研究積分學在物理無窮小微元上的體現

摘要：積分學是微積分的一個重要組成部分。從物理無窮小微元出發，結合之前對于微分學的討論，給出了積分學中相關內容在物理無窮小微元上的體現，包括連續物理函數的不定積分表現為離散函數的不定求和、連續物理函數的定積分表現為離散函數的代數和、連續物理函數的原函數存在定理表現為離散函數的不定求和可以通過部分和表示、連續物理函數的牛頓-萊布尼茨公式表現為離散函數之間的代數關系。這些討論內容將有助于加深高校教師和學生對“大學物理”知識的理解。

關鍵詞：積分學 物理無窮小微元 不定積分 定積分

Research on Manifestation of Integral Calculus on Physical Infinitesimal Differential Elements

SONG Yaxun

Basic Course Department， Wuhan Donghu University， Wuhan， Hubei Province， 430212 China

Abstract： Integral calculus is an important component of calculus. Starting from the concept of infinitesimal elements in physics， this research， in conjunction with previous discussions on differential calculus， explores how integral calculus concepts manifest through infinitesimal elements. It includes the notion that the indefinite integral of a continuous physical function is represented by the indefinite sum of discrete functions on the physical infinitesimal element. The definite integral of continuous physical functions is expressed as the algebraic sum of discrete functions on the physical infinitesimal element. The existence theorem of primitive functions of continuous physical functions is manifested as the indefinite sum of discrete functions on the physical infinitesimal element， which can be expressed by partial sums. The Newton-Leibniz formula of continuous physical functions is represented by the algebraic relationship between discrete functions on the physical infinitesimal element These discussions will help deepen the understanding of college physics knowledge among university teachers and students.

Key Words： Integral calculus; Physical infinitesimal differential elements; Indefinite integral; Definite integrals

物理無窮小微元是對物理客體進行分割所得到的一種微元模型[1]，它不僅是保留客體原有物理屬性的最小單位（或使基于其建立的物理函數有意義的最小單位），同時也使物理函數具有了“宏觀連續，微觀分立”的性質。

微積分作為“大學物理”所使用的最主要的數學工具，它對大學生理解物理概念、物理規律，以及發現和解決物理問題具有至關重要的作用[2]。在利用微積分工具解決物理問題時，必然要討論對物理客體進行“分割”的問題。在微觀角度下，由于物理無窮小微元的出現，連續物理函數的微積分表現為對離散物理函數的求差分、求和等問題；在宏觀角度下，離散物理函數的差分、求和則會過渡到連續物理函數的微分、積分等問題[3-4]。本文結合微分學在物理無窮小微元上的體現，進一步探討積分學在物理無窮小微元上的體現[5]。

需要特別說明的是：本文中出現的“微觀角度”指的是觀察尺度與“物理無窮小微元”相差不大的尺度；“宏觀角度”指的是觀察尺度遠遠大于“物理無窮小微元”的尺度。另外，本文所討論的物理函數是空間位置P的函數：，其中，可以是一元函數、二元函數、三元函數。

1 物理無窮小微元的出現

1.1 最大物理無窮近

最大物理無窮近是物理無窮小微元的尺度，即物理無窮小微元所處空間位置P的鄰域空間的半徑。利用，我們可以將“宏觀角度”表示為、“微觀角度”則表示為，其中，表示從微觀角度向宏觀角度過渡時會趨于0。由于本身就大于0，所以，此處的強調的是：是一個大于0的常數。于是，可以將“”重新表述為 （C為常數），這樣表述更合適。如果依舊用表示“微觀角度”也無傷大雅，只是需要注意，表示的是“是一個大于0的確定的常數”。

1.1.1 具有相對性

由于物理無窮小微元取決于物理客體的分割方式，這種分割方式具有相對性，不僅取決于物理客體本身的物理屬性，還取決于所研究的物理問題、所構建的物理模型等，因此，這就導致了也具有了相對性[6-7]。

1.1.2 相鄰物理無窮小微元的距離

相鄰兩個物理無窮小微元i和i′之間的距離定義為二者所處鄰域空間的中心之間的距離，即與微元對應的兩個最大物理無窮近之和。

1.1.3 物理無窮小微元的最大線度

物理無窮小微元的最大線度即所處鄰域空間可容納的最大線度，即2倍的最大物理無窮近。

1.2 物理無窮小微元的出現

物理函數在物理無窮近條件下的極限為

當時，有；當時，極限不存在。

此極限結果體現了物理函數的“微觀分立，宏觀連續”的性質，這種性質是物理無窮小微元出現的理論依據之一。除此之外，物理無窮小微元所處的鄰域空間是物理函數有意義的最小單位。以上兩點解釋了物理無窮小微元的來源問題。

物理無窮小微元的出現使在微觀角度下物理函數的定義域呈現“塊狀”結構，這體現在如下兩個方面。

1.2.1 物理無窮小微元之間的獨立性

在微觀角度下，對物理客體分割所得到的“物理無窮小微元”處于空間某一點P的鄰域空間內部，處于不同和的物理無窮小微元是分立的。

1.2.2 物理函數的“微觀分立性”

物理函數是在物理客體的基礎上建立的，同時它又可以表示為空間位置的函數。由于區域是使物理函數成立的最小區域，且不同的和是分立的，這導致了物理函數具有“微觀分立”的性質。

正是由于“塊狀”定義域的出現，使微分學中導數、微分等概念在物理無窮小微元上表現為離散量的差分商和差分等。

1.3 微分學在物理無窮小微元上的體現

1.3.1 導數

在微觀角度下，。由于物理函數的定義域呈現“塊狀”結構，使物理函數呈現出“微觀分立”的性質，連續函數表現為離散函數，的函數值為一組離散的值。對于這組離散的函數值，任意兩個離散值的變化率可以表示為；在宏觀角度下，，則變為了普通的方向導數的概念。

1.3.2 微分

在微觀角度下，對于兩個不同的塊狀定義域、上的物理函數的增量可以表示為

在宏觀角度下，有

從這里可以看到，連續物理函數的微分在微觀角度下表現為離散函數的差分。

1.3.3 導數與微分之間的關系

宏觀角度下物理函數的微分與導數的關系在微觀角度下表現為離散函數的差分與差分商的線性關系。

微觀角度下，物理函數的導數和微分在“塊狀”定義域上分別表現為差分商和差分，二者的關系如下

式（4）中的系數等于差分商。

在宏觀角度下，有

可以看到，宏觀角度下連續物理函數的微分與導數的關系在微觀角度下表現為離散物理函數的差分與差分商的線性關系。

2 不定積分在物理無窮小微元上的體現

2.1 不定求和與不定積分

不定求和是離散函數差分的逆運算[8]。不定求和與不定積分在思想上有相似之處，它們都是在尋找一個“累積”過程。不定積分尋找的是函數的累積量（即原函數），不定求和尋找的是數列或離散函數的累積量（即原數列）。

2.1.1 不定求和

對于數列，如果存在一個數列，則使

將符合上述條件的所有數列稱為的不定求和，即

式（7）中，C為任意常數。

2.1.2 不定積分

對于一個函數，存在一個原函數，使，將全體原函數稱為的不定積分，即

式（8）中，C為任意常數。

不定求和是對數列或離散函數求全體“原數列”，不定積分是對連續函數求全體原函數。

2.2 不定積分在物理無窮小微元上的體現

微觀角度下，由于物理無窮小微元的出現，物理函數的定義域呈現以為基本單位的塊狀結構。

（1）不同的相互獨立。

（2）是物理函數有意義的最小區域。

（3）是物理函數具有“微觀分立，宏觀連續”性質的最大區域（這也就是我們將稱為“最大物理無窮近”的原因）。

通過極限式（1），我們可以看到：在同一個區域的所有函數值都等于，同時，任意兩個和上的物理函數是分立的。于是，在微觀角度下，由于定義域塊狀結構的出現，物理函數在定義域D上的函數值構成了一組離散的值?？紤]到本文所討論的物理函數是P位置的函數：，在此基礎上，引入乘積函數：

式（10）、式（11）、式（12）中，、、分別為的長度大小、面積大小、體積大小。很明顯可以看到，由于物理無窮小微元的存在，乘積構成了新的離散函數，

通過上述討論可知，連續函數的不定積分在物理無窮小微元上表現為離散函數的不定求和。

3 定積分在物理無窮小微元上的體現

3.1 積分和與定積分

從一元函數的定積分與多元函數的重積分的定義可以看出，定積分的求解是通過分割、近似求和、取極限這3個步驟得到的，其中，積分和的概念體現在了“分割”與“求和”這兩個步驟。求積分和是一個從連續函數到離散函數，然后對離散函數求和的過程。

積分和是一種近似計算定積分的手段。以一元函數為例，它通過將定義域劃分為若干小區間，然后用這些小區間的某個點的函數值乘以區間寬度并對乘積求和，進而得到的定積分的近似值。設在上有界，在中任意插入若干分點，把區間分成n 個小區間：，各個小區間的長度依次為。

在每個小區間上任選一點作函數值與小區間長度的乘積，則積分和可以表示為

當區間劃分得越來越細，即或，上述積分和的極限為函數在區間上的定積分（簡稱積分），記作

對于多元函數，其在求解重積分的過程中，積分和與定積分的關系也類似。

從上述討論可知，積分和與定積分密切相關。積分和是定積分的近似，是一種通過分割區間并求和來近似計算定積分的方法。定積分是積分和在區間劃分無限細時的極限，表示函數在某個區間上的累積量。積分和與定積分之間的關系有助于理解物理無窮小微元的出現。我們將以此為基礎，同時結合不定積分與定積分之間的關系來討論定積分在物理無窮小微元上的體現。

3.2 定積分在物理無窮小微元上的體現

3.2.1 定積分：分割、求和、取極限

（1）分割。在使用定積分處理物理問題時，對物理客體進行有限次分割得到的是具有一定大小的微元[9]，隨著分割次數增多，微元的體積不斷變小。從數學理論的角度，對物理客體的分割是可以進行無限多次的，最終得到微元是“數學無窮小微元”，這是一種理想的物理模型。對于現實的物理客體，當對其進行分割時，不僅要保證分割出來的微元具有原來的物理屬性，還要使物理函數滿足“宏觀連續，微觀分立”的性質。所以，在對物理客體進行分割時是存在一個極限的，即最小單位必須是物理無窮小微元。

另外，對物理客體的分割從另一個角度可以看作是對空間的分割。對物理客體所處的空間進行分割，最終得到了一系列不同空間點的領域空間，此領域空間容納了物理無窮小微元。

數學理論中的物理客體可以無限分割下去，最終得到數學無窮小微元，它是一種理想模型?，F實

中的物理客體不能無限分割下去，物理無窮小微元是物理客體進行分割的極限，是分割得到的最小單位，它是一種現實模型。

②數學無窮小微元的大小無限趨近于0，是一個不確定的值。物理無窮小微元的大小在微觀角度下具有確定的數值，在宏觀角度下無限趨近于0。從這里我們可以看到，兩種模型在宏觀角度下是相同的。

（2）求和、取極限。積分和是一種近似計算定積分的手段，它表現為一系列離散的函數值之和，如式（17）。在微觀角度下，由于物理無窮小微元的出現而建立的離散函數同樣存在求和問題，

二者都屬于離散函數值求和，所以沒有區別。值得注意的是：在式（17）中，對于分割的任意區間，函數值的選擇是任意的；在式（19）中，對于分割的任意區域，其上的函數值選擇的是“宏觀角度下，點的函數值”。前者是為了近似代替而選擇了特殊函數值，后者是因為在內部物理函數沒有意義所以賦予了函數值。從離散函數值求和的角度看，這二者的規律是相同的。

通過對積分和求極限，如式（18），可得函數的定積分。此時，極限條件為分割次數或最大區間長度。在微觀角度下，物理無窮小微元是對物理客體分割的極限，所以，對于一個特定的物理問題，是一個確定的數值，對應的只存在一種分割方式。那么，此時對式（19）求極限的極限條件為，即從微觀角度向宏觀角度過渡，

可以看到，連續函數的定積分在物理無窮小微元上表現為離散函數的代數和。對比式（18）與式（20）關于物理函數的求和問題，兩種不同的極限條件在宏觀角度下具有相同的結果，這使在宏觀角度下可以直接使用定積分處理物理問題而不用考慮物理無窮小微元的存在。

3.2.2 可積條件

一元函數以及多元函數的可積條件是類似的。設函數的定義域為D，對定義域D進行如下分割T：

分割出來的所有小區域都可以求長度（一元函數）、面積（二元函數）、體積（三元函數），。在每個上取函數最大、最小值如下。

在微觀角度下，物理無窮小微元是對物理客體分割的極限，對于一個特定的物理問題，只存在一種分割方式，并且定義域的塊狀結構使在同一個的所有函數值都等于。所以，對于任一，有

對于離散量，由于計數方式的特殊性，導致式（6）與式（28）有些許形式的差異，這并不影響部分和可以作為不定求和的一個特例。所以，也可以將的不定求和表示為

式（31）中，是一個在定義域D上變化的量。于是，我們可以看到，連續函數的原函數存在定理在微觀角度下表現為離散函數的不定求和可以通過其部分和加任意常數C得到。這也說明了宏觀角度下的原函數存在定理不受物理無窮小微元存在的影響。

3.2.4 牛頓-萊布尼茨公式

在微觀角度下，離散函數在某個區域的積累量表現為求和式（19）。設求和區域包含從到多個塊狀區域，則在上的積累量為

當從微觀角度向宏觀角度過渡時，有

式（33）中，為連續函數的一個原函數。從上述討論可知，連續函數的牛頓-萊布尼茨公式在微觀角度下表現為基于離散函數構建的離散函數與之間的代數關系。在宏觀角度下，連續的物理函數在使用牛頓-萊布尼茨公式時不受物理無窮小微元存在的影響。

參考文獻

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[5] 宋亞勛.微分學在物理無窮小微元上的體現[J].科學咨詢（科技·管理），2024（4）：170-173.

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