基于滑動窗口的水力壓裂井底壓力實時計算研究

現有水力壓裂井底壓力模型計算方法難以適應當前普遍采用的大規模體積壓裂中頻繁變換排量、壓裂液類型、支撐劑質量濃度等操作。為此引入滑動窗口算法，建立了壓裂井底壓力實時計算模型，以壓裂秒點數據為基礎，精細表征了壓裂液類型、密度、支撐劑質量濃度等關鍵參數沿井筒軸線分布并每秒更新，實現了分段分流態計算靜液柱壓力和流動摩阻。研究結果表明：采用滑動窗口分段計算方法，可有效保證計算的實時性和準確性，經井底壓力監測數據驗證，模型平均計算相對誤差為2.1%。研究結果可為壓裂工況實時判識和裂縫擴展動態評價提供準確的井底壓力數據。

水力壓裂；井底壓力；滑動窗口；實時計算模型；流動摩阻；秒點數據

Sliding-Window Model for Real-Time Bottomhole Pressure in Hydraulic Fracturing

Meng Leifeng^1，2，3 Zhang Shuai¹ Wang Junping² He Jian² Xu Yajun² Sheng Mao^1，3

（1.State Key Laboratory of Petroleum Resources and Engineering， China University of Petroleum （Beijing）; 2.CNPC Xibu Drilling Engineering Company Limited；3.Research Center for Intellingent Drilling amp; Completion Technology and Equipment，China University of Petroleum（Beijing））

Existing models for determining the bottomhole pressure in hydraulic fracturing cannot adapt to the commonly popular large-scale volume fracturing process where pump rate， fracturing fluid type， and proppant concentration vary frequently. This paper introduces the sliding window algorithm to establish a real-time bottomhole pressure calculation model for hydraulic fracturing operations. This model， based on per-second fracturing data， precisely characterizes and updates on a per-second basis the distribution of key parameters （e.g. fracturing fluid type/density， and proppant concentration） along the wellbore axis， and calculates the hydrostatic column pressure and flow friction by segments and flow patterns. The results indicate that the segment-based model using sliding window can effectively yield real-time and accurate calculation， with an average relative error of 2.1% as validated using monitored bottomhole pressure data. The research results provide accurate bottomhole pressure data for real-time identification of hydraulic fracturing events and dynamic evaluation of fracture propagation.

hydraulic fracturing;bottomhole pressure；sliding window; real-time calculation model; flow friction; per-second data

0 引 言

孟磊峰，等：基于滑動窗口的水力壓裂井底壓力實時計算研究

水力壓裂井底壓力變化可直接反映儲層裂縫擴展動態和井筒工況，一直以來是判識裂縫擴展行為、井筒復雜工況和風險的重要依據。因此，準確實時計算井底壓力對提高壓裂增產效果和保障施工安全至關重要。當前水力壓裂技術不斷進步，泵注程序更加復雜，特別是壓裂排量、液體類型、支撐劑質量濃度等頻繁變換。若沿用平均化井筒水力學參數計算井底壓力，難以滿足精度和實時計算需求，亟需精細表征井筒內水力學參數分布并實時更新，分段分流態計算靜液柱壓力和流動摩阻，實現井底壓力的準確實時計算。

國內外學者針對壓裂井底壓力計算開展了卓有成效的研究。1979年，K.G.NOLTE等^［1］率先分析井底壓力和裂縫凈壓力的對數曲線，判斷裂縫擴展形態和壓裂液濾失。1983年，R.R.HANNAH等^［2］建立了基于地面泵注數據的井底壓力實時計算模型，通過全井段平均液體密度和支撐劑質量濃度，計算流動摩阻和靜液柱壓力，且每隔2 s更新一次井底壓力。其中，攜砂液流動摩阻仍難以準確計算，其采用了如下主要方法：①建立基于支撐劑質量濃度加權的流動摩阻模型，多位學者針對胍膠、線性膠等壓裂液體系提出了流動摩阻校正關系式^［3-4］；②單獨計算支撐劑引起的附加流動摩阻，疊加壓裂液流動產生的摩阻，獲得攜砂液流動摩阻^［5］；③通過室內流動試驗，獲得流動摩阻與壓裂參數的多元非線性擬合關系式^［6-7］。蔣廷學^［8］利用無因次分析法，建立了無因次流動摩阻與無因次密度之間的擬合關系式。劉合等^［9］建立了水平井分段壓裂模擬有限元模型，利用實測數據修正流動摩阻系數，模擬得到了井底和井口壓力曲線，并與壓裂施工曲線符合。盡管以往模型綜合考慮了理論和現場數據校正，計算精度不斷提升，但是采用的計算方法卻未能精細分段分流態計算靜液柱壓力和流動摩阻，難以適應當前普遍采用的大規模體積壓裂中頻繁變換排量、壓裂液類型、支撐劑質量濃度等的操作。

筆者引入滑動窗口算法，建立了壓裂井底壓力實時計算模型，以壓裂秒點數據為基礎，精細表征了壓裂液類型、密度、支撐劑質量濃度等關鍵參數沿井筒軸線分布并每秒更新，實現了分段分流態計算靜液柱壓力和流動摩阻。計算結果得到井底壓力實測數據驗證，平均計算誤差2.1%。

1 模型建立

1.1 滑動窗口算法遍歷分段計算井底壓力

根據受力平衡原理，井底壓力由3部分壓力控制，分別為井口壓力、井筒靜液柱壓力、流動摩阻等。其中，井口壓力是地面壓力計監測獲得的秒點數據；井筒靜液柱壓力和流動摩阻受壓裂液密度、排量、支撐劑質量濃度、井筒內徑等參數影響，是與時間相關的參數。定量關系如下式所示：

p_b=p_w+p_h-p_f（1）

式中：p_b為井底壓力，MPa;p_w為井口壓力，MPa;p_h為井筒靜液柱壓力，MPa;p_f為井筒壓裂液流動摩阻，MPa。

壓裂泵注秒點數據包括井口壓力、排量、支撐劑質量濃度、液添等。井筒分段計算示意圖如圖1所示。

以1 s作為時間窗口，對秒點數據進行循環遍歷，利用排量的秒點數據以及井筒的截面積可計算出每秒泵入井中液體的長度，井中這些液段的長度總和等于全井長度。由于壓裂排量、支撐劑質量濃度的不斷改變，每個液段的長度、密度、流變性等參數各不相同，所以每個時刻井筒內的液段組成也各不相同。構建1 s的時間窗口，將井筒內的液體劃分為以1 s為時間間隔的等時液段，假設各等時液段彼此獨立、互不干擾，分段計算當前時刻存在于井筒內的每個等時液段的密度、靜液柱壓力等參數；同時采用范寧摩擦因數法與系數模型分段計算等時液段的流動摩阻。將每個等時液段的流動摩阻與靜液柱壓力累加得到當前時刻井筒中壓裂液的靜液柱壓力和流動摩阻，最終由式（1）得到當前時刻的井底壓力。

1.2 井筒靜液柱壓力分段計算

綜合考慮地層溫度、壓力和泵注程序對壓裂液密度的影響，首先從當前時刻向前逐點計算每個液柱段在地層中所處的位置：

H_i=∑mi=1h_i

H_i≤D_TV

D_TV

H_i≥D_TV

（2）

其中：

h_i=Q_i/A_w（3）

其次根據該處地層溫度和套管中的壓力值，計算得到不含支撐劑時等時液柱的密度。第i個等時液段的密度計算如下：

ρ_i=ρe^AρgH_i^{- p}₀^-BT_i^-T₀^-CT_i^-T₀²（4）

式中：H_i為第i個等時液段距地面的垂直距離，m；h_i為第i個等時液段的長度，m；D_TV為垂直深度，m；Q_i為第i個等時液段的容積，m³；A_w為井筒內橫截面積，m²；ρ_i第i個等時液段的密度，kg/m³；T_i為當前深度的地層溫度，℃；p₀為地面壓力，MPa；T₀為地面溫度，℃；ρ為地面溫壓下壓裂液的密度，kg/m³；A、B、C為常數，根據所選壓裂液體系的特性確定。

當等時液段攜帶支撐劑時，該等時液段的密度計算式為：

ρ_i=ρ_sCⁱ_s+ρe^Ap_i^-p₀^-BT_i^-T₀^-CT_i^-T₀²1-Cⁱ_s（5）

其中：

Cⁱ_s=（S_i/ρ_s）×100%（6）

式中：ρ_s為支撐劑密度，kg/m³；Cⁱ_s為第i個等時液段的含砂體積分數，%；S_i為第i個等時液段的含砂質量濃度，kg/m³。

通過以上計算獲得井筒中全部等時液段密度后，當前時刻井筒靜液柱壓力累加值計算如下：

p_h=∑mi=1ρ_igQ_iA_w（7）

當液柱段總長度超過井筒垂深時，模型停止計算。

1.3 井筒流動摩阻分段計算

根據等時液段中是否含支撐劑，分別計算該段的流動摩阻。對于不含支撐劑的等時液段，采用范寧摩擦因數計算流動摩阻：

pⁱ_f=ρ_i2h_idQ_tA_w²f_i=ρ_i2h_idv²f_i（8）

式中：pⁱ_f為第i個等時液柱的流動摩阻，MPa；Q_t為當前時刻排量，m³/s；f_i為該段的范寧摩擦因數；v為當前時刻壓裂液的流速，m/s。

范寧摩擦因數計算需區分壓裂液流態，考慮壓裂液常為非牛頓流體，采用廣義雷諾數Re_N判斷各等時液段的流態：

Re_N=dⁿv^2-nρ_i8^n-1K=4^2-nQ^2-n_tρ_i8^n-1π^2-nKd^4-3n（9）

式中：n為流性指數；K為當量稠度系數，Pa·sⁿ，可通過室內流變性測定試驗獲取；d為井筒內徑，m。

定義Re_N＜2 100時為層流，Re_N≥2 100時為湍流。2種流態下范寧摩擦因數的計算公式如下：

f_i=2pⁱ_fdh_iρ_iπd²4Q_t²=16Re_N Re_N＜2 100

a+bRe_N² Re_N≥2 100（10）

其中：

a=1288.6+623.5×lnd+0.062-0.010 8d²×lndμ²_a，511K，n（11）

b=10.226 5+0.091 82d²-8.834-3.216d²²μ²_a，511K，n（12）

因此，不含支撐劑時，第i個等時液段的流動摩阻計算式為：

pⁱ_f=ρ_i2h_idQ_tA_wf_i=

ρ_i2h_idQ_tA_w²16Re_N Re_N＜2 100

ρ_i2h_idQ_tA_w²a+bRe_N Re_N≥2 100

（13）

當第i個等時液段含有支撐劑時，采用系數模型計算流動摩阻^［9］：

pⁱ_f=M×

ρ2h_idQ_tA_w²16Re_N Re_N＜2 100

ρ2h_idQ_tA_w²a+bRe_N Re_N≥2 100

（14）

其中：

M=μ^c_1γρ^c_2i（15）

μ_r=1+0.75e^1.5n-1e^{-1-nγ/1 000}1.25Cⁱ_s1-1.5Cⁱ_s²（16）

式中：μ_a，511K，n為壓裂液表觀黏度，mPa·s；pⁱ_f為當前時刻第i個等時液段的流動摩阻，MPa；M為計算攜砂液流動摩阻的附加系數，無量綱；C₁、C₂為常數，根據所選壓裂液體系的特性確定；μ_r為壓裂液相對黏度，mPa·s;γ為流體重度，（N·m）/kg。

通過以上計算獲得井筒中全部液柱段的流動摩阻后，當前時刻井筒流動摩阻的累加值計算如下：

p_f=∑mi=1pⁱ_f（17）

2 模型結果驗證

2.1 試驗井基本情況

X井采用水平井多簇射孔分段壓裂，采用光纖測壓技術記錄了2段壓裂過程井底壓力秒點數據。該井完鉆井深4 181.0 m，垂深2 382.0 m，水平段長1 799 m，A靶點井深2 382 m，B靶點井深4 181 m，油層套管內徑124.26 mm。地層溫度和壓力梯度分別為每100 m 2 ℃和0.66 MPa。第1段射孔頂深3 954 m，第2段射孔頂深3 846 m。壓裂過程中，當砂質量濃度小于200 kg/m³時，選用滑溜水壓裂液體系，其流性指數為0.4，稠度系數為2.133 Pa·s^0.4；當砂質量濃度大于200 kg/m³時，選用胍膠壓裂液體系，其流性指數為0.518，稠度系數為4.775 Pa·s^0.518。支撐劑類型為石英砂，密度為2 620 kg/m³。

2.2 結果對比

試驗結果如圖2所示。圖2中包含井底實測壓力、井口實測壓力和本文模型結果。模型計算誤差在壓裂不同階段表現出顯著差異。其中：排量平穩注入階段模型計算誤差最小，值小于1.5 %；地層起裂階段模型計算誤差較大，大于6%，第1段最大誤差15.6 %，第2段最大誤差15.9 %。其原因是該模型未考慮地層起裂帶來的水錘壓力波動。

為驗證時間滑動窗口長度對計算結果的影響，將時間滑動窗口設置為30、150 s和全井段平均3種方式，液段內各參數采用平均值計算靜液柱壓力與流動摩阻，結果如圖3所示。由圖3可知：時間滑動窗口30、150 s和全井段井底壓力計算平均誤差分別為2.9%、4.4%、6.3%；最大誤差分別為20.3%、21.6%、22.7%。上述模型均在階梯式加砂階段計算誤差較大，原因是壓裂液密度、黏度等計算參數的平均化處理，導致使用式（15）計算系數模型中的附加系數M時不準確，得出的流動摩阻結果小于原模型。通過對比幾種類型的滑動窗口計算結果，說明井筒中液段分割越精細，計算誤差越小，有必要采用1 s長度的滑動窗口更新計算井底壓力，以獲得更高精度。

3 結 論

（1）在壓裂施工井底壓力秒點實時計算中，引入滑動窗口進行分段計算，可保證計算的實時性、準確性。滑動窗口越小，井筒液段分割越精細，計算精度越高。

（2）長度1 s，步長為1的滑動窗口計算井底壓力誤差最小，最接近現場實際數據，模型最大誤差為15.6%，平均計算相對誤差為2.1%。

（3）地層起裂階段，模型計算誤差最大，說明地層起裂引起的水錘效應會影響模型的準確度。

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第一作者簡介：孟磊峰，高級工程師，生于1985年，2008年畢業于中國石油大學（北京）石油工程專業，現從事非常規油氣壓裂改造工藝技術研究工作。地址：（830000）新疆烏魯木齊市。電話：（0991）7613082。email：menglf001@cnpc.com.cn。

通信作者：盛茂，教授，博士生導師。email：shengmao@cup.edu.cn。