基于CPFS結構的初中數學學科育人系統研究

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094(2025)04-0094-05

課堂教學作為實現教育目標的核心途徑，對培育人才具有決定性作用。然而，目前初中數學教學仍存在若干問題：重視應用而輕視內涵，教師普遍過分強調知識的實用性而忽視對概念和命題深層次含義的闡釋，忽略對知識體系的全面構建；教師過分追求教學過程的生動性，導致學生陷入“一聽就明白、一學就上手、一用就出錯”的窘境，無法靈活運用所學知識解決實際問題，難以有效提升自主學習的能力；教學模式單一化，忽視了學生全面發展的需求及認知發展規律，從而導致學生在發現、提出和解決問題方面的能力不足。為有效解決上述現實問題，本研究構建了基于CPFS結構的教學實踐路徑，并在實踐中凝練其學科育人系統。

一、CPFS結構的內涵與價值

數學學科核心素養隱藏在知識體系和結構中，概念和命題通過推理的方式形成了中學數學的邏輯體系。CPFS結構是概念域（conceptfield）概念系（concept system）命題域（propositionfield）、命題系（proposition system）形成的結構[1]，是數學知識在學生頭腦中經過梳理形成的條理化、網絡層次化的結構，是經過心理活動內化了的知識網絡結構。概念域即某個概念的一組等價定義在個體頭腦中形成的知識網絡；概念系是存在某種關系的一組概念在個體頭腦中形成的知識網絡；命題域是針對某個特定命題的一組等價的命題網絡；命題系是存在一些特定數學抽象關系的一組命題，某些沒有直接的推出關系但具有潛在聯系的命題網絡稱為廣義命題系。CPFS結構是優良的數學認知結構，有助于知識的理解、遷移以及能力的發展。

教師教好數學、學生學好數學是教學中發展學生核心素養的基本要義[]。基于CPFS結構的初中數學教學，以“學生”作為研究和實踐的基本出發點，堅持“學生是教育主體”的基本立場，在課堂教學中落實數學學科核心素養和立德樹人根本任務，從而實現學生全面而有個性的發展。基于CPFS結構的初中數學教學，從知識結構以及知識的關聯性出發，科學定位教學目標，引導學生開展高質量的數學學習活動，突出數學的思想和方法，促進學生形成終身學習所需的數學基礎知識、基本技能、基本思想方法和綜合運用能力，最終實現數學學科育人的目標。

二、基于CPFS結構的初中數學學科育人系統

學科育人是學科教學的根本任務，數學學習的實質就是學生在教師的引導下能動地建構數學認知結構，并使自己得到全面發展的過程[3。基于CPFS結構的初中數學學科育人系統包含“教師—教學路徑一教學課例一學生”四個要素和“育人情境創設一育人實踐路徑一育人實踐載體一育人實踐主體”四個維度（如圖1）。

CPFS結構是促進學生能力發展的重要抓手，基于CPFS結構的學科育人系統，以育人為核心導向，以課堂為主陣地，以學生全面、健康、可持續發展為目標，凸顯學生的主體地位。基于CPFS結構的教學路徑、具有整體結構特征的教學課例，遵循了學生的認知發展規律，能幫助學生構建良好的認知結構。

三、基于CPFS結構的初中數學教學實踐路徑

學習過程是認知結構形成、發展和完善的過程。CPFS結構是數學特有的認知結構，能形象、直觀地體現數學的邏輯特征。筆者立足培養學生問題意識與思維能力，以具有整體結構特征的課例為實踐載體，構建了以“創設情境為前提，提出問題為核心，解決問題為目的”的教學實踐路徑，并在不同課型中進行了教學探索。

（一）厘清內涵，揭示概念命題抽象過程

數學新授課主要是對新概念或新命題的學習，在提出一個新概念或新命題后，引導學生探究與該概念或命題有等價或推出關系的概念或命題，從多種背景、多重層次去揭示概念和命題的內涵，幫助學生建構良好的知識網絡，形成CPFS結構。

例如在正方形概念的教學中，教師可以引導學生從矩形和菱形、平行四邊形或四邊形等多種背景、多重層次去抽象和揭示正方形概念 識網絡，形成正方形的概念域（如圖2）。的內涵，使學生在頭腦中繪制正方形概念的知

（二）優化重組，促進復習教學深入進行

基于CPFS結構的教學復習課，立足于學生核心素養的發展，對知識體系和方法規律等進行必要的重構。通過新舊知識的碰撞，引發學生個體CPFS結構的優化、調整和重組，促使學生在原來的知識結構上生長出新的、更加全面完整的知識結構。CPFS結構不斷豐富并擴大，促進了學生進一步的學習[4]

例如，在求二次函數表達式的復習教學中，設如下問題情境：已知二次函數圖像經過點（-6.0）和（2.0），且有最大值為8，請求出此二次函數的表達式，畫出它的圖像并探究它的性質。初中二次函數學習的一個重要內容是用待定系數法求二次函數的表達式，頂點式和一般式是二次函數最常用的兩種表達形式，當二次函數圖像與 x 軸有交點時，也可以運用交點式，這三種形式中的任意一種可以推出其他兩種形式，它們是等價的關系。在這個問題中，引導學生分析所給點的特征，選擇運用哪種形式解決問題并進行比較，形成二次函數表達式的命題域（如圖3）。

在解決上述問題的同時，教師應引導學生對二次函數的圖像和性質進行總結概括，并結合學生的理解進程設計問題。如：求將此二次函數圖像沿著 軸或y軸翻折后的表達式，求拋物線的頂點、與坐標軸交點所圍成的三角形或四邊形的周長及面積等，驅動學生進行層次性探索，從特殊到一般、由易到難，探究二次函數學習的經驗系統。學生綜合運用二次函數的不同形式解決問題，體驗方法的多樣性。在問題解決過程中，不應以“完成習題”為標志，而是以是否形成了合理、完善和優良的CPFS結構為認知目標。本節課不僅僅是讓學生掌握二次函數表達式的求法，更為重要的是明晰了各知識之間的聯系，通過三種表達式命題網絡中知識結點之間的相互激活，突出了問題解決不止于得出答案，更在于關系性理解與認知能力的遷移。

（三）合理定位，形成單元立體知識體系

合理、優良的CPFS結構，一方面表明學生的頭腦中貯存了豐富的知識；另一方面又確定了這些知識的合理定位，容易找到要提取的知識。在教學中，可通過繪制結構圖形成單元知識網絡。結構圖的各要素緊密關聯，與學生頭腦中的數學知識上下勾連、左右貫通，為遷移的產生提供通道。

例如，蘇科版“數據的集中趨勢和離散程度”的單元教學中，可以學校開展的“筑夢天宮，探秘蒼穹”航天知識競賽作為問題情境，給出隨機抽樣的七、八兩個年級學生的成績平均數、中位數、眾數和方差的統計表，合格、良好、優秀等第的條形統計圖。教師提出問題：估計八年級優秀等第的人數，分析哪個年級的學生競賽成績更好些，等等。根據“樣本估計總體”的思想，可知優秀等第的人數，七、八年級的競賽成績可以從平均分相等，而中位數、眾數和方差不同等方面進行分析。平均數、中位數、眾數都是描述一組數據的集中趨勢，其橫向關系表現為平均數的每一個值都參與運算具有精確性，但容易受異常值影響，而中位數和眾數不受異常值影響，能夠較好地刻畫一組數據的集中趨勢但不精確，方差和標準差則描述了數據的離散程度。如果從概念關系看，平均數、中位數、眾數、方差的關系框圖就是最為常見的CPFS結構（如圖4）。此外，用樣本估計總體的思想與已有知識各要素緊密關聯，形成了本單元的立體知識體系。“筑夢天宮，探秘蒼穹”的問題情境激發學生的民族自豪感和文化自信，將德育自然地融入課堂教學之中。

（四）問題導引，激發學生內在學習需要

問題解決是學生CPFS結構的一種表達方式，教師要合理預判學生在學習過程中可能遇到的困難，在教學中創設符合知識發生發展規律、學生思維特點及認知水平的情境與問題，用問題去驅動和激發學生內在的學習需要。同時，根據學生學習的實際情況，以數學知識的邏輯關系與相互聯系為基本依據，整體把握教學內容，為學生搭建知識框架，解決知識的碎片化問題。學生在選擇中獲得結構圖式，建立知識體系，形成CPFS結構。

以“數據的收集、整理和描述”的單元教學為例，教師可提出如下問題：要調查某社區家庭每季度的平均用水量，從本社區家庭中隨機抽取一定戶數，將調查的結果繪制成不完整的用戶季度用水量頻數分布表和頻數分布直方圖，求頻數分布表中的未知頻數和頻率，并補全頻數分布直方圖。在此問題中，教師以“節約用水”為問題情境，引導學生經歷“收集數據一整理、描述、分析數據一作出估計、推斷”的統計過程。這個過程對培養學生的問題解決能力，發展統計觀念十分重要。其中，隨機抽樣、條形統計圖、扇形統計圖、折線統計圖、頻數分布表和頻數分布直方圖等概念和概念關系自然生成，學生頭腦中會自然形成如圖5所示的CPFS結構。

在上述應用數學知識解決問題的過程中，學生利用數學概念原理分析問題，經歷數學活動獲得數學對象和知識結構，說明問題的解決不止獲得解答方案，更在于實踐應用，反映了數學服務生活的和諧與統一。

新課程改革倡導教師的“教”是為學生的“學”服務。基于CPFS結構的初中數學教學實踐，從關注學生的“學”出發，堅持教學與育人融合，寓教育于教學之中，在實踐和反思中引導學生感悟數學思想方法，注重培養學生的理性精神、創新意識和實踐能力，促進學生形成適應終身發展和社會發展需要的必備品格，形成良好的數學認知結構，為新時代背景下深化數學教育改革、落實立德樹人根本任務提供新的思路和方法。

參考文獻：

[1]喻平，單遵.數學學習心理的CPFS結構[J].數學教育學報，2003(1)：12-16.

[2]章建躍.核心素養導向的初中數學教學變革[J]中學數學教學參考，2023(2)：2-5+21.

[3]鄭學明.數學教學中滲透數學史對中學生CPFS結構的影響研究[D].贛州：贛南師范學院，2010：19.

[4]唐萍.基于CPFS結構的初中數學復習教學策略[J]江蘇教育研究，2018(6A)：44-48.

責任編輯：趙贊