妙用補(bǔ)集思想，巧解幾類問題

摘"要：補(bǔ)集是數(shù)學(xué)中的一個基本概念，而補(bǔ)集思想是解決數(shù)學(xué)問題中經(jīng)常用到的一個特殊數(shù)學(xué)思想方法.本文借助補(bǔ)集思想在方程、函數(shù)或不等式、計數(shù)、概率等問題的應(yīng)用，結(jié)合一些陌生、復(fù)雜或抽象的問題以及綜合實(shí)例剖析逆向思維，總結(jié)歸納解題技巧，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：補(bǔ)集思想；方程；函數(shù)；不等式；計數(shù)；概率

補(bǔ)集思想是數(shù)學(xué)中的一種重要思想方法，是一種“正難則反”的解題策略，是補(bǔ)集法的具體體現(xiàn)，在解決一些數(shù)學(xué)問題中有著非常廣泛的應(yīng)用.特別在處理一些從正面直接切入比較繁雜、無序、抽象的數(shù)學(xué)問題時，由于種類較多，分類比較麻煩且容易遺漏等，則可以采用逆向思維，結(jié)合問題的反面比較快捷的特點(diǎn)來切入與應(yīng)用，在解決反面問題的基礎(chǔ)上，利用補(bǔ)集思想的轉(zhuǎn)化來達(dá)到目的，成為解決一些問題的“巧技妙法”.

1"在方程問題中的應(yīng)用

在某些涉及多個方程的綜合問題中，如果從正面入手比較復(fù)雜，而問題的反面求解比較容易，不妨先求解問題的反面，利用補(bǔ)集思想，求出涉及多個方程所滿足的集合，再確定全集中的補(bǔ)集即為所求答案.

例題"（2024年陜西省西安市區(qū)縣聯(lián)考高一試卷）已知集合A={x|x²－2x+9－a=0}，B={x|ax²－4x+1=0，a≠0}，若集合A，B中至少有一個非空集合，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是"""".

分析：根據(jù)題意，從正面切入，考慮集合A，B中至少有一個非空集合有三類不同情況，情況比較繁雜，而采用“正難則反”的補(bǔ)集思想進(jìn)行逆向思維，先通過考查這兩個集合分別為空集時對應(yīng)的方程沒有實(shí)數(shù)根，進(jìn)而確定兩種情況解集的交集，最后利用補(bǔ)集法來確定結(jié)果.

解析：若集合A={x| x²－2x+9－a=0}是一個空集，則方程x²－2x+9－a=0沒有實(shí)數(shù)根，可知判別式Δ₁=4－4（9－a）lt;0，解得alt;8.

若集合B={x|ax²－4x+1=0，a≠0}是一個空集，則方程ax²－4x+1=0，a≠0沒有實(shí)數(shù)根，可知判別式Δ₂=16－4alt;0，解得agt;4.

集合A，B都是空集時，4lt;alt;8.

利用補(bǔ)集思想，可得集合A，B中至少有一個非空集合時，有a≤4或a≥8，且a≠0，

故答案為{a|a≤4或a≥8，且a≠0}.

點(diǎn)評：在處理此類涉及“至少”“至多”“唯一”等詞語出現(xiàn)的方程及其綜合應(yīng)用問題時，結(jié)合正面考慮問題的情況較多，而合理進(jìn)行逆向思維，確定反面所滿足的情況，進(jìn)而利用補(bǔ)集思想，從而實(shí)現(xiàn)解題的優(yōu)化與問題的破解.

2"在函數(shù)或不等式問題中的應(yīng)用

在某些函數(shù)或不等式問題中，正面切入會使問題變得比較復(fù)雜或多樣，而相應(yīng)的反面視角比較簡單、快捷.因此，往往可以從反面切入，利用逆向思維并借助補(bǔ)集思想來分析，通過求解原函數(shù)或不等式問題反面集合的補(bǔ)集來達(dá)到目的.

例題"（2023年河南省南陽一中高三月考試卷）對于二次函數(shù)f（x）=4x²－2（p－2）x－2p²－p+1，若在區(qū)間［－1，1］內(nèi)至少存在一個數(shù)c使得f（c）gt;0，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是"""".

分析：根據(jù)題意，直接利用二次函數(shù)滿足的不等式求解時，要對二次函數(shù)的圖象進(jìn)行分類討論，步驟煩瑣.借助逆向思維，先通過對原命題的否定來求解滿足條件的實(shí)數(shù)p的取值，再利用補(bǔ)集思想來確定與求解即可.

解析：依題，二次函數(shù)f（x）在區(qū)間［－1，1］內(nèi)至少存在一個數(shù)c使得f（c）gt;0，其否定是對于區(qū)間［－1，1］內(nèi)的任意一個數(shù)x都有f（x）≤0，

則有f（-1）≤0，

f（1）≤0，即4+2（p-2）-2p²-p+1≤0，

4-2（p-2）-2p²-p+1≤0，整理有2p²-p-1≥0，2p²+3p-9≥0，解得p≤－3或p≥32.

結(jié)合補(bǔ)集思想，可知原問題中，滿足－3lt;plt;32，故答案為－3，32.

點(diǎn)評：在處理一些函數(shù)或不等式問題時，經(jīng)常可以通過集合視角轉(zhuǎn)化，將不熟悉或難解的集合問題轉(zhuǎn)化為熟知或易解的問題，或?qū)⒊橄髥栴}轉(zhuǎn)化為具體、直觀問題，借助補(bǔ)集思想來逆向思維與應(yīng)用.

3"在計數(shù)問題中的應(yīng)用

補(bǔ)集思想可用于處理一些比較復(fù)雜的計數(shù)問題，特別是涉及正面情況比較復(fù)雜且不易直接求解，而反面情況比較簡單且熟悉方便時，可合理通過補(bǔ)集思想進(jìn)行逆向思維處理與解決.

例題"在由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整除的數(shù)共有""""個.

分析：根據(jù)題意，從正面求解，無從下手.采用逆向思維，先計算所有符合條件的四位數(shù)的個數(shù)，再計算其中可以被5整除的，即末位數(shù)字是0或5的四位數(shù)的個數(shù)，利用補(bǔ)集思想，相減可得答案.

解析：由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成的沒有重復(fù)的四位數(shù)有A¹₅A³₅=300（個），而不能被5整除實(shí)質(zhì)上是末位數(shù)字不是0或5.

由于末位為0時有A³₅=60（個），末位為5時有A¹₄A²₄=48（個）.

因此，滿足題意的四位數(shù)共有300－60－48=192（個），故答案為192.

點(diǎn)評：在處理一些比較復(fù)雜的排列組合問題時，若正面情況較復(fù)雜而反面情況較簡單時，可采用逆向思維，借助補(bǔ)集思想，先求總的排列數(shù)或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù)，就可快速獲得結(jié)果.

4"在概率問題中的應(yīng)用

在概率問題中，補(bǔ)集思想在這里的表現(xiàn)形式就是對立事件的應(yīng)用，利用概率問題場景，通過構(gòu)建與原事件相應(yīng)的對立事件，利用對立事件的概率公式來逆向思維，更加直接方便求解，實(shí)現(xiàn)補(bǔ)集思想的應(yīng)用.

例題"一個自動報警器由雷達(dá)和計算機(jī)兩部分組成，兩部分有任何一個失靈，這個報警器就失靈.若使用100小時后，雷達(dá)部分失靈的概率為0.1，計算機(jī)失靈的概率為0.3，若兩部分失靈與否是獨(dú)立的，則這個報警器使用100小時失靈的概率為"".

分析：依托題設(shè)條件，直接正面切入要考慮多種情況，問題比較繁雜，而問題的反面比較簡單，借助逆向思維，利用補(bǔ)集思想來求解對應(yīng)事件的概率，再通過對立事件來分析即可.

解析：依題，記事件A=“使用100小時后雷達(dá)失靈”，事件B=“使用100小時后計算機(jī)失靈”.

報警器使用100小時失靈的概率為1－P（A ·B ）=1－P（A ）P（B ）=1－（1－P（A））（1－P（B））=1－（1－0.1）（1－0.3）=1－0.63=0.37，故答案為0.37.

點(diǎn)評：有時解題思路受阻，往往是因?yàn)樗伎嫉慕嵌炔粚?dǎo)致的.此時，若能轉(zhuǎn)換一下思維角度，正難則反，從反面來思考，逆向思維處理，巧妙借助補(bǔ)集思想，常可使問題輕松獲解.

5"結(jié)語

采用“正難則反”的補(bǔ)集思想解題時，往往是涉及“結(jié)論”的反面，它比“結(jié)論”本身更加簡單、更加具體、更加明確等.因此，可以先合理調(diào)整解題思路，避免正面求解時復(fù)雜或抽象的情形，進(jìn)而從問題的反面入手，利用求解問題的“對立事件”，巧妙求出問題的結(jié)果，最后利用補(bǔ)集思想加以求解，實(shí)現(xiàn)問題的突破與解決.