淺析含彈簧桿件在沖擊載荷下的能量分配

中圖分類號：G642

文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2025.12.003

AbstractIn the teaching processofmaterials mechanics，students arestillunable to solve complex problems such as thestabilityofcomposite membersanddynamicload problems.Thearticleanalogizes therodwiththespring familiarto studentsthroughexamples，anduses thespringmodeltosolveandanalyzetheenergydistributionproblemoftherodunder impactloadusingtheenergy method.Thisnotonlyhelps studentsto haveadeeperunderstandingofcomplex impact problems in material mechanics，butalsohascertain teaching significance forstudents totrytoestablish simplified mechanical models to analyze and solve impact problems in engineering.

Keywordsspring;stiffness coefficient; impact; energy method

經過中學課程的學習，學生往往已對彈簧的胡克定律、彈簧的彈性勢能等有了初步認識。進入大學之后，材料力學是學生學習的第一門變形體力學，研究對象主要是桿件。雖然研究對象不同，而且在材料力學課程中很少看到彈簧，但是如果將桿件與彈簧進行類比，學生往往能夠基于已有的彈簧知識更好地理解和解決材料力學中的力學問題。在將桿件類比成彈簧時，首先需要確定等效彈簧剛度系數，然后通過類比的方法解決問題。文章將基于此展開，以期幫助學生理解一些相對復雜的材料力學問題，并將彈簧模型進一步拓展到更為復雜的結構及彈塑性沖擊問題，為學生學習、研討及本研一體化教學起到拋磚引玉的作用。

1基于能量法的沖擊問題分析

沖擊應力分析是材料力學動載荷部分的重要教學內容[-2]。學生通常能較好地分析重物自由下落撞擊一根桿件的情況，他們常采用的方法是利用計算得到的動荷系數，代入公式后計算出相應的最大沖擊載荷、位移、應力等，但是對于相對復雜的問題，如組合桿系、桿一彈簧組合系統卻不能較好地利用能量守恒定律給予解答。在利用能量守恒定律求解時，需要確定沖擊開始相對于沖擊結束的能量轉換關系。當把桿件類比成彈簧時，往往更容易理解和求解該類沖擊問題。例如，如圖1所示（p9），包含彈簧的桿件沖擊問題是教材中常見的例題，圖1（a）和（b）中AC梁的兩端分別用鉸支座和彈簧支撐。直接利用計算動荷系數的方法雖然很容易給出動載荷下的相應結果，但是學生可能并不清楚彈簧在沖擊過程中到底扮演了什么角色，是僅僅增大了靜位移、降低了動荷系數而實現了緩沖目的？還是也吸收了一部分沖擊能量？如果吸收了能量，吸收了多少沖擊能量？如果在工程中遇到緩沖問題時，怎么分析和設計呢？

為了解答這些疑惑，可將AC梁類比成彈簧。線彈簧的剛度系數k可以通過F/4確定，F和4分別為彈簧彈力和彈簧變形量。基于該定義，可以確定桿件的等效彈簧剛度系數。假設AC梁的橫截面為矩形，梁的長度、高度和寬度分別為1、h和b，彎曲剛度EI為常數，AC梁B截面沿垂直方向的等效彈簧剛度系數可寫為 。假設兩個支撐彈簧的剛度系數均為 α為 和 之比。

科教前沿

若重物G自梁中部上方高度 處自由下落， β 為無量綱下落高度參數，計算梁跨中B截面的動撓度。圖1（a）和（b）中B截面的靜撓度 和 分別為

其中上標（a）和（b）分別對應于圖1（a）和（b），下標st、AC和 sprig分別表示靜載荷、AC梁和彈簧， 分別為

由式（1）和（2）可以得到

令下標d表示動載荷，在動載荷下亦應當滿足

其中 為圖1（b）中B截面的動撓度。針對圖1（a）和（b）兩種情況，由能量守恒定律分別有

其中 為圖1（a）中B截面的動撓度。將式 （ 4 ） ， H ， 和 代入式（5），利用式（1），解得

由式（6）可以求出圖1 （b）與圖1（a）中B截面的動撓度之比γ為

由式（7）可知，若下落高度 β ; 給定，當 時，即圖1（a）的兩端鉸支座支撐情況，有y→1。進一步計算出圖1（a）中

AC梁的應變能 圖1（b）中AC梁的應變能 和圖1 （b）中2個支撐彈簧吸收的沖擊能量 分別為

由式（8）和（9）可以得到圖1（b）與圖1（a）中AC梁的應變能之比n為

由式（11）可知，若下落高度β給定，當 時，有 。

根據式（7）和（11），在圖（a）和（b）中分別給出了y和n隨a 變化的關系曲線。可以看出，對于給定的下落高度β，始終有 ? 1 和 由此可知，有彈簧支撐時B截面的動撓度雖然更大，重物自由下落損失的勢能更多，但是由于沖擊能量由AC梁和彈簧共同承擔，AC梁的應變能反而更小。由功能原理可知，作用于AC梁上的動載荷更小，梁內的最大動應力更小，結構更安全。另外，當彈簧剛度系數α給定時，隨著β的增大，y和n均減小，即在桿件和彈簧均滿足強度條件的情況下，隨著重物下落高度的增加，彈簧吸收的能量與該高度自由下落重物損失的勢能之比更大。另外，若 （ a → 0 ，相當于在任何微小彈簧力作用下彈簧的變形量趨于無窮，顯然在現實生活中并不存在，而且與材料力學的小變形假設也不相符，因此在圖2（p10）中 a 的最小值均較小，但未取為零。至此，彈簧及桿件的能量分配情況已經清楚了。若圖1（b）中的彈簧為真實的桿件而非彈簧，則組成桿系結構。因此，對于實際的組合桿系問題，可作類似求解和分析，看似復雜的問題也就迎刃而解了。

2沖擊問題的工程拓展

如果實際遇到的工程問題不是桿件，是否也可以作類似的分析呢？或者當沖擊載荷比較大時，結構內的最大應力超過材料的屈服應力后，材料會進入塑性狀態，這時的彈簧剛度系數又怎么確定呢？結合實際工程中的沖擊問題及材料力學的知識，舉個簡單例子：金屬環/管陣列在沖擊防護工程中廣泛應用，在設計金屬環/管陣列防護結構時，需要了解該類結構在沖擊載荷下的變形和破壞特點。如圖3（a）左圖所示，單個矩形截面的圓環受到一初始速度為V0的重物垂直撞擊，可以將圓環簡化為一根等效剛度系數為k、質量為m的彈簧，如圖3（b）右圖所示。彈簧等效剛度系數的確定與前述方法相同，沿圓環直徑的兩端施加一對壓力 F ，通過實驗或數值仿真得到圓環兩端的相對位移D，不斷加大 F ，使結構由彈性進入塑性狀態，由 可以計算出其等效的彈性和塑性彈簧剛度系數。

若圓環滿足小曲率、線彈性和小變形條件，可利用材料力學的單位載荷法求解靜不定問題后，計算出其等效的彈性剛度系數為 ，式中R為圓環的半徑。

對于圖3（b）所示的圓環列，可以將其等效為一列串聯的彈簧。隨著環的數目增多，彈簧的數目也相應增加。若每個環的尺寸、材料不一樣，每個彈簧的等效剛度系數也不同。通過設計不同環的彎曲剛度、尺寸和放置順序，可以獲得預期的沖擊能量分配效果，該方法還可以擴展到不規則的結構，如飛機起落架、飛機等復雜的塑性沖擊問題[45]。

3結語

彈簧模型是一種簡單的力學模型。文章通過例題介紹了利用彈簧和桿件的類比方法，分析彈簧緩沖沖擊能量的原因、沖擊能量的分配及復雜沖擊問題的求解方法，對材料力學課程的教學及培養學生基于工程思維簡化和分析一些復雜的工程問題有一定的教學意義。但同時，由于材料力學中關于桿件沖擊應力和變形的分析是基于工程的簡化方法，如被沖擊物的質量忽略不計等，因此教師在教學中還應引導學生探討相應的沖擊分析方法及結果的局限性，激發學生學習后續課程的興趣。

基金項目：國家自然科學基金資助項目（12472376）。

參考文獻

[1] 單輝祖.材料力學[M].：高等教育出版社，2016.

[2] 單輝祖.材料力學問題、例題與分析方法[M].：高等教育出版社，2006.

[3] 邢運，張橋，楊先鋒，等.仿生梯度圓環防護系統的耐撞性設計[J].航空學報，2022，43（6）：526194.

[4] 楊嘉陵，吳衛華，趙巖，等.跪式起落架在武裝直升機墜毀過程中能量吸收能力研究（II）一理論模型分析方法[J].航空學報，2002，23（1）：28-32.

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