解讀彈簧振子模型

彈簧振子是重要的簡諧運動模型，簡諧運動為加速度時刻變化的直線運動，其加速度大小與物體的位移大小成正比.

1彈簧振子的成立條件

如圖1所示，小球和彈簧組成的系統(tǒng)稱為彈簧振子.彈簧振子是一種理想化模型，其成立條件包括：彈簧的質(zhì)量與小球的質(zhì)量相 圖1比可以忽略；小球運動時空氣阻力很小，可以忽略；小球與桿之間無摩擦.

一例1如圖2所示為一彈簧振子的振動圖像，試回答以下問題：

（1）寫出該振子的振幅、周期及簡諧運動的位移時間關(guān)系表達式；

（2）求在 t = 1 9 s時振子相對平衡位置的位移和振子在前 1 9 s 內(nèi)的路程.

O （1）由圖像可知，該振子振幅和周期分別為 解析 A = 5c m， T = 4s ，圓頻率和初相分別為 ω = rad· ，故有 （cm）.

衡位置后，一定受到指向平衡位置的回復力，回復力的大小與位移的大小成正比，方向與位移的方向相反.

例2如圖3-甲所示，輕質(zhì)彈簧上端固定，下端連接質(zhì)量為m 的小球，構(gòu)成豎直方向的彈簧振子.取小球平衡位置為 x 軸原點，豎直向下為 x 軸正方向，讓小球在豎直方向振動起來后，小球在一個周期內(nèi)的振動圖像如圖3-乙所示，若""時刻彈簧彈力為0，重力加速度為 g ，則（ ）.

（2）將 ? = 1 9 s 代人振子位移時間關(guān)系的表達式中，得 x = - 5 c m ，因 ，所以振子在前 1 9 s 內(nèi)的路程

A.彈簧勁度系數(shù)為

B.0時刻彈簧彈力大小為 m g

C. 時間內(nèi)，回復力沖量為O

D. 時間內(nèi)，小球動能與重力勢能之和增大

做簡諧運動的振子的位移是指從平衡位置指向振子所在位置的有向線段.解題時要區(qū)分位移大小和路程的概念，振子做一次全振動，所經(jīng)過的路程為四個振幅.

2 理解振子的受力特征

振子的位移是指振子相對平衡位置的位移，即從平衡位置指向振子所在位置的有向線段.振子離開平

當小球平衡位置為 x 軸原點，豎直向下為 x 軸正方向， 時刻彈簧彈力為0，小球位移大小為A，有kA=mg，得勁度系數(shù)k=mg， ，故A正確；0時刻小球在正的最大位移處，彈簧形變量為 2 A ，則彈力大小 F = k × 2 A = 2 m g ，故B錯誤; 時間內(nèi)，小球從平衡位置沿負方向振動再回到平衡位置，回復力一直沿正方向，由 I= Ft 知，回復力沖量不為0，故C錯誤; 時間內(nèi)，小球從最高點振動到最低點，由能量守恒定律可知，彈簧的彈性勢能和小球的機械能相互轉(zhuǎn)化，因彈簧的彈性勢能一直增大，則小球動能與重力勢能之和減小，故D錯誤.

點 評

彈簧振子系統(tǒng)在豎直面內(nèi)的振動也為簡諧運動，回復力為彈簧彈力和重力的合力，和水平方向彈簧振子的區(qū)別在于平衡位置不同.

3理解彈簧振子的運動特征

彈簧振子做簡諧運動時，其速度的大小與加速度的大小是互相關(guān)聯(lián)的，即振子的加速度增大時，振子的速度減小，振子的加速度減小時，振子的速度增大.

例3如圖4-甲所示，彈簧振子以點O為平衡位置，在 M ， N 兩點之間做簡諧運動.取向右為正方向，振子的位移 x 隨時間 t 的變化如圖4-乙所示，下列說法正確的是（ ）.

A. 0 . 8～1 . 2 s 內(nèi)，振子的加速度逐漸增大B. t = 0 . 1 s和 t = 0 . 7 s時，振子的速度相同C. t = 0 . 8 s 時，振子受到的回復力最大D. 0 . 4～1 . 2 s內(nèi)，振子的動能先減小后增大

0 . 8 ～ 1 . 2 s內(nèi)，振子由平衡位置向負向最大位移處運動，其加速度逐漸增大，故選項A正確； t = 0 . 1 s和 t = 0 . 7 s 時，振子經(jīng)過同一位置，速度大小相等，但速度方向相反，所以振子的速度不同，故選項B錯誤； t = 0 . 8 s時，振子位于平衡位置，受到的回復力為0，故選項C錯誤； 0 . 4～1 . 2 s 內(nèi)，振子由正向最大位移處向負向最大位移處運動，其動能先增大后減小，故選項D錯誤.

彈簧振子在平衡位置時，位移為0，速度最大，加速度最小，回復力最小；在振幅處時，位移最大，速度最小，加速度最大，回復力最大.

4理解彈簧振子的能量特征

簡諧運動的能量是指振動系統(tǒng)的機械能.振動過程就是動能和勢能相互轉(zhuǎn)化的過程.在最大位移處，勢能最大，動能最小.在平衡位置處，動能最大，勢能最小.對確定的振動系統(tǒng)，機械能跟振幅有關(guān)，振幅越大，機械能越大，振動越強.在簡諧運動中，振動系統(tǒng)的機械能守恒，所以是等幅振動，是一種理想化模型，一例4如圖5所示，勁度系數(shù)為 k 的輕彈簧下端掛一質(zhì)量為 的小球（可視為質(zhì)點），小球在豎直方向上做簡諧運動，彈簧對小球的拉力 F 隨時間 變化的圖像如圖6所示.已知彈簧彈性勢能的表達式為 為彈簧的形變量，重力加速度為 g .下列說法正確的是（ ）.

A.在振動過程中，彈簧的彈性勢能和小球的動能總和不變B.小球的振幅為 C.小球在平衡位置時彈簧彈性勢能為 D.小球的最大加速度為 3 g

彈簧與小球組成的系統(tǒng)機械能守恒，故在振動過程中，彈簧的彈性勢能和小球的機械能總和不變，故選項A錯誤；小球處于最高點時，彈簧的 （20壓縮量 ，小球處于最低點時，彈簧的伸長量 由對稱性得 ，得小球的振幅 ，故選項B正確；小球在平衡位置時，彈簧的伸長量 ，小球在平衡位置時彈簧的彈性勢能 ，故選項C錯誤；小球在簡諧運動的最大位移處加速度最大，可知小球在最高點和最低點處時加速度最大，則 ，解得小球的最大加速度a m "= 2 g"，故選項D錯誤.

點彈簧振子關(guān)于平衡位置對稱，小球在最低點時，彈簧伸長，對應(yīng)彈力為 3 m g ，小球在最高點時，彈簧壓縮，對應(yīng)彈力為 m g ，彈性勢能不對稱，但在最高點和最低點，由于小球機械能守恒，故彈簧彈性勢能和小球重力勢能之和相等，具有對稱性.

彈簧振子模型是物理學中的典型模型，分析思路比較固定，但由于彈簧彈力是變力，涉及彈簧的力學問題往往都具有隱蔽性，試題思維含量高，應(yīng)該以不變的模型為基礎(chǔ)，靈活分析運動過程，應(yīng)用相關(guān)規(guī)律，

（完）