基于GeoGebra的探究式教學法應用例析

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中強調了信息技術與數學課程的融合，利用信息化技術設計教育教學已成為教育研究的熱點.特別是在數學教學領域中，目前國內常用的計算機軟件有幾何畫板[2]，GeoGebra，Desmos，Matlab等，而GeoGebra是一款具有繪制幾何圖形、解方程、繪制函數圖象、進行數據分析等功能強大的可動態演示和交互操作的數學軟件，廣泛應用于初高中數學教學中3.它可以幫助學生更直觀地理解抽象的數學概念，為學生通過自主探索和實踐操作來發現數學規律和定理提供了豐富的探索性工具，有助于提高學生學習效率和學習興趣.本研究引導學生主動利用GeoGebra軟件探索二次函數的圖象和性質，將自我探究與小組合作討論相結合，以提高學生的學習熱情，讓學生體會發現知識的樂趣，加深對知識的理解和記憶，培養其創造力和思考力.

初中階段的學生，正處于由具體思維向抽象思維過渡的關鍵階段.引入GeoGebra等動態數學軟件，可以有效地輔助學生理解抽象的數學概念，在函數學習中，通過GeoGebra準確作圖，引導學生直觀地觀察函數的變化，加深對函數性質的理解.

1探究二次函數 的圖象和性質

在八年級下冊的數學課程中，學生已經對一次函數有了基本的了解.通過GeoGebra軟件的輔助，學生可以在實際操作中掌握二次函數圖象的特征，加深對二次函數性質的理解.這不僅有助于激發學生的學習興趣，而且為學生后續學習更高層次的數學知識打下堅實的基礎.通過這種傳統教學與現代信息技術教學方式的結合，我們期待能夠更好地促進學生的數學思維發展，提高他們的數學素養.

1.1探究二次函數 的圖象及畫法

通過對一次函數圖象上有限個點的觀察，學生初步形成了“一次函數圖象上的點都位于同一條直線上”的認知.為了進一步拓展學生對二次函數圖象和性質的理解，利用GeoGebra軟件的動態演示功能，學生能夠從有限個點的觀察，逐步過渡到無限個點的極限思維，深入理解二次函數圖象曲線形態的連續性和光滑性，以及隨著參數變化而發生的圖象變化.這種從具體到抽象的認知過程，有助于培養學生的數學抽象思維能力，提高他們對數學概念的理解和應用能力.

一次函數的研究方法是先研究特殊的一次函數——正比函數 y=k x（k≠0） 的圖象和性質，再研究一般的一次函數 y=k x+b（k≠0） 的圖象和性質，最后通過描點法畫出一次函數的圖象.研究流程如圖1所示.

雖然二次函數和一次函數研究對象有差異，函數也從一次變成二次更加復雜，但是研究的方法都是從特殊到一般，類比一次函數的研究方法.當 a=1 時，利用GeoGebra畫出最簡單的二次函數 的圖象，并探究函數的性質.

為了培養學生的自主學習和探究能力，可以通過探究任務的形式開展教學，課程內容需要利用計算機，所以建議在學校機房或計算機教室上課.為確保課程的有序進行，教師首先要確認學生用的每個計算機都已安裝GeoGebra軟件，并檢查是否順暢運行，再對GeoGebra界面的工具進行簡單的介紹.

函數 的探究任務需要有層次.先探究 y= 的圖象.根據列表法，可以簡單地取自變量在一 3？ x？3 內函數 的幾組對應點列表，表中 x，y 的數值在GeoGebra界面的坐標平面中描點 （x，y） ，并用直線連接坐標系中相鄰的點，得圖2.

提出問題：觀察圖2，坐標系中各點是否同一次函數一樣用直線連接？如果所取的點不在一條直線上，那么怎么得到較為準確的圖象？

學生根據親自在GeoGebra軟件上的操作，可以看到以上5個點不在一條直線上，為了得到更加準確的圖象，利用GeoGebra視圖中的表格功能，取更多的點使得圖象逐漸清晰，學生能夠看得出圖象的趨勢，并用GeoGebra動態功能，用平滑的曲線緩慢順次連接各點，就得到了 y= 的圖象（動態過程可掃碼查看）.

為了得到函數 的性質，再探究 的圖象.進一步用GeoGebra在同一個坐標系中畫出 x2，y=2x2的圖象，并與 y=x2圖象相比較，圖象如圖3所示.

1.2探究系數對二次函數 的影響

討論 的正負是否影響圖象，上面已經研究了agt;0 的情況，現在研究當 alt;0 時的圖象性質.首先，讓學生自己在同一個坐標系中畫出函數 與 y= 的圖象.然后，引領學生通過GeoGebra拖動滑塊觀察 的圖象隨 的變化情況（掃碼看具體過程）.最后邀請小組歸納總結函數圖象性質.得到如下結論：（1）二次函數圖象是拋物線.（2）函數的開口由二次項系數 a 決定.（3） ∣ a∣ 越大則開口越小，反之則開口越大.（4）圖象關于 軸對稱，過點（0，0）.（5）當 agt;0 時開口向上，圖象先減后增，有最小值，最小值為0；當alt;0 時開口向下，圖象先增后減，有最大值，最大值為0.

通過GeoGebra軟件的動態演示，展示了最簡單的二次函數 圖象上點的密集化，即從有限個點逐漸延伸至無限個點.這種直觀的展示方式促使學生能夠真切地感受到這些點是如何分布在拋物線上的，從而幫助他們突破對二次函數圖象理解的難點.GeoGebra軟件以其操作的便捷性和動態效果的清晰展示，極大地促進了學生對函數圖象的直觀理解.

2探究頂點式二次函數 的圖象和性質

頂點式作為二次函數的一種標準形式，不僅揭示了函數圖象的對稱性和頂點位置，而且為求解最值問題提供了直接的方法.

2.1探究二次函數 的圖象和畫法

以小組為單位，操作GeoGebra，畫出函數 y= 的圖象，并設置參數 ，通過左右拖動滑動條改變各參數的值.除了描點畫圖，在GeoGebra輸人欄中我們可以直接輸人函數解析式，GeoGebra軟件會自動生成參數 的滑動條，根據參數的區間設置可以畫出 ， 的圖象，見圖4.

2.2探究系數對二次函數 y=a 的影響

學生用GeoGebra畫出頂點式二次函數的圖象后，通過改變三個參數的值，在課堂上展示小組探討的最終結果，并選擇上述一個二次函數展示其作圖過程并講解.組內其他成員可以對以上圖象進行總結，歸納探討結果，形成記錄表.記錄表反映了頂點式二次函數的圖象與性質，掃碼查看附錄1.

歸納總結：（1）拋物線的開口方向由參數 a 確定，agt;0 時開口向上， alt;0 時開口向下.（2）對稱軸由 h 的值確定，注意“左加右減”（3）參數 k 決定拋物線的上下移動情況.（4）單調性.當 時， y 隨著 x 的增大而減小；當 agt;0，xgt;h 時， y 隨著 x 的增大而增大；當 時， y 隨著 x 的增大而增大；當 時， y 隨著 x 的增大而減小.

反思本次利用GeoGebra學習二次函數的過程，可以針對操作過程中的困難或不足，以及以往描點畫圖式的學習和利用GeoGebra軟件學習的區別進行總結.通過小組交流，可以很好地取長補短.

3探究二次函數 的圖象和性質

我們已經學過頂點式二次函數的圖象與性質，可以利用頂點式的研究結論來研究一般式的二次函數圖象及性質.

3.1探究一般形式二次函數 的圖象及畫法

3.2探究一般式與頂點式的轉化

4結語

本課程設計將GeoGebra軟件應用于新課的學習中，學生親自動手操作，在以往學過的知識點基礎上，通過GeoGebra操作，探討交流，建構新的知識，豐富自身知識體系.GeoGebra提供了一個探索性學習的環境，學生可以通過自己動手操作來探索數學概念.這種學習方式能夠激發學生的興趣和好奇心，培養他們的自主學習能力.教師可以根據學生的實際情況，設計個性化的學習任務和活動，利用GeoGebra來幫助學生解決具體的問題.這樣的個性化學習方式能夠更好地滿足學生的學習需求，提高學習效果.

學生通過GeoGebra調整參數觀察二次函數圖象的變化，這一過程顯著加深了他們對數學概念的理解，通過GeoGebra，學生不僅獨立探索動態幾何構造和函數性質，還在小組合作中積極交流，共同完成了探究項目.這些活動不僅展示了他們的學習成果，也體現了團隊合作的精神.學生對GeoGebra的積極反饋，以及他們在面對挑戰時的解決方案，證明了該軟件在實際教學中的應用價值.教師根據學生的探究成果，調整教學策略，優化GeoGebra的使用，進一步提升了教學效果.筆者經過長期跟蹤與研究還發現，GeoGebra的使用對學生的長期學習有著積極的影響.此外，信息技術與數學課程的融合，不僅提升了學生的探究熱情，開闊了他們的視野，還激發了他們的想象力，提高了信息素養.

雖然GeoGebra在教學中有很多優勢，但也存在一些挑戰和不足之處.要充分發揮GeoGebra的作用，需要教師和學生共同努力，加強對工具的理解和使用，合理設計和安排教學活動，確保教學效果的最大化.本研究存在的不足之處在于GeoGebra課程設計僅在設計階段，尚未在課堂上實施，存在不確定因素.