新高考背景下高中數學綜合題解題思維構建

摘"要：新高考數學綜合題呈現出情境多樣化、知識綜合性、思維開放性等特點.為解決學生在解題過程中常見的思維盲區和解題障礙，需提出系統的解題思維構建方案.“讀、析、解、驗”解題模型的建立，可以引導學生形成規范的解題習慣；運用數形結合與多元轉化思維，可以提升解題的靈活性，從而有效提升學生的數學核心素養和解題能力.

關鍵詞：新高考；高中數學；綜合題

江蘇新高考提出了“3+1+2”的模式，其中“3”為必選科，包括了數學、語文和外語.由此可見新模式仍把數學作為最基礎、最重要的考核科目.新模式更加強調考試的綜合性與實踐性，以往通過刷題完成復習的方法不再適用，而以減輕學生高考壓力、培養學生核心素養為基礎，測試出學生的真實水平，讓學生獲得更加多樣的選擇和寬廣的發展空間的做法，才是新高考改革的目的.在教學實踐中發現，不少學生面對綜合題時往往無從下手，或是解題思路零散，缺乏系統性思維方法.^［1］基于這一現狀，如何幫助學生構建科學有效的解題思維體系，成為當前亟須解決的問題.本文立足教學實踐，從綜合題的特點分析入手，探討在新高考背景下解題思維構建的現實意義，進而提出具體可行的思維構建策略，旨在為一線教師提供教學參考，幫助學生更好地應對數學綜合題的挑戰.

1"高中數學綜合題的特點分析

在新高考改革深入推進的背景下，高中數學綜合題的命制更加注重對學生數學核心素養的考查，基于對2023年新高考數學I、II卷的深入分析，可以發現綜合題在知識覆蓋面、思維深度等方面都展現出新的特點，這些變化既體現了考試評價的改革方向，也對數學教學提出了更高要求.^［2］

知識關聯性強化：綜合題不再是單一知識點的簡單應用，而是多個知識模塊的深度融合.以2023年新高考數學Ⅱ卷第21題為例，該題將拋物線、矩形、不等式證明等知識點巧妙結合，要求學生在解題過程中靈活調用多個章節的核心知識.尤其在第（2）問中，需要綜合運用向量、三角函數、導數等多個知識，進行證明，體現了知識間的緊密聯系.

思維層次遞進性：試題設計呈現明顯的層次遞進特征.以2023年新高考數學I卷第21題概率題為例，從第（1）問求具體概率值到第（2）問尋找概率遞推規律，再到第（3）問引入隨機變量的數學期望，體現了由具體到抽象、由簡單到復雜的思維深化過程.這種遞進性不僅考查學生的知識積累，更強調其數學思維的連貫性和邏輯性.

2"新高考背景下構建數學綜合題解題思維的現實意義

2.1"適應新高考改革對數學核心素養的要求

新高考改革明確提出了“數學抽象”“邏輯推理”“數學建模”“直觀想象”等數學核心素養的培養要求.基于深層次能力的要求，教師必須重新思考解題思維的構建方式.通過分析發現，傳統的“解題套路”已難以適應新題型的要求，只有幫助學生構建系統的數學思維體系，才能真正提升其解決復雜問題的能力.特別是在處理概念轉化、命題證明等問題時，學生需要具備清晰的思維邏輯和準確的數學語言表達能力，這正是數學核心素養的具體體現.

2.2"提升學生數學建模與實踐應用能力

數學建模能力的培養已成為新高考的重要目標之一，要求學生具備將實際問題轉化為數學問題的能力，能夠準確把握問題的本質.解題思維的構建應當注重培養學生分析問題的嚴謹性，幫助學生構建從實際問題到數學模型的轉化思路和能力，包括提取有效信息的能力、建立數學模型的能力、選擇解決方法的能力以及結果解釋的能力.這種思維能力的培養不僅能夠幫助學生解題，更重要的是能夠培養學生用數學思維分析和解決問題的習慣，為今后應對各類實際問題奠定方法論基礎.

3"數學綜合題解題思維的構建策略

3.1"構建“讀、析、解、驗”的解題模型

教師應幫助學生構建“讀、析、解、驗”的解題模型.“讀”強調對題目的全面理解，不僅要讀懂表層文字，更要理解數學符號、條件之間的關聯；“析”注重分析問題的切入點，需要將復雜問題分解成若干個已知的基本問題；“解”重視解題過程的邏輯性和嚴密性；“驗”則通過回代或其他方法驗證結果的合理性.以下通過一道具體例題，展示這一解題模型在實際解題中的應用.

例題"（2023年新高考數學Ⅱ卷第17題）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC面積為3，D為BC的中點，且AD=1.

（1）若∠ADC=π3，求tanB.

（2）若b²+c²=8，求b，c.

分析：第（1）問方法1，利用三角形面積公式求出a，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面積公式求出a，作出BC邊上的高，利用直角三角形求解作答.

第（2）問方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面積公式求出∠ADC即可求解作答；方法2，利用向量運算律建立關系求出a，再利用三角形面積公式求出∠ADC即可求解作答.

解析：（1）方法1.在△ABC中，因為D為BC中點，∠ADC=π3，AD=1，

則S△ADC=12AD·DC·sin∠ADC=12×1×12a×32=38a=12S△ABC=32，

解得a=4.

在△ABD中，∠ADB=2π3，由余弦定理得c²=BD²+AD²-2BD·ADcos∠ADB，

即c²=4+1-2×2×1×-12=7，解得c=7，則cosB=7+4-127×2=5714，

sinB=1-cos²B=1-5714²=2114，

所以tanB=sinBcosB=35.

方法2.在△ABC中，因為D為BC中點，∠ADC=π3，AD=1，

則S△ADC=12AD·DCsin∠ADC=12×1×12a×32=38a=12S△ABC=32，

解得a=4.

在△ACD中，由余弦定理得b²=CD²+AD²-2CD·ADcos∠ADB，

即b²=4+1-2×2×1×12=3，解得b=3，有AC²+AD²=4=CD²，

則∠CAD=π2，C=π6，過A作AE⊥BC于點E（如圖1），于是

CE=ACcosC=32，AE=ACsinC=32，BE=52，

所以tanB=AEBE=35.

（2）方法1.在△ABD與△ACD中，由余弦定理得c²=14a²+1-2×12a×1×cos（π-∠ADC），

b²=14a²+1-2×12a×1×cos∠ADC，

整理得12a²+2=b²+c²，而b²+c²=8，則a=23.

又S△ADC=12×3×1×sin∠ADC=32，解得sin∠ADC=1，而0lt;∠ADClt;π，

于是∠ADC=π2，

所以b=c=AD²+CD²=2.

方法2.在△ABC中，因為D為BC中點，則2AD=AB+AC，又CB=AB-AC，

于是4AD²+CB²=（AB+AC）²+（AB-AC）²=2（b²+c²）=16，即4+a²=16，解得a=23.

又S△ADC=12×3×1×sin∠ADC=32，解得sin∠ADC=1，而0lt;∠ADClt;π，

于是∠ADC=π2，

所以b=c=AD²+CD²=2.

從這個例題的解答過程可以清晰地看到“讀、析、解、驗”模型的實際運用：讀題階段準確理解三角形的面積、角度等條件；分析階段通過作圖將問題分解為求解三角函數值和邊長的子問題；解題階段運用三角形面積公式和余弦定理進行嚴密推導；最后通過兩種不同解法相互印證，確保結果正確.這種系統的思維方式不僅確保了解題的準確性，也培養了學生嚴謹的數學思維習慣.

3.2"培養數形結合與多元轉化思維

數形結合與多元轉化思維是解決復雜數學問題的重要方法.數形結合強調將抽象的數學關系通過圖形直觀展現，多元轉化則注重在不同數學表達方式間靈活轉換.這種思維方式不僅能幫助學生厘清問題的本質，還能開拓學生的解題思路.

例題"（2023年新高考數學Ⅱ卷第21題）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為-25，0，離心率為5.

（1）求C的方程.

（2）記C的左、右頂點分別為A₁，A₂，過點（-4，0）的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線MA₁與NA₂交于點P.證明點P在定直線上.

分析：第（1）問由題意求得a，b的值即可確定雙曲線方程.

第（2）問設出直線方程，與雙曲線方程聯立，然后由點的坐標分別寫出直線MA₁與NA₂的方程，聯立直線方程，消去y，結合韋達定理計算可得x+2x-2=-13，即交點的橫坐標為定值，據此可證得點P在定直線x=-1上.

解析：（1）

設雙曲線C的方程為x²a²-y²b²=1（agt;0，bgt;0），由焦點坐標可知c=25，

則由e=ca=5得a=2，b=c²-a²=4，

則雙曲線C的方程為x²4-y²16=1.

（2）

由第（1）問可得A₁（-2，0），A₂（2，0），設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）.

顯然直線的斜率不為0，所以設直線MN的方程為x=my-4（如圖2），

與x²4-y²16=1聯立并消去x可得（4m²-1）y²-32my+48=0，且Δ=64×（4m²+3）gt;0，

則y₁+y₂=32m4m²-1，y₁y₂=484m²-1.

直線MA₁的方程為y=y₁x₁+2（x+2），直線NA₂的方程為y=y₂x₂-2（x-2），

聯立直線MA₁與直線NA₂的方程并消去y可得

x+2x-2=y₂（x₁+2）y₁（x₂-2）=y₂（my₁-2）y₁（my₂-6）=my₁y₂-2（y₁+y₂）+2y₁my₁y₂-6y₁

=m·484m²-1-2·32m4m²-1+2y₁m×484m²-1-6y₁=-16m4m²-1+2y₁48m4m²-1-6y₁=-13，

由x+2x-2=-13，得x=-1，即x_P=-1.

綜上，點P在定直線x=-1上運動.

通過這道例題的解答過程可以清楚地看到數形結合與多元轉化思維的優勢.在處理雙曲線方程時，通過圖象輔助分析點的位置關系，使抽象的代數運算更加直觀；在求解交點坐標時，靈活運用參數方程和直線方程的轉化，簡化了計算過程.這種思維方式提供了清晰的解題思路，同時體現了數學概念在不同表達形式之間的內在聯系.最重要的是，這種思維訓練有助于培養學生多角度分析問題的能力.

4"結語

高中數學綜合題解題思維的構建是一個系統工程，需要在教學實踐中不斷探索和完善.通過“讀、析、解、驗”模型的應用、數形結合與多元轉化思維的培養，以及遷移類比與綜合歸納方法的訓練，能夠幫助學生形成清晰的解題思路和嚴謹的邏輯推理能力.這些思維方法的掌握有助于學生應對高考數學綜合題，更重要的是培養了學生分析問題、解決問題的核心能力，為今后的學習和發展奠定了堅實基礎.

參考文獻

［1］ 房崇輝.新高考背景下高中數學教學中核心素養培養策略探究［J］.高考，2024（35）：6-8.

［2］ 趙澤林.新高考背景下的高中數學個性化教學研究［J］.數理天地（高中版），2024（21）：91-93.