細致觀察巧聯(lián)想，合理切入妙突破

摘"要：數(shù)學(xué)解題與研究的關(guān)鍵在于全方位的觀察與合理的挖掘，巧妙建立相應(yīng)知識之間的聯(lián)系，為問題的解決奠定基礎(chǔ).本文結(jié)合一道分式最值的求解，從觀察入手，合理發(fā)現(xiàn)，巧妙聯(lián)想，串聯(lián)起不同的數(shù)學(xué)知識點，合理變換與分析，全面開拓思路，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；最值；三角函數(shù)

美國著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞（G.Polya）指出，觀察將提示某種規(guī)則、模式或定律，從而導(dǎo)致發(fā)現(xiàn).

在新教材、新課標(biāo)（《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》）、新高考的“三新”背景下，數(shù)學(xué)解題的研究更加注重觀察，從觀察中發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)特征與基本性質(zhì)，從而合理聯(lián)想到對應(yīng)的知識與方法，為問題的處理與解決提供條件.筆者結(jié)合一道拋物線上的一動點所對應(yīng)的雙變元分式代數(shù)式的最值求解，從不同思維視角的觀察與知識聯(lián)系，從而得到多方法破解.

1"問題呈現(xiàn)

［2024年大灣區(qū)高三聯(lián)合模擬考試（一）數(shù)學(xué)試卷第16題］已知P（x，y）為函數(shù)y=x²+34圖象上一動點，則3x+yx²+y²的最大值為"""".

分析：本題以一個二次函數(shù)圖象上的動點為情境創(chuàng)設(shè)，合理構(gòu)建與動點坐標(biāo)有關(guān)的分式代數(shù)式，進而確定該分式代數(shù)式的最值問題.

在具體解題時，從所求結(jié)論的分式代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征入手，合理觀察，從對應(yīng)的三角函數(shù)定義、平面向量數(shù)量積、點到直線的距離公式以及齊次化處理等方式入手，巧妙轉(zhuǎn)化，合理突破.

2"問題破解

2.1"三角函數(shù)思維

抓住平面解析幾何問題中三角函數(shù)的本質(zhì)，從三角函數(shù)的基本特征入手，往往利用三角函數(shù)的定義、三角換元以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等來確定對應(yīng)代數(shù)式的最值問題，成為解決代數(shù)式最值（或取值范圍）問題中比較常用的一種基本數(shù)學(xué)思維.

解法1（三角函數(shù)定義法）：設(shè)P（x，y）為角α的終邊上一點，依題P（x，y）為函數(shù)y=x²+34圖象上一動點.

根據(jù)三角函數(shù)的定義，有3x+yx²+y²=3cosα+sinα=2sin（α+π3）.

令y=kx（其中k=tanα），聯(lián)立y=kx，

y=x²+34，消去參數(shù)y并整理，得x²－kx+34=0.

由判別式Δ=k²－3≥0，得k≤－3或k≥3.

根據(jù)k=tanα，則知α∈π3，π2∪π2，2π3，即α+π3∈2π3，5π6∪5π6，π.

當(dāng)α=π2時，3x+yx²+y²=32；當(dāng)α=π3時，3x+yx²+y²=2sin（α+π3）取得最大值為3，故填答案3.

解法2（三角換元法）：設(shè)r=|OP|=x²+y²≥34，三角換元有x=rcosα，y=rsinα，α∈0，π2∪π2，π.

3x+yx²+y²=3rcosα+rsinαr=3cosα+sinα=2sin（α+π3）.

以下部分同解法1，所以3x+yx²+y²的最大值為3，故填答案3.

解后反思：由題設(shè)所求的分式代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，合理聯(lián)想到三角函數(shù)的定義或進行三角換元處理.引入角，利用三角函數(shù)的定義或換元思想加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，成為解決問題的一道亮麗風(fēng)景線.三角函數(shù)的定義或三角換元處理是解決三角函數(shù)問題中，特別是三角函數(shù)值的確定、最值的求解等問題中比較常用的一種技巧方法，關(guān)鍵在于先合理引入角，再利用三角函數(shù)定義或換元思想加以分析與求解.

2.2"平面向量思維

抓住平面解析幾何問題中圖形特性，從平面向量的“數(shù)”與“形”的雙重特征入手，往往利用平面向量的線性運算、數(shù)量積等來確定對應(yīng)代數(shù)式的最值，這也是數(shù)形結(jié)合思想中比較常用的一種技巧方法.

解法3（平面向量數(shù)量積法）：設(shè)定點Q（3，1），則有OP=（x，y），OQ=（3，1）.

根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式，有cos∠POQ=OP·OQOP OQ=3x+y2x²+y²，即3x+yx²+y²=2cos∠POQ.

數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)射線OP與函數(shù)y=x²+34的圖象右側(cè)相切時，cos∠POQ取得最大值.

設(shè)射線y=kx（kgt;0）與函數(shù)y=x²+34的圖象相切于點P₀（x₀，y₀），

y′=k，f′（x）=2x，則知k=2x₀，

kx₀=x²₀+34，解得x₀=32，即切點P₀（32，32）.

因此2cos∠P₀OQ=2×32×3+32×13×2=2×32=3，即3x+yx²+y²的最大值為3，故填答案3.

解后反思：由題設(shè)所求的分式代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，合理聯(lián)想到平面向量的數(shù)量積公式，引入對應(yīng)的向量及相應(yīng)的坐標(biāo)，利用數(shù)量積公式加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，合理數(shù)形結(jié)合，巧妙邏輯推理與數(shù)學(xué)運算，達到轉(zhuǎn)化與求解的目的.平面向量的數(shù)量積定義與公式，具有非常特殊的結(jié)構(gòu)特征，便于進行問題的轉(zhuǎn)化與求解.

2.3"平面解析幾何思維

抓住平面解析幾何問題中的本質(zhì)，從平面解析幾何自身的屬性入手，往往利用平面解析幾何中的公式、曲線等來轉(zhuǎn)化，從而得以確定對應(yīng)代數(shù)式的最值，回歸平面解析幾何自身特性.

解法4（距離公式法）：設(shè)直線l為3x+y=0，此時直線l與函數(shù)y=x²+34的圖象剛好相切于點Q（－32，32），如圖1所示，設(shè)直線l與射線OP的夾角為θ，θ∈（0，π），而P（x，y）為函數(shù)y=x²+34圖象上一動點，則r=|OP|=x²+y².

根據(jù)點到直線的距離公式可知，點P（x，y）到直線l的距離為d=3x+y2=3x+y2，

所以3x+yx²+y²=2×3x+y2x²+y²=2×dr=2sinθ.

根據(jù)圖形的對稱性可知，當(dāng)動點P（x，y）位于點Q關(guān)于y軸的對稱點P₀（32，32）時，此時夾角θ取得最大值為π3，即2sinθ的最大值為2×32=3，亦即3x+yx²+y²的最大值為3，

故填答案3.

解后反思：由題設(shè)所求的分式代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，合理聯(lián)想到點到直線的距離公式，引入對應(yīng)的直線方程，利用直線與曲線的位置關(guān)系以及兩直線的夾角等來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，巧妙數(shù)形結(jié)合與邏輯推理，實現(xiàn)問題的突破.點到直線的距離公式在解決具有一定結(jié)構(gòu)特征的分式代數(shù)式問題，可以達到非常好的建模與轉(zhuǎn)化的目的.

2.4"函數(shù)與導(dǎo)數(shù)思維

抓住平面解析幾何問題中函數(shù)的本質(zhì)，從函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的基本特征入手，往往利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等來確定對應(yīng)代數(shù)式的最值，也是解決代數(shù)式最值（或取值范圍）問題中比較常用的一種基本方法.

解法5（齊次化處理法）：設(shè)k=yx，聯(lián)立k=yx，y=x²+34，消去參數(shù)y并整理，得x²－kx+34=0.

由判別式Δ=k²－3≥0，解得k≤－3或k≥3.

依題

3x+yx²+y²=

3x+yx²+y²=3x²+23xy+y²x²+y²"=3+23k+k²1+k²=1+2×3k+11+k².

構(gòu)建函數(shù)f（k）=3k+11+k²，k≤－3或k≥3.

求導(dǎo)可得f′（k）=-3k²-2k+3（1+k²）².由f′（k）=0解得k=－3或k=33（舍去），

f（－3）=－12，f（3）=1，

所以當(dāng)f（3）=1時，1+2×3k+11+k²取得最大值為3，即3x+yx²+y²的最大值為3，

故填答案3.

解后反思：由題設(shè)所求的分式代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，合理通過比值換元來進行齊次化處理，引入?yún)?shù)進行換元，結(jié)合直線與曲線之間有交點的特征，利用函數(shù)與方程來確定參數(shù)的取值范圍，為齊次化處理統(tǒng)一變元以及函數(shù)的構(gòu)建與處理提供條件.齊次化法為進一步函數(shù)思維處理問題奠定基礎(chǔ)，也是破解代數(shù)問題中比較常用的一種技巧方法.

3"變式拓展

基于原問題的場景，在求解對應(yīng)的分式代數(shù)式的最大值時，結(jié)合解析過程，可以同時確定對應(yīng)分式代數(shù)式的最小值，因而可以加以合理變式，確定該分式代數(shù)式的取值范圍，使問題更加全面.

變式1"已知P（x，y）為函數(shù)y=x²+34圖象上一動點，則3x+yx²+y²的最小值為"""".

解析：以上部分同原問題的解法1，可得π3≤α≤2π3，即α+π3∈［2π3，π］.

當(dāng)α=2π3時，3x+yx²+y²=2sin（α+π3）取得最小值為0，則知3x+yx²+y²的最小值為0，

故填答案0.

當(dāng)然，該變式1的解析過程，除了以上方法外，也可以參照原問題的其他解法，同樣可以得以巧妙分析與解決.

變式2"已知P（x，y）為函數(shù)y=x²+34圖象上一動點，則3x+yx²+y²的取值范圍為"""".

答案：［0，3］.

4"教學(xué)啟示

通過觀察，基于平面解析幾何的問題應(yīng)用場景，巧妙串聯(lián)起平面解析幾何與三角函數(shù)、平面向量、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等相關(guān)知識之間的聯(lián)系，由“點”到“線”，由“線”到“面”，構(gòu)建一個更加完善、全面的數(shù)學(xué)知識體系.

在“三新”背景下，數(shù)學(xué)解題更加關(guān)注數(shù)學(xué)思維與技巧方法.數(shù)學(xué)的教學(xué)與學(xué)習(xí)，應(yīng)該以數(shù)學(xué)概念的課堂教學(xué)進行深度學(xué)習(xí)，形成由數(shù)學(xué)概念到數(shù)學(xué)知識，由數(shù)學(xué)知識到數(shù)學(xué)思維，由數(shù)學(xué)思維到數(shù)學(xué)能力的學(xué)習(xí)鏈，合理“串點成線、織網(wǎng)鋪面”，構(gòu)建一個更加完善的數(shù)學(xué)知識體系，從而全面夯實學(xué)生的“四基”，培養(yǎng)學(xué)生的“四能”，增強學(xué)生的創(chuàng)新意識與創(chuàng)新能力，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，促進學(xué)生高階思維、核心素養(yǎng)的全面發(fā)展.