解析視角合理設元，幾何視角直觀想象

摘"要：涉及直線與圓錐曲線的位置關系及其綜合應用的問題，特別是其中的相交或相切問題，設計形式新穎，一直是高考命題中的一個創新應用熱點.因此，本文結合一道直線與拋物線的相交、相切問題，從解析視角與幾何視角來切入，合理剖析與應用，歸納總結解題技巧與策略，總結一般性結論與變式拓展，旨在引領并指導數學教學與解題研究．

關鍵詞：拋物線；直線；切線；平行；坐標

在解析幾何模塊知識中，涉及直線與圓錐曲線的位置關系及其綜合應用的問題，設計形式多樣、新穎，一直是高考命題中的一個基本考點，也是全面體現考生“四基”與“四能”的一個重要場所.其中涉及直線與圓錐曲線的相交或相切問題，內涵豐富，背景創新，是圓錐曲線知識模塊中綜合考查的一個基本點，變化多端，形式多變，備受各方關注．

1"問題呈現

（2024年安徽省示范高中皖北協作區高三聯考數學試卷第14題）已知拋物線C：y²=4x的焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點.過A作C的切線m及平行于x軸的直線m′，過F作平行于m的直線交m′于M，過B作C的切線n及平行于x軸的直線n′，過F作平行于n的直線交n′于N.若|AM|－|BN|=83，則點A的橫坐標為""""．

分析：此題以拋物線為載體，結合直線與拋物線的位置關系、拋物線的焦點弦以及線段的長度關系等設置，進而確定對應定點的坐標問題．

在實際解決問題中，可以從平面解析幾何的基本知識切入，利用設線思維與設點思維來轉化與應用；也可以從平面幾何的直觀形象切入，利用幾何思維來直觀分析與邏輯推理等.這是解決此類問題中比較常見的一些基本技巧與方法．

2"問題破解

2.1"設線思維

方法1：設線法1.

由題易知直線l的斜率存在且不為0，設直線l的方程為y=k（x－1）（k≠0），代入拋物線C：y²=4x，整理可得k²x²－2（k²+2）x+k²=0．

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x₁gt;0，x₂gt;0，x₁x₂=1①.

不妨設點A在x軸上方，由于y=2x¹²"，則有y′=1x．

結合導數的幾何意義知直線m的斜率為y′|x=x₁=1x₁，所以直線m的方程為y－2x¹²₁=1x₁（x－x₁），此時直線m與x軸的交點是A′（－x₁，0），所以|A′F|=|AM|=x₁+1．

同理可得直線n與x軸的交點是B′（－x₂，0），所以|B′F|=|BN|=x₂+1．

由于|AM|－|BN|=83，則有x₁－x₂=83②.

聯立①和②，解得x₁=3，x₂=13，所以點A的橫坐標為3，故填答案3．

方法2：設線法2.

設直線l的方程為x=sy+1，代入拋物線C：y²=4x，整理可得y²－4sy－4=0．

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有y₁y₂=－4①.

設過點A的切線m與x軸交于點A′，過點B的切線n與x軸交于點B′，則有|A′F|=|AM|，|B′F|=|BN|．

過點A的切線m的方程為y₁y=2x+2x₁，此時直線m與x軸的交點是A′（－x₁，0），同時可得直線n與x軸的交點是B′（－x₂，0），

所以|AM|－|BN|=|A′F|－|B′F|=（x₁+1）－（x₂+1）=x₁－x₂=83，即y²₁4－y²₂4=83②.

聯立①和②，消參并整理可得（3y²₁+4）（y²₁－12）=0，則有y²₁=12，可得x₁=3，

所以點A的橫坐標為3，故填答案3．

點評：根據題設條件進行合理設線，可以非常有效地解決涉及直線與圓錐曲線的位置關系及其綜合應用問題.設線法可以借助直線的斜率、定點等元素加以應用，設置與題設相關的直線方程，給問題的進一步分析與求解提供條件.以上兩種方法中的設線思維，先利用直線方程的設置，然后與拋物線方程聯立，合理構建關于坐標的關系式，最后聯立方程組來分析與求解對應的坐標．

2.2"設點思維

方法3：設點法1.

設Aa²4，a，Bb²4，b，又F（1，0），則有aa²4-1=bb²4-1，可得14ab²－a=14a²b－b，整理得ab（b－a）=4（a－b），即ab=－4．

由于y=2x¹²"，則有y′=1x，結合導數的幾何意義可知kFM=k_m=2a，則知直線FM的方程為y=2a（x－1），與直線y=a聯立解得Ma²2+1，a，則有|AM|=a²2+1－a²4=a²4+1．

同理可得|BN|=b²4+1．

|AM|－|BN|=a²4+1－b²4+1=a²4－b²4=83，而ab=－4，代入消元可得a²4－4a²"=83，解得a²4=3．

所以點A的橫坐標為3，故填答案3．

方法4：設點法2.

設Ay²₁4，y₁，By²₂4，y₂．

由拋物線C：y²=4x，對其兩邊關于變量x求導，可得2yy′=4．

利用導數的幾何意義知直線m斜率為y′|y=y₁=2y₁"，直線FM的方程為y=2y₁"（x－1），與直線m′的方程y=y₁聯立，可得My²₁2+1，y₁，則有|AM|=y²₁2+1－y²₁4=y²₁4+1．

同理可得|BN|=y²₂4+1，所以|AM|－|BN|=y²₁4+1－y²₂4+1=y²₁4－y²₂4=83．

A，B，F三點共線，結合拋物線的焦點弦性質有y₁y₂=－p²=－4，代入消元可得y²₁4－4y²₁"=83，解得y²₁4=3，

所以點A的橫坐標為3，故填答案3．

點評：根據題設條件進行合理設點，也可以非常有效地解決涉及直線與圓錐曲線的位置關系及其綜合應用問題.基于設點場景，可以利用三點共線，也可以利用拋物線的焦點弦性質等，進而轉化并確定相關點的坐標，并由此確定線段的長度，給問題的解決開拓空間與應用.在設點法應用中，往往是基于曲線方程來直接設置，特別是有關拋物線的焦點弦中與點的坐標相關的性質與對應的“二級結論”，對于優化解題有奇效．

2.3"幾何思維

方法5：幾何法.

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如圖1所示，由于平行的性質可知∠1=∠2，∠3=∠4．

結合拋物線的光學性質與幾何性質，可知m即為相應的角平分線，所以∠1=∠3，|AF|=|AM|．

同理可得|BF|=|BN|，而結合|AM|－|BN|=83，則有|AF|－|BF|=83，結合拋物線的定義可知（x₁+1）－（x₂+1）=x₁－x₂=83①.

結合拋物線的焦點弦性質有x₁x₂=p²4=1②.

聯立①和②，解得x₁=3，x₂=13，所以點A的橫坐標為3，故填答案3．

點評：回歸平面解析幾何問題中的平面幾何本質與內涵，借助幾何法來直觀想象與邏輯推理，也可以非常有效地解決涉及直線與圓錐曲線的位置關系及其綜合應用問題.幾何法的本質就是要依據題設條件作出相應的草圖，通過平面幾何圖形的直觀形象來推理與運算，給問題的解決提供切入點與直觀思維.平面幾何中的平行、垂直等性質，特別是圓錐曲線中的光學性質與幾何性質等方面的應用，也是解決問題的常規思維．

3"規律總結

基于以上問題的應用場景，以及解析過程，合理加以深度學習與深入探究，巧妙總結基本規律，可以得到相應的一般性結論．

已知拋物線C：y²=2px（pgt;0）的焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點.過A作C的切線m及平行于x軸的直線m′，過F作平行于m的直線交m′于M，過B作C的切線n及平行于x軸的直線n′，過F作平行于n的直線交n′于N.若|AM|－|BN|=q，則點A的橫坐標為q+p²+q²2．

該結論的證明過程，可以參考以上問題的相關方法的解析過程.這里不再加以展開與敘述．

根據該結論，當p=2，q=83時，相應點A的橫坐標為q+p²+q²2=83+2²+83²2=3，是相應結論的一種特殊形式．

4"變式拓展

對原問題合理分析，抓住其中的關鍵點，以類似的形式來合理創設，進行巧妙的變式與拓展．

變式"已知拋物線C：y²=4x的焦點為F，點A是拋物線C在第一象限內一點，過A作C的切線m及平行于x軸的直線m′，過F作平行于m的直線交m′于M.若|AM|=4，則點A的坐標為""""．

解析：根據以上問題中幾何法的分析，可知|AF|=|AM|=4．

設Ay²₁4，y₁，而F（1，0），則有|AF|²=y²₁4－1²+y²₁=16，解得y²₁=12，結合點A是拋物線C在第一象限內一點，可得A（3，23），故填答案（3，23）．

5"教學啟示

5.1"方法歸納

涉及圓錐曲線中的定值（點的坐標、線段的長度、代數式的取值、幾何要素的特征等）問題，是近年高考、模擬卷以及競賽等命題中的一個熱點與難點問題，變化多端，形式各樣.以各種形式（選擇題、填空題或解答題）出現，滲透圓錐曲線中的定值問題，巧妙借助數值運算、推理證明、探索應用等方式來創新設置，給問題的設置與知識的應用創設更加多樣的場景．

解決此類問題時，主要技巧方法是通過“動態”場景與“靜態”數值的巧妙融合，合理創設場景，進而從“動”中取“靜”，以“動”致“靜”，在“動”中找規律，在“動”中取“定”，知識交匯性強，能力融合度高，能很好考查學生的數學知識與數學能力等，充分體現試題的選拔性與區分度，備受各類考試的命題者青睞．

5.2"能力提升

在解決直線與圓錐曲線的位置關系及其綜合應用問題中，基于豐富的內涵實質，可以合理通過幾何內涵與圖形直觀，從平面幾何的視角切入，合理直觀分析，剖析幾何特征；也可以合理通過代數屬性與問題實質，從解析幾何的視角切入，合理推理分析，剖析代數屬性等.這都是充分體現數學基本能力的視角，由此產生與之相應的數學思維，利用相應的技巧方法來解題與應用．

在實際解題過程中，基于數學思維方式的開拓與發散，以及數學基礎知識的交匯與融合，全面提升數學關鍵能力，提高數學解題能力，全面培養數學核心素養．