和分享資料。

四、完善評價體系

目前單一的期末閉卷考核已經不能充分反映學生對課程內容的掌握程度，所以教師要優化考核方式，將章節測試、課堂報告和小論文等環節納入平時作業的考核內容，并按照平時作業15%+課堂表現10%+章節測試15%+期末考試60%的分配額度進行考核，考試實行考教分離制度，試題的選取要求易、中、難的比例為3∶5∶2，這樣的考核制度能更好地檢驗學生對理論知識的理解能力和證明計算能力，實現課程知識目標、能力目標和育人目標的結合，提高人才培養質量。

五、持續改進與反饋

教師收集來自學生和其他同行教師聽課的反饋，并且定期審查課程的有效性，并根據學生和同行教師的意見和建議做出必要的調整。在師生互動方面，教師堅持開放式交流，創建一個積極互動的學習環境。教師扮演引導者的角色，幫助學生識別他們的優勢領域，從而更有效地達成學習成果。例如，中國礦業大學（北京）每學期都會有督導組專家教師進課堂聽課，課后專家會針對課堂師生表現給出具體的意見和建議。根據這些寶貴的意見和建議，教師認真反思和重構教學環節，不斷優化教學策略，提高學生在課堂內外的學習效率。此外，教師應堅持參加科研、教學活動，保持課程內容與時俱進。

綜上所述，基于OBE教育理念，在高等概率論的教學過程中，教師可以創造一個更加以學生為中心、注重實效的教學環境，不僅能提高教學質量，也能更好地滿足學生未來職業生涯的需求。

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基金項目：中國礦業大學（北京）2024年研究生教育教學改革項目“高等概率論課程的改革與創新探究”，項目編號：YJG2024018。