非點電荷帶電體的電場疊加

《中國高考評價體系》中指出：學(xué)科素養(yǎng)是指即將進入高等學(xué)校的學(xué)習(xí)者在面對生活實踐或?qū)W習(xí)探索情境時，能夠在正確的思想價值觀念指導(dǎo)下，合理運用科學(xué)的思維方法，有效整合學(xué)科相關(guān)知識，運用學(xué)科相關(guān)能力，高質(zhì)量地認識問題、分析問題、解決問題的綜合品質(zhì).非點電荷帶電體的電場疊加，能有效地考查學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)，其中蘊含了很多物理中的科學(xué)思維方法，一直備受高考命題專家的青睞，這也是其在近幾年高考試題中屢屢出現(xiàn)的原因.常見的非點電荷帶電體有帶電圓環(huán)（弧）、球殼、圓盤、桿等.在解決非點電荷的帶電體周圍產(chǎn)生的電場疊加問題時，常用的科學(xué)思維方法有微元法、對稱法、補償法、等效法、極限法和量綱法等.

1微元法

非點電荷帶電體不是點電荷，它周圍產(chǎn)生的電場不能直接用點電荷的場強公式求得.這時可采用微元法先將帶電體變成點電荷，將帶電體分成許多電荷元，每個電荷元看成點電荷，先求出每個電荷元產(chǎn)生的場強，再利用疊加原理求出合場強.

例1如圖1所示，均勻帶電圓環(huán)所帶電荷量為 Q ，半徑為 R ，圓心為 為垂直于圓環(huán)平面中心軸上的一點， O P = L ，試求 P 點的場強.

如圖2所示，設(shè)想將圓環(huán)等分成 n 個小段，當(dāng) n 相當(dāng)大時，每一小段都可以看成點電荷，其所帶電荷量 ，由點電荷場強公式可求得每一小段帶電體在 P 處產(chǎn)生的場強為 .由對稱性知，各小段帶電體在 P 處產(chǎn)生的場強 E 垂直于中心軸的分量 相互抵消，而其軸向分量 之和即為帶電圓環(huán)在 P 處產(chǎn)生的場強 ，則 k Q L／ （ R"2"+ L 2 "） 3／"2"，方向沿中心軸線

2 對稱法

非點電荷帶電體通常為一些對稱圖形，利用空間上對稱分布的電荷形成的電場具有對稱性的特點，可使復(fù)雜電場的疊加問題大為簡化.

2.1 圓弧（或球殼）形對稱

圓弧（或球殼）形帶電體，在圓（或球）心處產(chǎn)生的電場強度的方向沿其角平分線方向或沿其中心對稱軸方向.

例2如圖3所示，圓心位于O 點、半徑為 R 的絕緣細圓環(huán)由三段長度相同的圓弧 A B ， B C 和CA組成，環(huán)上均勻分布著電荷量為 Q 的正電荷.現(xiàn)取走圓弧 A B ，余下圓弧上剩余的電荷分布不變，靜電力常量為 k ，下列說法正確的是（ ）.

A. O 點的電場強度方向從 C 指向 O

B. O 點的電場強度方向從 O 指向 C （204號

C. O 點的電場強度大小為

D. O 點的電場強度大小為 （2號

方法1由對稱性可知，圓弧 C A 在 O 點產(chǎn)生的電場強度方向沿 O B 方向，圓弧 B C 在O 點產(chǎn)生的電場強度方向沿 O A 方向，且它們大小相等，互成 角，如圖4所示，則 O 點的電場強度方向為從 C 指向 O

方法2如圖5所示，取走圓弧 A B 后分別沿BO方向和 A O 方向延長至圓弧上 D 點和 E 點，由對稱性可知，圓弧 D A 和圓弧 B E 在 O 點產(chǎn)生的電場強度相互抵消，則 O 點的電場強度為圓弧 D E 產(chǎn)生的電場強度，由對稱性可知， O 點的電場強度方向為從 C 指向O.圓弧DE所帶電荷量為 ，由微元法可知，其在 O 點產(chǎn)生的電場強度小于 3R2， 選項C、D錯誤，故選項A正確.

例3正電荷均勻分布在半球面上，它們在此半球的球心 O 處產(chǎn)生的電場強度大小為 ，現(xiàn)用一個通過 O 點且與半球底面成 的平面把半球面切分出一個“小瓣\"球面，如圖6所示，所分出的“小瓣\"球面上的電荷在 O 點處產(chǎn)生電場強度大小為（ ）.

A B. V 3 E。 D. E。 2

半球球心 O 處的電場強度 可看成大小“兩瓣\"球面上電荷產(chǎn)生的電場疊加的結(jié)果.根據(jù)對稱性，每瓣球面產(chǎn)生的電場強度的方向沿其中心對稱軸方向，作出“兩瓣”球面上電荷在 o 點產(chǎn)生的電場矢量圖，如圖7所示，可得“小瓣”球面上電荷在 O 點處產(chǎn)生的電場強度大小 故正確選項為B.

2.2 圓盤形對稱

均勻帶電圓盤體在軸對稱的兩側(cè)距離相等處電 場強度大小相等、方向相反.

例4如圖8所示，一圓盤上均勻分布著電荷，在垂直于圓盤且過圓心 的軸線上有 三個點， a 和 和 和 d 間的距離均為 R ，在 點處有一電荷量為 q （ q gt; 0 ） 的固定點電荷，已知 b 點處的場強為零，則 d 點處場強為.

A.k ，水平向左 B. ，水平向右 C. ，水平向左 D. ，水平向右

電荷量為 q 的點電荷在 b 點處產(chǎn)生的電場強度大小為E = kq ／ R2 "R，方向水平向右.因b點處的場強為0，則圓盤在 b 點處產(chǎn)生的電場強度大小亦為 Ed = k q / R 2 "，方向水平向左.圓盤帶正電荷，由對稱性可知，圓盤在 d 點處產(chǎn)生的電場強度大小為 R2，方向水平向右.而電荷量為q的點電荷在d 點處產(chǎn)生的電場強度大小為 9R2，方向水平向右，兩個電場強度方向相同，所以 d 點處合場強大小 E合= E d"+ E'= k 1 0 q/ 9 R 2 "，方向水平向右，故選項D正確.

2.3 桿對稱

均勻帶電桿，在其垂直平分線上的距離相等的位置電場強度大小相等、方向相反；沿桿方向，距離桿兩端相等距離的位置電場強度大小相等、方向相反.

例5（2024年河北卷）如圖9所示，真空中有兩個電荷量均為 q （ q gt; 0 ） 的點電荷，分別固定在正三角形 A B C 的頂點 B ， C 處 M 為三角形 A B C 的中心，沿A M 中垂線對稱放置一根與三角形共面的均勻帶電細桿，電荷量為 .已知正三角形ABC的邊長為 點的電場強度為0，靜電力常量為 k ，則頂點 A 處電場強度大小為（ ）.

A. B

解析

B ， C 點的電荷在 M 處產(chǎn)生的合場強大小為 ，方向沿 M A 方向，因 M 點的合場強為零，則帶電細桿在 M 點產(chǎn)生的場強大小為 ，方向沿 A M 方向.由對稱性可知，帶電細桿在 A 點產(chǎn)生的場強大小為 ，方向沿 M A 方向，因此 A 點合場強大小為 cos30°= ，故選項D正確.

3補償法

將有缺口的帶電圓環(huán)補全為完整圓環(huán)，或?qū)肭蛎嫜a全為整個球面，再利用矢量差來求解不全帶電體在某處產(chǎn)生的電場.

例6均勻帶電的球殼在球外空間產(chǎn)生的電場等效于電荷集中于球心處產(chǎn)生的電場.如圖10所示，在半球面 A B 上均勻

分布著正電荷，總電荷量為 q ，球面半徑為 R ， C D 為通過半球面頂點與球心 O 的軸線，在軸線上有 M ， N 兩點， O M = O N = 2 R .已知 M 點的場強大小為 E ，則N 點的場強大小為（ ）.

A. B. （202 （20 C. D.

如圖11所示，左半球面 A B 上的正電荷在 M 點產(chǎn)生的場強等效為帶電荷量為 2 q的整個球面在 M 點產(chǎn)生的場強減去帶電荷量為 q 的右半球面在 M 點產(chǎn)生的場強.設(shè)帶電荷量為 q 的右半球面在 M 點產(chǎn)生的場強大小為 ，則 2R-E'.由對稱性可知，帶電荷量為 q 的右半球面在 M 點產(chǎn)生的場強大小與帶正電荷量為 q 的左半球面在 N 點產(chǎn)生的場強大小相等，則En=E'= ，故選項A正確.

4等效法

非點電荷帶電體在空間某處產(chǎn)生的電場，可等效為某一熟悉的模型產(chǎn)生的電場.如均勻帶電的球殼在球外空間產(chǎn)生的電場等效于電荷集中于球心處產(chǎn)生的電場，即點電荷模型.

例7 一無限大接地導(dǎo)體板MN前面放有一點電荷+ Q ，它們在周圍產(chǎn)生的電場可看作是在沒有導(dǎo)體板MN存在的情況下，由點電荷 + Q 與其像電荷一Q共同激發(fā)產(chǎn)生的.像電荷 - Q 的位置就是把導(dǎo)體板 M N 當(dāng)作平面鏡時，點電荷 + Q 在此鏡中的像點位置.如圖12所示，已知 + Q 所在位置 P 點到導(dǎo)體板MN的距離為 L ， a 為 O P 的中點，abcd是邊長為 L 的正方形，其中 a b 邊平行于 M N .則（ ）.

A.a點的電場強度大小 E = 4 k "Q/L"2"B.a點的電場強度大小大于 b 點的電場強度 大小 C.b點的電場強度和 點的電場強度相同 D.一正點電荷從 a 點經(jīng) 運動到 d 點的過程 中電勢能的變化量為零

點電荷 + Q 和導(dǎo)體板 M N 周圍空間電場與等量異種點電荷產(chǎn)生的電場模型等效，所以a 點的電場強度大小

選項A錯誤；等量異種點電荷周圍的電場線分布如圖13所示，則 兩點的場強方向不同，選項B正確，C錯誤；由于 a 點的電勢高于 d 點的電勢，所以一正點電荷從 點經(jīng) 運動到 d 點的過程中靜電力做正功，電荷的電勢能減小，選項D錯誤.故選B.

5 極限法

極限法是把某個物理量推向極端，再進行科學(xué)推理分析，得出判斷或?qū)С鲆话憬Y(jié)論的方法.

例8如圖14-甲所示，半徑為 R 均勻帶電圓形平板，單位面積帶電荷量為 σ ，其軸線上任意一點 P （坐標(biāo)為 x ）的電場強度可以由庫侖定律和電場強度的疊加原理求出：大小為 ]，方向沿 x 軸.現(xiàn)有一單位面積帶電荷量為 σ 的無限大均勻帶電平板，從其中間挖去一半徑為 r 的圓板，如圖14-乙所示.則圓孔軸線上任意一點 Q （坐標(biāo)為 x ）的電場強度大小為（ D.

r x A. 2πko B.2πkσ （r2 +x2） （r2+x2） 0

將挖去的圓板補上，復(fù)原無限大均勻帶電平板，設(shè)無限大均勻帶電平板在 Q 點產(chǎn)生的場強為 E ，補回來的半徑為 r 的圓板在 Q 點產(chǎn)生的場強為 ，待求的場強為 ，由電場疊加原理有 E = ，半徑為 r 的圓板在 Q 點的場強 ： ?].當(dāng)R無限大時，圓板變成無限大帶電平板，則 ，因此，無限大均勻帶電平板在 Q 點的場強 E = 2 π k σ ，可得無限大均勻帶電平板挖去一半徑為 r 的圓板后在 Q 點產(chǎn)生的場強 ，故選項B正確.

6 量綱法

量綱法是物理學(xué)中一種非常重要的方法，通過對物理量的量綱進行分析，可揭示物理量之間的關(guān)系.有關(guān)非點電荷帶電體在空間某處產(chǎn)生的場強的問題，很多在中學(xué)階段都是無法求解的，但對于給出的答案可以通過量綱分析判斷其是否正確.

一例9電場強度是描述電場強弱的物理量，它的定義為 ，其中 E 為電場強度， q 為一個電荷的帶電荷量，單位為C（庫侖）， F 為該電荷在電場中所受的力.如圖15所示，為一個內(nèi)、外半徑分別為 和 的圓環(huán)狀均勻帶電平面，其單位面積帶電荷量為σ ，單位為 .取環(huán)面中心 O 為原點，以垂直于環(huán)面的軸線為 x 軸.設(shè) x 軸上任意點 P 到 O 點的距離為 點電場強度的大小為 E .下面給出 E 的四個表達式（式中 k 為靜電力常量，單位為 ），其中只有一個是合理的.你可能不會求解此處的場強 E ，但是可以通過一定的物理方法分析，對下列表達式的合理性作出判斷.根據(jù)你的判斷， E 的合理表達式應(yīng)為（ ）.

A. B. C D

場強的單位為 為靜電力常量，單位為 為單位面積的帶電荷量，單位為 ，可得表達式 2 π k σ 的單位為 ，與場強的單位相同，故上述各選項的表達式中其他部分應(yīng)無單位，可得選項A、C錯誤.當(dāng) x = 0 時， P 點與 O 點重合，由對稱性可知， ；當(dāng) x → ∞ 時， E0 ，而D項中 x → ∞ 時 E → 4 π k σ ，則選項B正確，D錯誤.故選B.

求解非點電荷帶電體的電場疊加問題時，所用的這幾種常見方法，并不是孤立的，而是相互聯(lián)系的.在應(yīng)用某一個方法解決某一問題時，可能還需要應(yīng)用其他方法，對方法靈活應(yīng)用才能有效解決問題.

（完）