系統(tǒng)思維化繁為簡 提升思考力

摘"要：組合圖形是多要素、多層次共同作用的一個(gè)系統(tǒng)，需嵌入整體性和結(jié)構(gòu)性思維，以進(jìn)行系統(tǒng)建構(gòu)、路徑優(yōu)化、化繁為簡和破解難點(diǎn)，從而在解決問題的過程中體會(huì)轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

關(guān)鍵詞：系統(tǒng)思維；組合圖形；離心率；數(shù)形結(jié)合

問題解決是數(shù)學(xué)教育和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，在圓錐曲線中，求離心率的值（范圍）是常考查的問題.通過高三的一輪復(fù)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)知道離心率的計(jì)算路徑.

常見條件有曲線的基本量、曲線上的點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程、第三定義、中點(diǎn)弦、焦點(diǎn)弦長等，一類側(cè)重代數(shù)計(jì)算，另一類側(cè)重幾何特性，常以組合圖形的方式呈現(xiàn)，學(xué)生對于后者特別是組合圖形的處理上常有困難.^［1］問題解決的關(guān)鍵在于依托系統(tǒng)思維對幾何性質(zhì)和圖形結(jié)構(gòu)的理解和轉(zhuǎn)化.因此，本文整合圖形構(gòu)成要素，設(shè)置了系統(tǒng)性題組化訓(xùn)練及推廣探究活動(dòng).

1"典例分析

例1"如圖1所示，橢圓C₁與雙曲線C₂有公共焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，M為C₁與C₂的一個(gè)交點(diǎn)，MF₁⊥MF₂，橢圓C₁的離心率為e₁，雙曲線C₂的離心率為e₂，若e₂=2e₁，則e₁="""".

思路探尋：組合圖中，關(guān)鍵幾何對象△MF₁F₂既是橢圓的焦點(diǎn)三角形，也是雙曲線的焦點(diǎn)三角形且為直角三角形，而目標(biāo)任務(wù)是建立數(shù)量關(guān)系，解決問題的路徑有：①橢圓和雙曲線的定義與勾股定理合用；②利用焦點(diǎn)三角形的面積公式建立數(shù)量關(guān)系.

解法1： 由橢圓定義｜MF₁｜+｜MF₂｜=2a₁，由雙曲線定義｜MF₁｜-｜MF₂｜=2a₂，則｜MF₁｜=a₁+a₂，｜MF₂｜=a₁-a₂.在Rt△MF₁F₂中，｜MF₁｜²+｜MF₂｜²=｜F₁F₂｜²，則（a₁+a₂）²+（a₁-a₂）²=4c²①，即a²₁+a²₂=2c².由e=ca，得1e²₁+1e²₂=2.又e₂=2e₁，故e₁=104.

解法2： 由e₂=2e₁，得a₁=2a₂.代入①中，得c=104a₁，故e₁=104.

解法3： S△MF₁F₂=b²₁tan45°=b²₂tan45°，即b²₁=b²₂，則a²₁-c²=c²-a²₂，得e₁=104.

探究活動(dòng)：其他條件不變，MF₁⊥MF₂改為MF₁、MF₂夾角為θ，求離心率e₁、e₂的數(shù)量關(guān)系.（答案：tan²θ2e²₁+1e²₂=1+tan²θ2）

變式"在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C₁與雙曲線C₂共焦點(diǎn)，雙曲線C₂實(shí)軸的兩個(gè)頂點(diǎn)將橢圓C₁的長軸三等分，兩曲線的交點(diǎn)與兩焦點(diǎn)共圓，則雙曲線C₂的離心率為"""".

思路探尋：關(guān)鍵點(diǎn)在于條件“兩曲線的交點(diǎn)與兩焦點(diǎn)共圓”的理解和轉(zhuǎn)化，由圓的定義和直角三角形的性質(zhì)得該條件等價(jià)于原題的“M為C₁與C₂的一個(gè)交點(diǎn)，MF₁⊥MF₂”，又a₁=3a₂，按原題的方法，易得e₂=5.

探究活動(dòng)：雙曲線C₂實(shí)軸的兩個(gè)頂點(diǎn)將橢圓C₁的長軸三等分變?yōu)閍₁=λa₂（λgt;1），其他條件與問題不變.（答案：e₂=λ²+12）

例2"如圖2所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C₁： x²a²₁+y²b²₁=1 （a₁gt;b₁gt;0）與雙曲

線C₂： x²a²₂-y²b²₂=1 （a₂gt;0，b₂gt;0）有相同的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，C₂的漸近線分別交C₁

于A，C和B，D四點(diǎn)，若多邊形ABF₂CDF₁為正六邊形，則C₁與C₂的離心

率之和為（""）.

A. 3-1"""B. 2

C. 3+1D. 23

思路探尋：圖中幾何對象繁雜，關(guān)鍵在正六邊形的結(jié)構(gòu)特征，可以采用分而治之的策略.雙曲線的離心率與漸近線有關(guān)聯(lián)，e₂=1+b₂a₂²=1+k²_漸，而k_漸=tanθ，由正六邊形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)知△BOF₂是正三角形，故e₂=2.橢圓里連接BF₁構(gòu)造關(guān)鍵對象焦點(diǎn)三角形，再由正六邊形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)知三邊比值為1∶3∶2，由橢圓定義e₁=ca₁=2c2a₁=｜F₁F₂｜｜BF₁｜+｜BF₂｜=21+3=3-1，故選C.

評注：本題巧妙地以正六邊形為載體把兩個(gè)小問題合二為一，造成幾何對象繁雜，在明確求e的路徑前提下，采取橢圓與雙曲線分而治之的策略，再結(jié)合正六邊形的結(jié)構(gòu)特征即可解決.

變式"若多邊形ABF₂CDF₁為正六邊形變?yōu)槿羲倪呅蜛BF₂O為菱形，其他條件與問題不變.

思路探尋：據(jù)菱形和圖形的對稱性知該條件與多邊形ABF₂CDF₁為正六邊形等價(jià).

探究活動(dòng)：若多邊形ABF₂CDF₁為正六邊形變?yōu)槿鬉，B，F(xiàn)₂，C，D，F(xiàn)₁六點(diǎn)共圓且直線BD的傾斜角為θ，其他條件與問題不變.答案：C₁的離心率e₁=12sin（θ2+π4），C₂的離心率e₂=1+tan²θ

例3"如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線C：x²a²-y²b²＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F₁的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)T在x軸上，滿足BT=3AF₂，且BF₂經(jīng)過△BF₁T的內(nèi)切圓圓心，則雙曲線C的離心率為（""）.

A. 3

B. 2

C. 7

D. 13

探究活動(dòng)：其他條件及問題不變，BT=3AF₂變?yōu)锽T=λAF₂（λgt;1）.

思路探尋：組合圖中包含兩個(gè)焦點(diǎn)三角形和平行相似三角形，需聯(lián)合解三角形知識及常見幾何模型.

△AF₁F₂中，設(shè)AF₂=t，AF₁=t-2a，

BT=λAF₂（λgt;1）.

｜BT｜=λt，｜F₂T｜=2（λ-1）c，｜BF₁｜=λ（t-2a）.

由內(nèi)角平分線定理得

BF₁=λλ-1t.

在△BF₁F₂，△AF₁F₂中，分別利用余弦定理表示cos∠BF₁F₂，

從而得到a，c的倍數(shù)關(guān)系，即e=ca=λ²+λ+2λ²-3λ+2.

練習(xí)"已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線C：x²a²-y²b²＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過F₁的直線l與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，且F₁N＝3F₁M，F(xiàn)₂M＝F₂N，則C的離心率為（""）.

A. 2

B. 5

C. 7

D. 3

2"教學(xué)思考

2.1"解析幾何的教育價(jià)值

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2022年修訂）》強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).在教學(xué)中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾（H.Freudenthal）在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》中指出，在認(rèn)識現(xiàn)實(shí)世界與聯(lián)系實(shí)際、使現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)化方面，幾何的作用是無法被替代的，數(shù)和形都是現(xiàn)實(shí)世界的反映.平面解析幾何正是數(shù)和形的絕妙結(jié)合體，是從數(shù)學(xué)學(xué)科層面體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).學(xué)習(xí)過程中采用的數(shù)學(xué)思維方法及針對問題采取行之有效的解決問題的策略不僅鍛煉學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題的能力，更是提升思考力的強(qiáng)有力素材.解析幾何，在國家層面是高考選拔人才的重要內(nèi)容載體；在人的發(fā)展層面是學(xué)生終身發(fā)展、優(yōu)化提升思考力的素材.

2.2"學(xué)生學(xué)習(xí)的困難之處

解析幾何中的圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，是代數(shù)和幾何結(jié)合的重要載體，在高考試題中常放在壓軸的位置，具備一定的綜合性.圓錐曲線在知識上考查其基本定義、圖形性質(zhì)、曲線方程，還會(huì)融合平面幾何、函數(shù)、向量等知識；在思想方法上融合了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等；在操作上對閱讀理解、數(shù)學(xué)運(yùn)算要求頗高，因此學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線的困難系數(shù)較大，畏難情緒也頗大.

2.3"教師的可行路徑

在運(yùn)算上，教師要加強(qiáng)基礎(chǔ)訓(xùn)練和算法技巧指導(dǎo)，讓學(xué)生樹立運(yùn)算信心.在思維上，引導(dǎo)學(xué)生爭取“多想一點(diǎn)，少算一點(diǎn)”，重視思維過程，優(yōu)化計(jì)算路徑，突破運(yùn)算難關(guān)，如巧用定義、“設(shè)而不求”在點(diǎn)差法的計(jì)算策略、運(yùn)用韋達(dá)定理整體代換、轉(zhuǎn)化已知條件、利用平面圖形的基本性質(zhì)等.

2.4"實(shí)踐總結(jié)

本文研究的是圓錐曲線常考的一類問題，即求離心率，試圖找尋出簡潔且高效的解決方法，以緩和學(xué)習(xí)過程中投入大、收獲小、得分低的局面，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，疏解畏難等負(fù)面情緒.首先引導(dǎo)學(xué)生明確解決目標(biāo)任務(wù)的路徑，再以整體和分解的雙重眼光把握組合圖形，最后聯(lián)合圓錐曲線和平面多邊形知識達(dá)成目標(biāo)，并進(jìn)一步把結(jié)論拓展到一般情形，在解決問題的過程中提高學(xué)生的思考力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

［1］章建躍.利用幾何圖形建立直觀通過代數(shù)運(yùn)算刻畫規(guī)律——解析幾何內(nèi)容分析與教學(xué)思考（之二）［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2021（8）：1-10+26.