化曲為直、數(shù)融于理斜拋運(yùn)動(dòng)與類

斜拋運(yùn)動(dòng)與類斜拋運(yùn)動(dòng)是典型的勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，是高中物理最常見(jiàn)的一種運(yùn)動(dòng)，也是高考考查的熱點(diǎn)之一.因其軌跡彎曲、速度位移等矢量研究復(fù)雜，在空間想象、矢量運(yùn)算、運(yùn)動(dòng)分析、兩方向分運(yùn)動(dòng)關(guān)聯(lián)等方面對(duì)學(xué)生能力的要求高.本文從合理建立坐標(biāo)系，對(duì)斜拋運(yùn)動(dòng)與類斜拋運(yùn)動(dòng)采用分解化曲為直、用向量數(shù)融于理的角度，尋找最合理的分析處理策略.

1利用對(duì)稱性，轉(zhuǎn)化為平拋運(yùn)動(dòng)

物體做斜上拋運(yùn)動(dòng)，當(dāng)豎直方向的速度為0時(shí)，到達(dá)最高點(diǎn)，最高點(diǎn)兩側(cè)的運(yùn)動(dòng)具有對(duì)稱性，最高點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，最高點(diǎn)前的運(yùn)動(dòng)可處理為逆向的平拋運(yùn)動(dòng).

例1如圖1所示，一學(xué)生做定點(diǎn)投籃游戲.第一次出手，籃球的初速度方向與豎直方向的夾角 ；第二次出手，籃球的初速度方向與豎直方向的夾角 ；兩次出手的位置在同一豎直線上，結(jié)果兩次籃球正好垂直撞擊到籃板同一點(diǎn).不計(jì)空氣阻力，則從籃球出手到運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) c 的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（ ）.

A.運(yùn)動(dòng)時(shí)間的比值為

B.兩球的初速度相同

C.上升的最大高度的比值為1：3

D.在 C 點(diǎn)時(shí)，兩球的速度相同

將籃球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程逆向看作平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)前后兩次運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為 ，易知兩次籃球做拋體運(yùn)動(dòng)的水平位移大小相同，均設(shè)為 ，由拋體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，豎直方向有 ， cos

，水平方向有 U2sin 30，聯(lián)立可 可知兩球的初速度大小相等，但方向不同，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤;根據(jù) 可知上升的最大高度的比值 選項(xiàng)C正確；在 C 點(diǎn)

時(shí)，兩球的速度大小之比為 ，可知在 C 點(diǎn)時(shí)，兩球的速度不相等，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選C.

答案C.

小結(jié)斜上拋運(yùn)動(dòng)存在最高點(diǎn)，采用正交分解法，把斜拋運(yùn)動(dòng)在水平和豎直兩方向進(jìn)行分解處理，豎直方向看成逆向的自由落體運(yùn)動(dòng)，學(xué)生容易接受，計(jì)算快捷.

2利用正交分解，轉(zhuǎn)化為兩方向的直線運(yùn)動(dòng)

正交分解法是分析處理矢量問(wèn)題的常見(jiàn)手段，斜拋運(yùn)動(dòng)和類斜拋運(yùn)動(dòng)可以分解成兩個(gè)方向相互垂直的分運(yùn)動(dòng).以加速度方向和垂直加速度方向建立直角坐標(biāo)系，可把斜拋運(yùn)動(dòng)和類斜拋運(yùn)動(dòng)分解成加速度方向的勻變速直線運(yùn)動(dòng)和垂直加速度方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)；以初速度方向和垂直初速度方向建立直角坐標(biāo)系，可把斜拋運(yùn)動(dòng)和類斜拋運(yùn)動(dòng)分解成初速度方向的勻變速直線運(yùn)動(dòng)和垂直初速度方向的勻變速直線運(yùn)動(dòng).

例2某同學(xué)投擲籃球空心入筐，籃球的出手點(diǎn)與籃筐的距離為 7 . 2 m ，籃球進(jìn)入籃筐時(shí)的速度方向恰好與出手時(shí)的速度方向垂直.不考慮空氣阻力，重力加速度大小 g 取 .則籃球從出手到入筐的時(shí)間為（ ）.

A.1.6 s B. 1.4 s C. 1.2 s D. 1.0 s

方法1 如圖2所示，把運(yùn)動(dòng)分 V0解為水平方向的勻速運(yùn)動(dòng)0x和豎直方向的勻變速運(yùn)Vx動(dòng)，水平分速度 0 0，則末速度 tanθ，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t= 圖2 ，位移 cos θ ? t ， ，而 將 和 y 代人，解得 t = 1 . 2 s

答案C.

小結(jié)此解法屬于常規(guī)解法，將斜拋運(yùn)動(dòng)采用正交分解法，以常見(jiàn)的水平和豎直兩方向進(jìn)行分解處理，學(xué)生容易接受，但計(jì)算量較大.

方法2把運(yùn)動(dòng)分解為初速度方向的勻減速運(yùn)動(dòng)和末速度方向的勻加速運(yùn)動(dòng).如圖3所示，初速度方向：加速度 ，方向與初速度方向相反，末速度為0，可看成逆向的加速運(yùn)動(dòng)，則位移 gsin0·t2.與初速度垂直的方向：加速度 ，位移 cos ，合位移 ，解得 t = 1 . 2 s

小結(jié)此解法仍采用正交分解法，以初速度方向和與初速度垂直的方向進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的分解處理，結(jié)合運(yùn)動(dòng)的可逆特性列式，計(jì)算簡(jiǎn)便.

3利用斜交分解法，轉(zhuǎn)化為勻速運(yùn)動(dòng)和勻變速直線運(yùn)動(dòng)

關(guān)注初速度和加速度兩個(gè)方向，即傾斜相交的兩個(gè)方向?qū)\(yùn)動(dòng)進(jìn)行分解處理，稱之為斜交分解法.斜拋運(yùn)動(dòng)和類斜拋運(yùn)動(dòng)，采用斜交分解法，可以分解為初速度方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和加速度方向的初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng).

例3如圖4所示，從斜面上同一點(diǎn)分別以 水平拋出和以 垂直斜面拋出兩個(gè)小球，拋出后只受重力作用，兩球落在斜面上同一位置，已知斜面的傾角 θ 為 .則兩初速度大小關(guān)系為（ ）.

A. （204號(hào) B.v1=U2 C.U1 D.

如圖5所示，把兩運(yùn)動(dòng)分解為初速度方向的勻速運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng).豎直方向：位移 而 初速度方向：位移 ，而

日 ，選項(xiàng)B正確.

答案B.

小結(jié)此解法采用斜交分解法，以初速度方向和豎直方向進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的分解處理，一個(gè)為勻速運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)為初速度為0的勻加速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)規(guī)律簡(jiǎn)便.

4利用向量運(yùn)算法，將勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律拓展到勻變速曲線運(yùn)動(dòng)

對(duì)于勻變速直線運(yùn)動(dòng)，末速度 ，位移 ，拓展到勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，同樣適用.利用這些速度、位移等向量進(jìn)行計(jì)算，非常簡(jiǎn)便.

例4如圖6所示，受水平恒力作用的小球在光滑水平面上運(yùn)動(dòng)，先后經(jīng)過(guò)水平虛線上的 A ， B 兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò) A 點(diǎn)時(shí)的速度大小為 ，方向與 A B 成 角；經(jīng)過(guò) B 點(diǎn)時(shí)的速度大小為 ，方向與 A B 成 θ = 角.已知小球質(zhì)量為 兩點(diǎn)間距離為 d .下列說(shuō)法正確的是（ ）.

A.水平恒力的方向與初速度 垂直B.水平恒力的方向與 A B 垂直

C.小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 B 點(diǎn)所用的時(shí)間為 D.小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最小速率為

初速度與末速度的矢量關(guān)系如圖7所示，可知水平恒力的方向與速度變化量的方向一致，與 A B 不垂直，與初速度也不垂直，故選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；由圖7可知，速度變化量的方向與 A B 連線的夾角為 ，故初速度 在與 Δ v 垂直方向的分量即為小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最小速度，大小為 （20 ，選項(xiàng)D正確；小球在 A ， B 之間做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，由圖8知平均速度 ，運(yùn)動(dòng)時(shí)間 ，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.故選D.

答案D.

小結(jié)此解法利用矢量的運(yùn)算，找出恒力方向和速度變化量方向，雖解法簡(jiǎn)單，但思維量大.

本文從不同角度、按不同思路、用不同方法，對(duì)斜拋運(yùn)動(dòng)和類斜拋運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分解處理策略研究.“化曲為直\"是解決該類問(wèn)題、突破難點(diǎn)的重要手段，通過(guò)“分解\"手段實(shí)現(xiàn)“化繁為簡(jiǎn)”，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“分解”是處理復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的重要方法之一.通過(guò)對(duì)分解法的運(yùn)用，還可以促進(jìn)學(xué)生深入理解、牢固掌握和熟練運(yùn)用所學(xué)的運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)，通過(guò)不同的視角分析，比較多種坐標(biāo)建系、多種矢量運(yùn)算，充分應(yīng)用“向量”等數(shù)學(xué)手段化解計(jì)算瓶頸，將數(shù)學(xué)融合于物理之中，尋找解題的最佳途徑和方法，培養(yǎng)學(xué)生多元求異的發(fā)散思維，提高創(chuàng)新思維能力.

本文系2024年度湖北省教育科研規(guī)劃課題“核心素養(yǎng)導(dǎo)向下高中物理真實(shí)問(wèn)題情境創(chuàng)設(shè)的理論研究與實(shí)踐”（課題編號(hào)：2024GB110）的研究成果.

（完）