幾種情境下的彈簧類問題探析

彈簧是高考中常見的力學(xué)元件，涉及的問題種類繁多.許多學(xué)生雖然清楚彈簧的基本性質(zhì)和涉及的問題種類，但在面對含有彈簧類的問題時依舊不知如何下手.本文通過對不同情境下的彈簧類問題的探討，總結(jié)該類問題的解題方法，

1彈簧的突變問題

例1如圖1所示，三個質(zhì)量均為 的相同木塊a， b， c 和兩個勁度系數(shù)均為 k 的相同輕彈簧 ρ ? q 用輕繩連接，桌面光滑.給彈簧 的左側(cè)一端施加外力，當(dāng)木塊 即將脫離地面時，木塊 a， b， c 將移動多少距離？此時，若將 之間的輕繩燒斷，燒斷瞬間 a， b， c 的加速度為多少？

初狀態(tài)時，彈簧 p 不受力，彈力為0.木塊 靜止，輕繩對 b 無拉力作用，所以 b 受重力和彈簧 q 對其的支持力，此時彈簧 q 的彈力大小為m g ，處于壓縮狀態(tài).

末狀態(tài)時，木塊 ∣ c ∣ 即將脫離地面，地面對木塊

的支持力為0，所以 受重力和彈簧 q 對其向上的彈力作用，此時彈簧 q 的彈力大小為 m g ，處于伸長狀態(tài).彈簧 p 的彈力大小等于輕繩的拉力大小，對

整體受力分析知，彈簧 p 此時的彈力為 2 m g .取向上（左）為正方向，對彈簧 有

；對彈簧 q 有

（20彈簧 p 對木塊 a 的移動距離無影響，則木 （20

塊 a 的移動距離等于彈簧 q 的形變量，即 .木塊 b 的移動距離也為彈簧 q 的形變量，即 .在燒斷輕繩的瞬間，輕繩的拉力消失，彈簧的彈力不變.受力分析有 a 在水平方向僅受彈簧 對其的彈力作用，有 受豎直向下的重力和彈簧 q 對其的彈力作用，所受合力為 2 m g ，有 2 g ： c 的受力情況不改變，所以 的加速度

輕質(zhì)彈簧的基本問題體現(xiàn)在兩個方面：1）利用胡克定律求彈簧的端點位移；2）在突變情境中求物體加速度.這里涉及輕質(zhì)彈簧的兩個基本性質(zhì)：1）輕質(zhì)彈簧無重力，形變是因為兩端同時受力，且兩端受力相等；2）突變過程中，彈簧的彈力在一瞬間不發(fā)生變化.只有清楚了輕質(zhì)彈簧的基本性質(zhì)，才能夠在面對復(fù)雜問題時游刃有余.

2 彈簧連接體的動態(tài)平衡

例2如圖2所示，有一由豎直擋板OP和水平擋板OQ構(gòu)成的“L\"形光滑擋板，在它上面放置一用輕質(zhì)彈簧連接的小球a、b構(gòu)成的連接體.現(xiàn)給小球 一水平向左的推力 F ，使整個系統(tǒng)靜止.若將小球 b 向左緩慢推動一段距離，則.

A.彈簧變短

B.擋板OQ的支持力變大 C.力 F 變小

D. a 對擋板 O P 的壓力增大

對連接體整體受力分析（如圖 初末時刻均處于平衡狀態(tài)，合力為零，所以擋板O Q 的支持力 ，不變，選項B錯誤 a 對擋板 O P 的壓力 ，二者如何變化不確定.隔離 a 對其進行受力分析（如圖4），設(shè) 與水平方向的夾角為 θ ， a 受力平衡，有 在向左推動 b 的過程中， θ 增大， sin θ 、tan θ 均增大， 和 均變小.由胡克定律知，彈簧形變量變小，彈簧長度變長.故選項A、D錯誤，選項C正確.

對于彈簧連接體類動態(tài)問題，要分清所分析的力是內(nèi)力還是外力，合理選用整體法與隔問題便可迎刃而解.

3斜面相關(guān)的彈簧類問題

例3如圖5-甲所示，物體 A ， B 疊放在光滑斜面上，其中 A 與一勁度系數(shù) 的輕質(zhì)彈簧相連，彈簧另一端固定在斜面底端的擋板上.現(xiàn)在斜面上施加一個水平向左的力，使整個系統(tǒng)做向左的勻加速直線運動，加速度為 a .穩(wěn)定后彈簧形變量大小為 x ，其與加速度 a 的關(guān)系如圖5-乙所示.已知 A ， B 質(zhì)量分別為 ，斜面傾角 ，重力加速度 g 取 彈簧始終在彈性限度內(nèi)，不計空氣阻力，下列說法正確的是（ ）.

A. B. C.若 ，穩(wěn)定時 A 對斜面壓力大小為 12.5 N D.若 ，穩(wěn)定時 A ， B 間壓力大小為 6 N

當(dāng)斜面體加速度 a 較小時， B 對 A 仍有向下的壓力，彈簧處于壓縮狀態(tài).反之 A ， B 分離，彈簧處于伸長狀態(tài).在兩狀態(tài)中間存在臨界狀態(tài)彈簧處于原長狀態(tài)時， A ， B 恰好要分離.由圖5-乙知，當(dāng) 時為臨界狀態(tài)，此時 A ， B 間無作用力，對 A ， B 整體有

對 A 有 tan ，均可解得

，選項A正確.當(dāng) a = 0 時， A ， B 間有作用力，對A ， B 整體分析有 ；當(dāng)

時， A ， B 分離，由對應(yīng)圖像縱截距的意義，對 A 單獨分析有 ，得 ，選項B錯誤.當(dāng) 時，對 A 沿與斜面垂直方向分析有 cos 37°=12.5N，由牛頓第三定律知，斜面所受 A 的壓力大小也為 1 2 . 5N ，選項C正確.當(dāng) a = 時，對 B 沿斜面方向進行分析有 ，得 ，選項D正確.

與斜面相關(guān)的彈簧類問題，是在“橫平豎直”的彈簧問題的基礎(chǔ)上，添加了力的合成與分解形成的.對整體法與隔離法進行選擇時，在包含已知量和未知量的前提下，采用“力越少越好”的原則.

4滑桿相關(guān)的彈簧類問題

一例4如圖6所示，一輕質(zhì)彈簧一端固定在左側(cè)墻壁上，另一端與一質(zhì)量為 的圓環(huán)相連.現(xiàn)將圓環(huán)套在一豎直粗糙的固定桿上，并使彈簧在水平位置處于原長狀態(tài).現(xiàn)讓圓環(huán)從 A 處靜止下滑，到 B 處時其速度最大，到 C 處時恰好停止，A C = h .又在 C 點處給圓環(huán)一豎直向上的速度 ，使其恰好能回到 A 處.彈簧始終在彈性限度內(nèi)，重力加速度為g ，則圓環(huán)（ ）.

A.下滑過程中，做加速度減小的加速運動B.下滑過程中，因摩擦產(chǎn)生的熱量小于 C.第一次經(jīng)過 B 處的速度小于第二次經(jīng)過 B 處D.在 C 處，彈簧的彈性勢能為

隨著圓環(huán)的下滑，彈簧的形變量越來越大，彈力變大，并且彈簧與豎直方向的夾角越來越小，所以彈力在豎直方向的分力越來越大.當(dāng)彈力沿豎直方向的分力與摩擦力的和小于圓環(huán)重力時，圓環(huán)所受豎直向下的合力越來越小，圓環(huán)做加速度減小的加速運動.經(jīng)過加速度為0的臨界狀態(tài)后，圓環(huán)在豎直方向所受合力向上，且越來越大，圓環(huán)做加速度增大的減速運動，選項A錯誤.彈簧的彈力、摩擦力均為變力，求解變力做功時考慮使用能量守恒定律或動能定理.圓環(huán)從 A 到 c 有 ，圓環(huán)在 c 處獲得一恰好能回到 A 點的速度，從 C 到 A 有- - m g h - ，解得

?"，選項B、D錯誤.圓環(huán)兩次在 A 處的速度均為0，可以分別對圓環(huán)在 A 到 B 和 B 到 A 的運動過程中使用動能定理求解圓環(huán)兩次經(jīng)過 B 時的速度.從 A 到 B 有""；從 B 到 A 有"muB2，聯(lián)立可得-2W="所以圓環(huán)下滑經(jīng)過 B 處的速度小于上滑經(jīng)過 B 處的速度，選項C正確.

滑桿類彈簧問題，由于彈簧彈力的大小和方向均改變，單純運用動力學(xué)可能無法解決問題，可考慮從能量角度分析.另外，要盡量選擇初末狀態(tài)簡單、容易分析的運動過程，從整體角度去分析變力做功的正負(fù)及能量的變化.

彈簧模型還可能與簡諧運動、磁場等知識相結(jié)合，處理彈簧類問題大致從兩個觀點出發(fā)一一力學(xué)觀點和能量觀點.從“情境化”的模型視角分析彈簧問題，可以快速確定主要應(yīng)用的物理規(guī)律，有助于加深對知識的理解，提高解題效率.

（完）