基于改進(jìn)遺傳算法的區(qū)間參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化方法

摘要：多目標(biāo)優(yōu)化旨在實現(xiàn)多個目標(biāo)之間的協(xié)調(diào)共存。區(qū)間參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化問題是優(yōu)化領(lǐng)域中的重要挑戰(zhàn)，因其參數(shù)取值為區(qū)間且包含多個目標(biāo)函數(shù)，求解難度較高。為了克服傳統(tǒng)方法在求解此類問題時的局限性，文章對遺傳算法進(jìn)行了優(yōu)化研究，提出了如基于微型多目標(biāo)遺傳算法的區(qū)間多目標(biāo)優(yōu)化直接方法等改進(jìn)遺傳算法，并分析了算法應(yīng)用優(yōu)勢，該算法可以直接求解，結(jié)果收斂性與分布性較好。研究結(jié)果將為相關(guān)領(lǐng)域的研究者提供參考和幫助。

關(guān)鍵詞：區(qū)間參數(shù)；多目標(biāo)優(yōu)化；遺傳算法；NSGA-II；微型遺傳算法

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文章編號：1009-3044（2025）12-0025-03

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0 引言

遺傳算法模擬了生物的遺傳選擇和自然淘汰過程，廣泛應(yīng)用于組合優(yōu)化、自適應(yīng)控制等領(lǐng)域。然而，傳統(tǒng)方法在求解多目標(biāo)優(yōu)化問題時存在一定的局限性，需要對遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化，以解決區(qū)間參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化計算復(fù)雜、求解速度慢等問題。針對遺傳算法的優(yōu)化研究，有助于彌補傳統(tǒng)算法的不足，對提高算法在實際工程問題中的應(yīng)用效率具有積極的意義。

1 傳統(tǒng)方法求解多目標(biāo)優(yōu)化問題的局限性

近年來，多目標(biāo)優(yōu)化問題得到了不斷發(fā)展和完善，其解決方案可以歸納為兩大類：一是將多目標(biāo)優(yōu)化轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題；二是在問題求解中引入最新的演化算法進(jìn)行智能搜索[1]。在具體的實現(xiàn)過程中，常常需要定義區(qū)間參數(shù)模型和目標(biāo)函數(shù)，利用遺傳算法作為求解工具，通過不斷調(diào)整參數(shù)和策略，提高算法的收斂速度和求解精度。

然而，在解決多目標(biāo)優(yōu)化問題時，通常要借助一些轉(zhuǎn)換參數(shù)。這些轉(zhuǎn)換參數(shù)的選擇依賴于問題的先驗信息和背景信息，這是一個較為復(fù)雜的問題，且算法一次僅能得到一個解。為了獲得一套非支配優(yōu)化方案，必須對各個參數(shù)進(jìn)行多次試驗。如果參數(shù)選擇不當(dāng)，將導(dǎo)致求解結(jié)果在目標(biāo)空間中分布不均勻。

此外，有些算法對Pareto前沿面的性質(zhì)非常敏感。要想獲得最優(yōu)解，必須對問題的特征有足夠的了解，這使得利用目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行加權(quán)求和的方法變得更加困難。傳統(tǒng)的單目標(biāo)規(guī)劃算法在一些極端條件下無法進(jìn)行求導(dǎo)，導(dǎo)致傳統(tǒng)的求解方法難以適用。

2 遺傳算法在區(qū)間參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化問題中的優(yōu)化方式

遺傳算法（GA） 是一種模擬生物進(jìn)化過程的優(yōu)化算法，具有全局搜索和自適應(yīng)性的優(yōu)勢，遺傳算法將問題的解看作是一個個體，利用選擇、交叉和變異等操作，不斷改變種群中個體的基因組成，從而尋找最優(yōu)解[2]。針對區(qū)間參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化問題，遺傳算法需要進(jìn)行特殊的處理和改進(jìn)，主要包括以下幾個方面。

1） 區(qū)間參數(shù)模型：將問題中的參數(shù)取值范圍表示為區(qū)間，而非具體數(shù)值，以更全面地考慮問題中的不確定性因素。

2） 目標(biāo)函數(shù)的定義：定義多個目標(biāo)函數(shù)，考慮它們之間的相互影響，必要時可賦予不同的權(quán)重。

3） 最優(yōu)解的求解：利用遺傳算法的選擇、交叉和變異等操作，不斷地優(yōu)化種群，尋找Pareto最優(yōu)解集。

4） 參數(shù)調(diào)節(jié)策略：通過調(diào)節(jié)遺傳算法中的參數(shù)（如交叉率、變異率等） ，提高算法的收斂速度和求解精度。

5） 交互式遺傳算法：在求解過程中引入決策者的偏好信息，通過交互方式得到符合決策者期望的最優(yōu)解。

3 用于區(qū)間參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化問題的改進(jìn)遺傳算法

3.1 基于第二代非支配排序遺傳算法（NSGA-II） 的改進(jìn)遺傳算法

第二代非支配排序遺傳算法（NSGA-II） 是一種創(chuàng)新的遺傳算法，因其在實際應(yīng)用中的顯著優(yōu)勢而備受矚目。為減少算法的復(fù)雜性，NSGA-II引入了快速非支配排序算子。此外，通過采用“擁擠度”概念代替了“共享半徑”，從而引導(dǎo)種群實現(xiàn)平滑和均衡的進(jìn)化過程。與此同時，該算法還采用了精英保留策略，這不僅拓展了優(yōu)化空間，也提高了產(chǎn)生“精英個體”的概率[3]。

NSGA-II與其他遺傳算法相比，其最根本的特點就是快速非支配排序算子，該方法的基本思路是，在群體P中，為每一個體設(shè)定兩個參數(shù)Sp、np；Sp是一個最初為空的集合，專門用于保存所有受p控制的個體，而np是一個初始值為 0 的標(biāo)量，表示群體中支配p的個體數(shù)量。當(dāng)np=0時，表示目前群體中不存在可支配個體p的個體，把目前群體內(nèi)的所有np=0的個體加入群體F1，使其成為目前群體中非支配等級的個體，并將非支配序值賦1。在此基礎(chǔ)上，考察個體p控制的群體Sq，并使其相應(yīng)的參數(shù)nq減去1，如果nq-1=0，那么q就是目前群體中非優(yōu)勢級別最大的個體。在這種情況下，把個體q放到另外一組Q中，然后再對Q中的個體做非支配排序；反復(fù)進(jìn)行上述操作，直到群體P中的所有個體均已完成了非支配順序。

在多目標(biāo)遺傳算法中，保持群體的多樣性是一個關(guān)鍵特征。傳統(tǒng)的遺傳算法通過適應(yīng)值分享和生態(tài)位技術(shù)來實現(xiàn)這一目標(biāo)，然而，在設(shè)定共享參數(shù)dshare和小生境半徑時，常常受到人為因素影響，這可能會降低算法的性能。為了改進(jìn)此問題，NSGA-II 算法引入了擁擠度和擁擠度比較算子來優(yōu)化群體的分布特性。如圖1所示，擁擠度算子的主要機(jī)制是通過計算個體與其鄰近個體之間的歐幾里得距離，評估該個體所在區(qū)域的密集程度。具體來說，個體的擁擠度距離越大，意味著其分布狀況越優(yōu)；反之，則表示其分布相對較差。

精英保留算子不僅能夠保留父代群體中的優(yōu)秀個體，還能明顯提升找到最優(yōu)解的概率，減少迭代次數(shù)，并加速算法的收斂過程。精英保留策略將一個父代種群大小為N的群體Pt與一類人口數(shù)量為N的后代群體Qt合成一類具有2N大小的融合群體Rt。在此基礎(chǔ)上，對群體Rt內(nèi)的所有個體分別進(jìn)行非支配排序和“擁擠性距離”的計算，并根據(jù)最優(yōu)準(zhǔn)則進(jìn)行篩選，最終獲得下一代父代種群[4]。NSGA-II的算法流程如圖2所示。

3.2 結(jié)合局部搜索策略和按需分層的 Pareto前沿方法的改進(jìn)版NSGA-II算法

局部搜索算子能夠改善算法的收斂性能，但容易陷入局部最優(yōu)，且可能導(dǎo)致計算量急劇增加。在高維多目標(biāo)優(yōu)化問題中引入精英移民策略，并通過Pareto優(yōu)勢準(zhǔn)則來尋找最優(yōu)解，并對其進(jìn)行精英遷移，從而降低局部最優(yōu)解的數(shù)量。在此基礎(chǔ)上，運用基于歐幾里得距離的密度度量方法，以度量群體內(nèi)個體的稀疏性，并找出具有較低稀疏性的個體。在A個體附近，根據(jù)極限搜索操作，采用隨機(jī)搜索的方法產(chǎn)生一定數(shù)量的本地個體，加入種群的演化中，使得優(yōu)化結(jié)果更加的均勻。

NSGA-II算法引入局部搜索策略之后優(yōu)勢更加明顯，在群體中存在非均勻性時，通過在稀疏度最小的個體周圍產(chǎn)生多個局部最優(yōu)解，從而加強(qiáng)對稀疏個體周圍區(qū)域的搜索，從而使得優(yōu)化結(jié)果更加的趨于均勻。在非支配解均勻分布的情況下，優(yōu)化解將在邊界之外進(jìn)行搜尋，這樣就增大了解的泛化能力。由于NSGA-II應(yīng)用了隨機(jī)搜索策略，它的收斂速度大大的提高，由此可見，混合局部搜索策略能夠有效地改進(jìn)NSGA-II的分布與收斂性能[5]。

針對計算復(fù)雜度這一問題，可以采用非支配集按需分層方法，其基本思路是，在非支配排序中每次執(zhí)行一個順序，都要對目前已經(jīng)有完整順序的累積數(shù)目進(jìn)行檢查。若截至目前，已經(jīng)結(jié)束非支配排序的累積量超過或等于指定數(shù)目，將終止對其余非支配排序，并利用循環(huán)擁擠度排序算子對多出的多個個體進(jìn)行篩選。針對單次擁擠度計算方法導(dǎo)致個體分布不均勻的問題，可以采用循環(huán)擁擠度排序的方法。這一方法的基本思路是，在F3的截止層上，僅取N-N1-N2個個體，而采用NSGA-II中的單次擁擠度選擇方法，只要將這一層的擁擠程度由高到低依次地進(jìn)行排序就可以。但是，循環(huán)擁擠度排序方法與單次擁擠度排序方法的區(qū)別是，循環(huán)方法剔除F3區(qū)域內(nèi)各個等級中擁擠度距離最短的一個，并對其余區(qū)域進(jìn)行再次計算，最后剔除該區(qū)域內(nèi)擁擠度距離最短的個體，直至F3區(qū)域內(nèi)的N-N1-N2個個體被選中。

3.3 基于微型多目標(biāo)遺傳算法的區(qū)間多目標(biāo)優(yōu)化直接方法（DI-μMOGA）

微型多目標(biāo)遺傳算法（μMOGA） 是一種多目標(biāo)遺傳算法，具有高效性，可用于解決各種實際工程中的優(yōu)化問題。DI-μMOGA以μMOGA為基礎(chǔ)，無須轉(zhuǎn)化原有問題就可以求解。主要包括三個階段，首先，利用蒙特卡洛隨機(jī)模擬來估計進(jìn)化過程中的目標(biāo)區(qū)間。其次，通過結(jié)合區(qū)間數(shù)排序和非支配性分類，開發(fā)出一種區(qū)間非支配分類方法，用于在進(jìn)化過程中選擇和比較群體個體。最后，將傳統(tǒng)的擁擠距離擴(kuò)展為廣義版本，以確保種群的多樣性。DI-μMOGA算法流程如圖3所示。

在優(yōu)化μMOGA算法時，首先要對演化群體進(jìn)行評估，然后確定目標(biāo)函數(shù)及限制值。針對區(qū)間多目標(biāo)優(yōu)化這一問題，目標(biāo)函數(shù)的值和限制值一般是區(qū)間數(shù)，為此需要對內(nèi)層展開尋優(yōu)，以求出目標(biāo)與約束的區(qū)間，從而得到其最優(yōu)解的區(qū)間。在μMOGA算法中，非支配分級是尋找演化群體中的最優(yōu)非支配個體，并根據(jù)非支配等級完成劃分的必要環(huán)節(jié)。在區(qū)間多目標(biāo)優(yōu)化問題中，由于目標(biāo)值是區(qū)間數(shù)，因此在進(jìn)行等級劃分時，需要針對各個個體進(jìn)行比較。為了實現(xiàn)這種比較，我們采用區(qū)間概率對兩個區(qū)間數(shù)進(jìn)行對比，不需要選擇或處理區(qū)間數(shù)的中間點和半徑。這樣的方法能夠與非支配等級相結(jié)合，簡化了比較過程。通過對樣本進(jìn)行區(qū)間非支配排序，將樣本劃分為多個非支配組，而相同非支配組的個體之間沒有可比性，也沒有優(yōu)劣之分。為此，對處于同等非支配性水平的個體，通過計算其擁擠程度，使得處于同一等級的個體之間可以進(jìn)行比較，并且使得其在Pareto最優(yōu)邊界上的分布均勻。

DI-uMOGA算法通過將傳統(tǒng)擁擠距離函數(shù)的差值擴(kuò)展為區(qū)間數(shù)距離，進(jìn)而形成一種廣義擁擠距離。借助個體的廣義擁擠距離，該算法能夠確保群體分布的均勻性和多樣性。比較非支配分級和個體擁擠距離值，可以維持不同等級中非支配個體的多樣性，并確保這些非支配個體在各等級中的分布均勻，有效避免早熟收斂，確保找到多個互不相同且質(zhì)量較高的解。DI-uMOGA無須轉(zhuǎn)化問題，可以直接進(jìn)行求解，并且具備強(qiáng)大的問題解決能力，所得結(jié)果的收斂性能和分布性能優(yōu)于NSGA-II算法所得結(jié)果的性能。該算法可以方便地實現(xiàn)并行化，利用多種群并行結(jié)構(gòu)提高求解效率，更好地適應(yīng)于更復(fù)雜的工程問題，能夠縮短問題的解決時間，提高計算效率。

4 結(jié)論

本文針對區(qū)間參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化問題，研究了遺傳算法的優(yōu)化方法，提出了基于NSGA-II、局部搜索和微型遺傳算法的改進(jìn)算法。通過分析，這些改進(jìn)算法在提高求解精度、加快收斂速度和增強(qiáng)解的多樣性方面具有顯著優(yōu)勢。未來的研究將嘗試應(yīng)用其他優(yōu)化方法，豐富算子設(shè)計，進(jìn)一步提升遺傳算法在多目標(biāo)優(yōu)化問題中的求解效率。雖然存在一些挑戰(zhàn)和局限性，但隨著算法的不斷優(yōu)化和改進(jìn)，遺傳算法在優(yōu)化問題中的應(yīng)用前景仍然十分廣闊。相信在未來的研究和實踐中，遺傳算法將繼續(xù)發(fā)揮重要作用，推動優(yōu)化問題領(lǐng)域的發(fā)展和進(jìn)步。

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【通聯(lián)編輯：光文玲】