深入原理，備考強基

幾何光學中，在描述光的反射、折射過程時，反射光線與入射光線、折射光線與入射光線為什么會滿足反射定律、折射定律？反射成像、折射成像像距和物距之間為什么滿足相應的成像規律？本文結合費馬原理從物理原理角度分別就光的反射、折射、成像，給予推理、證明，同時結合近年來的強基考試真題進行分析，給出備考建議.

1用費馬原理解釋光的平面反射

光在某種介質（折射率為 n ）中經過距離 ，用時為 ，相當于光在真空中經過 n l 的光程所用的時間，我們把 n l 叫作光程.光在不同介質中全程走過的光程為 .根據費馬原理，光從空間的一點到達另一點總是沿著光程最短的路徑傳播.

從數學的角度可以表示為 .在空氣中，光從空間中的一點 A 經過反射到達另一點 B ，光路如圖1所示.光程為 L = （20當入射點 O 變化時，光程會不一樣，當 時，光程最小，即

所以 ，即有 sin β=sin α ，所以 ，即反射角等于入射角.

例1 （復旦大學）如圖2所示，平面鏡 M 和 N 呈直角放置，在角平分線上放置一點光源S，試問：S共有幾個像？分別位于何處？

分析由兩個及以上的平面鏡組成的光學系統稱為組合平面鏡，入射到該光學系統的光線要在平面鏡之間多次反射，出現多次成像的現象.處理此類問題時，通常利用平面鏡成像的本質一一反射成像，抓住“光線反射一次就會成一個像的特征”在確定像的個數時，充分利用“像和物關于鏡面對稱\"關系.

如圖3所示，所有虛像都在以 O （兩鏡的交點）為圓心、 為半徑的圓上.光源 s 通過平面鏡 M 、N 成的像分別為 ，然后 作為虛物通過平面鏡 N ， M 成的像都為 ：

例2（2018年中科大 自主招生）如圖4所示， O A ！ OB是兩面鏡子，成 夾角， 觀察者在兩鏡之間，則觀察 者從 A 鏡中最多能看到 uA S -a /// TTB個像；從 B 鏡中最多能看到 個像.

分析初看本題，學生容易產生很難上手的錯覺.平面鏡成像涉及的知識點比較單一，無非就是對稱.但由于涉及多次成像，難免讓人焦頭爛額.筆者給出的建議是：從特殊出發，找到一般化規律，即從前三次成像中找到規律.具體求解過程如下.

如圖5所示，取OS連線與OA夾角為 θ ， S 通過A 第1次成像于 . 與 O A 夾角為 與 O B 夾角為 通過 B 成像于 與 O A 夾角為 （ 2 α + θ ） ，得 s 通過 A 第2次成像于 與OA夾角為 （ 2 α + θ ） ；同理，得 s 通過 A 第3次成像于 與 O A 夾角為 （ 4 α + θ ） ；最終 s 通過 A 第 n 次成像于 ， 與 O A 夾角為 [ 2 （ n - 1 ） α + θ ] 考慮到 [ 2 （ n - 1 ） α + θ ]?π ， n 取整數得 n = 3 ，則從 A 鏡中最多可以看到3個像，同理，從 B 鏡中也可看到3個像.

2用費馬原理解釋光的平面折射

利用費馬原理在折射路徑中進行類似操作.如圖6所示，光從空間中經介質 中的 A 點進入介質 到達 B 點，兩種介質的折射率分別是 ，光程

當入射點 O 變化時，光程會不一樣，當 時，光程最小，即

（20則 ，所以 ，表明光的折射定律滿足費馬原理.

當物方光線、像方光線與光軸夾角都很小時，所有參與成像的光線都靠近光軸，這樣的條件稱作傍軸條件或近軸條件.近軸條件下， cos β1 ，此時上式進一步可寫成 （虛像， v 為負值）， 為平面鏡折射成像公式，該公式又稱為視深公式，即 v = ，或者寫為 ：

一例3（2020年中科大創新班）如圖7所示，水面以下H 處，有一點光源 s ，水的折射率為 n ，人站在水面上向下觀察，試問：他觀察到的點光源的深度（視深） h 是多少？

分析關于“視深\"問題，北京大學、南京大學、中科大等知名高校在命題時都不厭其煩地多次涉及.這類問題難度不大，甚至完全使用高考范圍內的知識也可以求解.破題關鍵是明確情境、畫出光路.具體求解過程如下.

從S左右對稱發出兩條光線，經水面折射后進入人的眼睛，折射光線反向延長線交于 點，即為眼睛看到的光源的位置，到水面的距離 h 為待求的視深在 Δ S O A 中， ；在 中，O A = h tan β ≈ h sin β 根據折射定律有s i n β = n sin α 綜上得

3費馬原理解釋傍軸光線單球面鏡反射成像

如圖8所示，凹面鏡的球心在 C 點，半徑為 為頂點， O C 稱為光軸.平行于光軸入射的光線 A B 打在凹面鏡的 B 點， C B 即為法線， A B 經反射后交 O C 于 F 點，圖中的 ∠ A B C = ∠ B C O = ∠ C B F = α ，而∠ B F O = β = 2 α ， O F 的長度記為 的弧長記為 l .假定B 與O非常近（稱為傍軸條件），近似有β= 1 ，所以 r = 2 f ：

通過費馬原理推出凹面鏡反射成像公式：如圖9所示，位于光軸上球心 C 外側有一個點光源 P ，它發出許多光線，經過球面鏡反射后會聚于 點， 點即為其像點， P O 為物距 為像距 v

在 Δ P A C 和 中，由余弦定理有

光程

給定物點，不同入射點對應不同的人射角 θ ，光程也不相同，由費馬原理知最短的光程須滿足

所以 ，即 .滿足近軸條件時， ，所以

此式稱為球面反射成像公式，也稱為高斯成像公式，適用于凹面鏡、凸面鏡成像.

凹面鏡焦距 f 為正、 . r 為正，凸面鏡焦距 f 為負、r 為負；物在鏡面前，物距 u 為正，反之 u 為負；像在鏡面前，像距 v 為正，反之像距 v 為負.對于平面鏡， ，放大率 ：

實際上，凸面鏡成像特征和凹透鏡相似，凹面鏡成像特征和凸透鏡相似，只不過凹面鏡所成的實像與物在同一側，而凸透鏡成的實像與物不在同一側.

4費馬原理解釋傍軸光線單球面鏡折射成像

球面折射成像過程，也可以使用同樣的方法進行分析，具體過程如下.

如圖10所示，位于光軸上球心 C 外側有一個點光源 P ，它發出許多光線，經過球面鏡折射后會聚于 點， 點即為其像點， P O 為物距 為像距 在 Δ P A C 和 中，由余弦定理有

光程 ，給定物點不同入射點對應不同的入射角 θ ，光程也不相同，由費馬原理知最短的光程須滿足

即 ，所以 滿足近軸條件時， ，得球面折射成像公式為

當 r → ∞ f0 時，有 ，此式為平面折射成像公式.放大率為

折射成像符號約定：順著自左向右的入射光方向，物點在頂點左側，物距為正，否則為負；像點在頂點右側，像距為正，否則為負；球面曲率中心在頂點右側，即為凸面， r 為正，否則為負.

例4如圖11所示，一垂直放置的高為 h = 1 5c m 的圓柱形中空玻璃容器，其底部玻璃較厚，底部頂點 A 點到容器底平面中心 B 點的距離為 8 . 0c m ，底部上沿為一凸起的球冠，球心 c 點在 A 點的正下方，球的半徑為 1 . 7 5 c m ，已知空氣和容器玻璃的折射率分別是 和 ，只考慮近軸光線成像.

（1）當容器內未裝任何液體時，求從 B 點發出的光線通過平凸玻璃柱，使 B 點在玻璃柱對稱軸上所成的像的位置，并判斷像的虛實；

（2）當容器中裝滿折射率為1.30的液體時，求從B 點發出的光線通過平凸玻璃柱的上表面折射使 B 點所成像點的位置，并判斷這個像的虛實.

分析本題為光線通過單球面折射成像問題，厘清物距、像距，代入成像公式即可.

（1）容器中未裝任何液體時， B 點通過凸玻璃柱成像，根據成像公式

其中 ，得 v = 8 . 0c m ，成實像于 A 點上方 8 . 0c m 處.

（2）當容器中裝有折射率為1.30的液體時，球冠上方介質折射率為 ，根據成像公式

得 點通過凸玻璃柱的上表面折射后成虛像，像的位置在 A 點下方 2 8 c m 處.

例5（2016年北大博雅）如圖12所示，玻璃半球的半徑為 R 、折射率為 n ，點光源 P 在半球對稱軸上距離半球球心 r 處，且 r （填“同\"或“異”側，為 （填“實\"或“虛\"）像.

分析本題是比較典型的多次成像問題，基本破題策略是明確每次成像的物距和像距、實像還是虛像，還要小心各個物理量正負.厘清上述物理量后，代入相應成像公式即可.

第一個像為平面反射所成的像，為虛像，虛像的位置在A的右側.

第二個像為組合成像，如圖13所示，先后為：平面折射成像、球面反射成像、平面折射成像.根據平面折射成像公式 ，得

，即像點在左側，則球面反射成像過程中有 ，由反射成像公式 得 ，那么最后光線由右向左經平面折射成像，Rnr物距為u＝R-U2=R+2nr ，由平面折射成像公式 =0，得U3 ，即成像于 A 點右側，為虛像.

5關于薄透鏡成像

常見的薄透鏡成像問題，可以處理為兩次單球面折射成像問題.考慮到兩次成像，相關物理量正負要再明確下：如果物體通過第一個透鏡的像成在第二個透鏡的后面，對第二個透鏡而言即為虛物，此時物距為負值.成實像時， ；成虛像時， 對凸透鏡焦距fgt;0 ，凹透鏡焦距

薄透鏡如圖14所示，可以認為 、 三點重合.設第一次成像的像距為 ，成像位置為 ，對第一次成像有

在第二次成像過程中充當虛物，物距為負，記為 ，對第二次成像有 聯立以上兩式，可得 此為薄透鏡成像公式， 都以凸為正、凹為負.

當平行光由物方入射時，相當于 u → ∞ ，根據薄透鏡成像公式得 ，這個像點稱為像方焦點，此時的像距稱為像方焦距，記為

當像方以平行光出射時，相當于 v → ∞ ，根據薄透鏡成像公式得 ，這個物點稱為物方焦點，此時的物距稱為物方焦距，記為 f

若透鏡兩側都是空氣，則 ，薄透鏡的成像公式等價寫為高斯公式 將高斯公式 變形得 則放大率為

1）對凸透鏡成像，當 u u ，成放大的虛像；當 f 0 ， vgt; u ，成放大的實像；當 時， v gt; 0 ， v lt; u ，成縮小的實像.

2）對凹透鏡成像，因 f 取負值，永遠有 vlt;0 ，成縮小虛像.

例6（2019年北大自主招生）如圖15所示，凸透鏡的焦距為 f ，物體由距離透鏡 x = 3 f 處 A 點移動至 x = 1 . 5 f 處B 點.

（1）設物體與其像之間的距離為 D ，求 D 的變化規律；

（2）若物體以 u 的恒定速度移動，求像的速度 v

分析本題第（1）問抓住透鏡成像公式，聯立物距、像距滿足的幾何關系，整理出 D 的表達式，簡單求導確定 D 有極值的條件即可；第（2）問通過物體移動速度分析像移動速度，破題關鍵是寫出物距、像距運動學方程，結合成像公式便可求解.由此可見，充分理解成像公式是解決此類問題的關鍵.

設透鏡和像之間的距離為 y ，代人成像公式有 ，聯立 x + y = D ，解得 x-f，當x=2 f 時， D 有極小值，所以當物體從距離透鏡 x = 3 f 處移動到 x = 1 . 5 f 處過程中， D 先減小再增大.

物體由 A 點移動至 B 點過程中，物距減小像距增大，即 聯立透鏡成像公式得 y =

則 所以 （20號 0

例7（2014年清華自主招生）暑假，小麗到她叔叔的光具店幫忙.叔叔給她一個薄透鏡、一支小蠟燭和一座光屏，讓她測量透鏡的焦距.小麗想了一下，試了幾次，最后把點著的蠟燭和光屏放在較遠的兩邊，相距 L = 1 . 8 0 m ；然后把透鏡從蠟燭處開始緩緩向光屏移動，直到在光屏上出現一個清晰的像；接著她再把透鏡向前移動了 D = 0 . 7 2 m ，光屏上又出現一個清晰的像.經過演算，小麗把她測量的原理、方法和結果告訴了叔叔，叔叔夸獎她光學學得不錯.那么，小麗測得的透鏡的焦距是多少？

分析本題要求學生能抓住前后兩次成像之間滿足共軛成像，即物距、像距互易.學生如果沒有共軛成像的概念，根據光路可逆觀點同樣能得出一樣的結論，然后根據成像公式簡單運算即可解決.

設兩次透鏡成像的物距分別為 ，像距分別為 ，根據光路可逆或者對稱性特點有 ， ，前后兩次成像時透鏡位置間距離為 D ，即 ，另 ，得 . ，代人透鏡成像公式 得 f = 0 . 3 8 m

例8（2013年清華自主招生）如圖16所示，在光學用直導軌型支架上，半徑為 R 的球面反射鏡放置在焦距為 f 的凸透鏡右側，其中心位于凸透鏡的光軸上，并可以沿凸透鏡的光軸左右調節.

（1）固定凸透鏡與反射鏡之間的距離，將一點光源放置于凸透鏡的左側光軸上，調節光源在光軸上的位置，使該光源的光線經凸透鏡一反射鏡一凸透鏡后，成實像于點光源處.問該點光源與凸透鏡之間的距離 d 可能是多少？

（2）根據（1）的結果，若固定距離 d ，調節 以實現同樣的實驗目的，則 的調節范圍是多少？

分析對于第（1）問，固定凸透鏡和凹面鏡的位置，任意改變物距，最終成實像于點光源處，抓住凹面鏡的作用是改變光傳播方向，結合過凹面鏡球心或反向延長線過球心的光線原路返回和對稱性特點，畫出相應光路圖即可實現破題.本題的第（2）問則是在第（1）問基礎上的討論的，結合凸透鏡第1次成實像或虛像便可得出答案.

（1）可以分三種情況進行討論.

第1種情況：調節光源與凸透鏡之間距離的大小，如圖17-甲所示，當 v+ R= l 時，由光源發出的任意光線穿過凸透鏡后，成實像于凸透鏡右側光軸上 c 點， C 點正好處于凹面鏡球心位置上，光線沿著反射鏡的半徑方向入射到它上面，并沿著同一路徑反射回去，所有這樣的光線都會聚于光源所在點.由成像公工 得

第2種情況：改變光源和凸透鏡之間的距離，如圖17-乙所示，使 R - v = l ，即成虛像于凸透鏡左側的C 點， C 點處于凹面鏡球心位置，光線沿著凹面鏡半徑方向人射并沿著同一路徑反射回去，根據光路可逆，可知最終光線會聚于光源位置，根據成像公式

得 中

第3種情況：如圖17-丙所示，當 v = R = l 時，即光源經凸透鏡成實像于凹面鏡對稱中心 C 處，光線被凹面鏡對稱反射，然后再經過凸透鏡形成由上到下或由下到上的光路，最后會聚于光源所在的位置.由成像公式 得 1

（2）對應于第（1）問中三種情況，逐一分析.

第1種情況，根據 dgt;f ，光源經凸透鏡第一次成實像，即 v gt; f ，故 l = v + R gt; f + R

第2種情況，根據 d

6備考策略和建議

強基測試是立足高考，難度高于高考的考試，它不像物理競賽有半步超綱的說法.相較而言，競賽生會占優勢，但只要知識搭建到位，稍加練習，非競賽生是完全可以駕馭的.建議強基備考常規化、知識模塊化，并做好以下準備：

6.1 物理知識深入化

在備考強基時，要做到對知識深入理解，以光學內容為例，要熟記幾何光學的基本概念、定律和公式，理解每個公式的物理意義和適用條件.落實關于光的反射、折射基本規律，各種面鏡、透鏡成像的規律和特點，掌握各種光學儀器成像時物理量正負的約定.

處理幾何光學的一個基本前提是能夠正確、規范地畫出光路圖，掌握繪制光路圖的基本方法，尤其是透鏡和球面鏡的三條特殊光線，通過光路圖分析像的位置、大小和性質.

另外，在掌握物理概念、規律的同時，還要對其內在聯系及物理本質有更深人的理解.

6.2 完善數學工具

在提高數學運算能力的同時，還應及時補充必要的數學知識，掌握簡單的求導、積分、求極限方法，并能夠熟練運用各種情況下的小量近似和辨別各類圖像.

6.3提高邏輯推理能力

在日常學習中，考生應逐步培養、提升從復雜物理過程中正確提取物理情境、構建物理模型的能力，逐漸做到將復雜過程層次化，實際情境模型化，具體模型知識化，同時養成逐步分析問題、總結規律的學習習慣.另外，我們還可以通過歷年真題熟悉題型和難度，通過模擬題提升解題速度和準確性，

（完）