巧思維技巧突破，妙應用規律總結

摘"要：圓錐曲線中的最值（或范圍）問題一直是高考數學命題的核心考點之一，能深刻檢驗學生的數學知識掌握程度與解題能力，具有較好的選拔性與區分度.本文聚焦于一道圓錐曲線解答題，通過巧妙解析該題中對應三角形面積的最值求解過程，系統地總結解題規律，提煉技巧策略，以期為數學教學實踐提供有力指導與方向引領．

關鍵詞：拋物線；橢圓；切線；三角形；面積

最值及取值范圍問題在高考中始終占據重要地位，尤其當這類問題融入圓錐曲線內容時，更成為命題者偏愛的經典題型.^［1］通過巧妙設定各種元素的最值確定或取值范圍求解等情境，不僅考驗學生的邏輯推理與數學運算能力，還深度融合了函數與方程、不等式、函數與導數等多方面的數學知識與技能，全面考查并強化學生的數學“四基”.^［2］此類題目因其知識覆蓋面廣、解題技巧靈活多變、數學思維與應用性強等特點，備受各方青睞，成為有效區分與選拔優秀人才的重要工具．

1"問題呈現

（山東名校考試聯盟2024年高考模擬考試第18題）在平面直角坐標系xOy中，直線l與拋物線W：x²=2y相切于點P，且與橢圓C：x²2+y²=1交于A，B兩點．

（1）當P的坐標為（2，2）時，求｜AB｜.

（2）若點G滿足GO+GA+GB=0，求△GAB面積的最大值．

分析：本題巧妙構建了拋物線與橢圓的綜合情境，第一小問通過確定拋物線上的切點及其切線方程，再結合該切線方程與橢圓的交點情況求解弦長，這一過程既考查了基礎知識，又鍛煉了邏輯推理，難度適中；第二小問則進一步提升了難度，利用平面向量的線性關系式來求解對應三角形面積的最值，為一些能力較好的學生提供了展現與區分的舞臺.兩個問題的層次設置合理巧妙，由淺入深，具有較好的區分度與選拔性，是一道非常優秀的高考模擬題．

2"問題破解

解析：（1）由于y′=x，過點P（2，2）的切線l的方程為y-2=2（x-2），即y=2x-2，聯立橢圓方程x²2+y²=1可得9x²-16x+6=0．

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=169，x₁x₂=23．

｜AB｜=1+2²｜x₁-x₂｜=5·（x₁+x₂）²-4x₁x₂=1029．

（2）方法1：坐標公式+二次函數法1．

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意知，切線l的斜率存在，設切線l的方程為y=kx+b，與拋物線方程x²=2y聯立，可得x²-2kx-2b=0．

此時Δ=4k²+8b=0，即k²=-2b．

聯立y=kx+b，

x²2+y²=1，可得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0．

由韋達定理得

x₁+x₂=-4kb1+2k²，x₁x₂=2b²-21+2k².

此時Δ=16k²b²-8（b²-1）（1+2k²）=8（1-4b-b²）gt;0，

則-2-5lt;blt;-2+5，則1-4bgt;0．

S△OAB=12｜x₁y₂-x₂y₁｜=12｜b｜｜x₁-x₂｜=12｜b｜16k²b²（1+2k²）²-8（b²-1）1+2k²

=2·｜b｜1-4b-b²1-4b=2·1b²-4b-11b²-4b．

不妨令1b²-4b=tgt;0，所以

S△OAB=2·t-1t=2·1t-1t²=2-1t-12²+14≤22，

當且僅當t=2，即b=-1-62時，等號成立．

此時，滿足Δ=8（1-4b-b²）gt;0成立，所以S△OAB的最大值為22．

又GO+GA+GB=0，所以G為△OAB的重心，可得S△GAB=13S△OAB，則△GAB面積的最大值為26．

方法2：坐標公式+二次函數法2．

同方法1，得

S△OAB=12｜x₁y₂-x₂y₁｜=12｜b｜·｜x₁-x₂｜=12｜b｜16k²b²（1+2k²）²-8（b²-1）1+2k²

=2·｜b｜1-4b-b²1-4b=2·b²（1-4b-b²）（1-4b）²．

令1-4b=tgt;0，所以

S△OAB=2·（1-t）²16t-（1-t）²16t²=216（t²-2t+1）（18t-t²-1）t²

=216t+1t-218-t-1t．

令u=t+1t，則S△OAB=216

·

（u-2）（18-u）=216·-（u-10）²+64≤22，

當且僅當u=10，即0gt;b=-1-62gt;-2-5時，等號成立，所以S△OAB的最大值為22．

又GO+GA+GB=0，所以G為△OAB的重心，可得S△GAB=13S△OAB，則△GAB面積的最大值為26．

方法3：距離公式+基本不等式法．

同方法1，得

｜AB｜=1+k²｜x₁-x₂｜，O到直線l的距離d=｜b｜1+k²．

S△OAB=12d｜AB｜=12｜b｜1+k²1+k²·｜x₁-x₂｜=12｜b｜｜x₁-x₂｜

=12｜b｜·16k²b²（1+2k²）²-8（b²-1）1+2k²=12b²（16k²-8b²+8）（2k²+1）²

=2b²（1-4b-b²）（1-4b）²=2b²1-4b1-b²1-4b．

因為Δ=8（1-4b-b²）gt;0，所以b²lt;1-4b，0lt;b²1-4blt;1，利用基本不等式，可得

S△OAB=2·b²1-4b1-b²1-4b≤2b²1-4b+1-b²1-4b2=22，當且僅當b²1-4b=1-b²1-4b，即b=-1-62時，等號成立．

代入Δ=16k²b²-8（b²-1）（1+2k²）=8（1-4b-b²）gt;0成立，所以S△OAB的最大值為22．

又GO+GA+GB=0，所以G為△OAB的重心，可得S△GAB=13S△OAB，則△GAB面積的最大值為26．

方法4：距離公式+二次函數法．

設Pm，m²2，此時切線l的方程為y-m²2=m·（x-m），即y=mx-m²2，與橢圓方程x²2+y²=1聯立，得（4m²+2）x²-4m³x+m⁴-4=0．

于是Δ=（-4m³）²-4（4m²+2）（m⁴-4）=-8（m⁴-8m²-4）gt;0．

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達定理可知x₁+x₂=4m³4m²+2，x₁x₂=m⁴-44m²+2.于是

｜AB｜=1+m²·｜x₁-x₂｜=1+m²（x₁+x₂）²-4x₁x₂

=22·1+m²-m⁴+8m²+44m²+2．

又點O到直線AB的距離d=m²21+m²=m²21+m²．

因為GO+GA+GB=0，則G為△OAB的重心，所以

S△GAB=13S△OAB=16｜AB｜d=26·m²-m⁴+8m²+44m²+2=26·-1+8m²+4m⁴4m²+2m⁴．

令u=4m²+2m⁴gt;0，則

S△GAB=26·-1+2uu=26·-1u²+2u=26·-1u-1²+1≤26，

當且僅當u=4m²+2m⁴=1，即m²=2+6時，等號成立．

故△GAB面積的最大值為26．

總評：根據題中平面向量的線性關系式，確定G為△OAB的重心，從而建立△GAB與△OAB面積之間的關系，這是解決問題的一個基本落腳點.對于△OAB面積的求解，可以靈活選擇策略，既可以運用三角形面積的坐標公式，也可采用三角形面積的距離公式.通過構建包含參數的面積表達式，結合整體思維，巧妙地運用換元法，或是借助二次函數圖象與性質的探討，亦或是通過基本不等式的縮放技巧，來精確求解面積的最值.這一系列的思維過程催生了多種解題策略與技巧，展現了數學解題的多樣性和靈活性．

3"規律總結

上述內容的實質在于探討直線l與橢圓相交情境下，兩交點與坐標原點共同構成的三角形面積的最值問題.通過深入剖析與廣泛拓展，不僅能找到求解此類問題的有效方法，還能進一步歸納總結出一系列具有普遍意義的結論，為相關領域的研究提供有力支持．

結論1.

若直線l：x=my+t與橢圓C：x²a²+y²b²=1（agt;bgt;0）交于A，B兩點.

（1）當t²gt;a²2時，當且僅當a²+b²m²=2t²時，△OAB面積的最大值為ab2.

（2）當t²≤a²2時，當且僅當a²+b²m²=2t²，且m=0時，△OAB面積的最大值為b｜t｜a²-t²a．

結論2.

若直線l：x=my+t（t為常數，且｜t｜gt;a）與雙曲線C：x²a²－y²b²=1（agt;0，bgt;0）交于A，B兩點，則當m=0時，△OAB面積的最小值為b｜t｜t²-a²a．

結論3.

若直線l：x=my+t（t為常數，且tgt;0）與拋物線C：y²=2px（pgt;0）交于A，B兩點，則當m=0時，△OAB面積的最小值為｜t｜2pt．

4"結語

圓錐曲線中的最值（或取值范圍）問題巧妙地融合了解析幾何、函數與方程、不等式、平面幾何以及函數與導數的應用等多方面的知識，展現出強大的綜合性和廣泛的應用性.在解題與應用實踐中，關鍵在于深刻挖掘題目條件與實質，靈活運用多種視角和方法，通過合理把握參數范圍、巧妙運用基本不等式、借助函數單調性分析、結合平面幾何圖形的直觀性質，或多方法綜合，有效求解并突破圓錐曲線中的最值（或取值范圍）問題，提升學生數學能力，培養學生數學核心素養．

參考文獻

［1］周遠方.在伸縮變換下，讓圓與橢圓相伴互生——2012年高考數學湖北卷解析幾何解答題探究［J］.數學通報，2012（9）：35-40+53．

［2］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020．