基于問題探究概念聚焦素養深度教學

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》以下簡稱\"新課標\"強調：“高中數學課程體現社會發展的需求、數學學科的特征和學生的認知規律，發展學生數學學科核心素養.”基于新課標的要求，各版高中數學教材進行了重新修訂，都關注學生學習數學的過程，將核心素養與教材內容有機結合，構建一條“抽象數學研究對象一發現問題一提出問題一解決問題一獲得新知\"的數學學習路徑.[2]

新課標要求高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質.[3這需要一線數學教師結合學情對新教材進行“二次開發”，將教材轉變為“學材”，設計問題情境，激發學生學習數學的興趣，引導學生獨立思考，從而在理解數學知識的過程中落實“四基”與“四能”，在數學知識發生和發展的過程中培養數學學科核心素養.鑒于此，本文以蘇教版《普通高中教科書數學必修第二冊》“相互獨立事件\"的教學為例，談談對此的認識與思考.

1課堂教學片段

1.1問題引路，獲得數學概念

問題1考查下面的隨機事件A和隨機事件B.

A：同時拋擲兩顆骰子，第一顆向上的點數是1.

B ：同時拋擲兩顆骰子，第二顆向上的點數是2.

事件 A 發生與否對事件 B 發生有沒有影響？

生1：因為同時拋擲兩顆骰子，第一顆骰子的結果不影響第二顆骰子的結果，所以事件 A 發生與否對事件 B 發生沒有影響

問題2從事件發生概率的角度能否說明第一顆骰子的結果不影響第二顆骰子的結果？

生2：如果事件 A 發生，則事件 B 發生的概率為 ;如果事件A不發生，則事件 B 發生的概率為 .由此可見，事件 A 發生與否對事件 B 發生的概率沒有影響.

結論1：如果事件 A 是否發生不影響事件 B 發生的概率，那么稱 ^A，B 為相互獨立事件.

【設計意圖】“同時拋擲兩顆骰子”是學生熟悉的問題情境.問題1從學生熟悉的問題情境出發，啟發學生思考事件A發生與事件 B 發生是否相互影響，感知“相互獨立事件”的概念；問題2進一步啟發學生從概率的角度解釋生1的“第一顆骰子的結果不影響第二顆骰子的結果”，促進學生用數學的眼光觀察世界，概括形成“相互獨立事件\"的概念.

1.2創設情境，辨析概念內涵

問題3如圖1所示，大正方形被平均分成9個部分，向大正方形區域隨機地投擲一點（每次都能投中），投中最左側3個小正方形區域的事件記為 A .投中最上面3個小正方形區域的事件記為 B ，試判斷A與 B 是否為獨立事件？

生3：左上角的小正方形既屬于最左側3個小正方形區域，也屬于最上面3個小正方形區域，事件 A 和事件 B 有共同的部分，所以事件 A 和事件 B 的發生是相互影響的，事件 A 和事件 B 不是相互獨立事件.

生4：不對，應該是相互獨立事件.如果事件A發生，則事件 B 發生的概率為 ；如果事件 A 不發生，則事件 B 發生的概率為 .所以事件 A 是否發生不影響事件 B 發生的概率.

問題4兩位同學的解釋都有道理，但是結論又相互矛盾.你支持哪一方呢？為什么？

生5：我覺得事件 A 和事件 B 是相互獨立事件.一開始我感覺不是相互獨立的，理由和生3一樣，但是聽了生4的解釋，我覺得我們應該從定義人手進行判斷，定義里面講的是概率互不影響，所以我們要關注事件A和事件 B 發生的概率

師：這個同學回答得非常好！在結果出現問題時，我們需要回歸概念的定義.剛才講過了“如果事件 A 是否發生不影響事件 B 發生的概率，那么稱A，B 為相互獨立事件”，我們要判斷事件A發生與否是否會影響事件 B 發生的概率，如果沒有影響，那么就是相互獨立事件.

【設計意圖】通過問題3的解決，學生得到兩個相互矛盾的結論，激發學生對“相互獨立事件”概念內涵的進一步思考，用抽象的“概率”代替直觀的感知來判斷事件 A 與事件 B 是否相互獨立.部分學生對\"相互獨立事件”的概念產生了誤解.問題3的解題過程顯示，學生看似明白實則沒有準確理解數學概念.通過生生交流、師生交流，在質疑中思考問題，在思考中明晰概念，讓學生真正掌握概念的內涵，

1.3歸納反思，挖掘概念本質

問題5回顧問題2和問題3，大家觀察一下P（AB），P（A），P（B） 三者之間有怎樣的關系.

生

問題6問題2和問題3中，事件 A 和事件 B 是相互獨立的，同時 P（AB）=P（A）P（B） 那么P（AB）=P（A）P（B） 與“事件 A 和事件 B 是相互獨立”有怎樣的關系呢？

生7：它們可能是等價的，

師：這個同學的猜想是正確的.對于相互獨立事件，有結論 ^°A，B 相互獨立等價于 P（AB）=P（A） ·P（B）^′ ：

問題7這個結論有什么作用呢？

生8：我們判斷事件 A 和事件 B 是否相互獨立可以看“ P（AB）=P（A）P（B） ”是否成立.

師：我們得到了相互獨立事件的另一個定義，即對任意兩個事件 A 和事件 B ，如果 P（AB）=P（A） ·P（B） 成立，則稱事件 A 與事件 B 相互獨立，簡稱獨立.

問題8相互獨立事件定義有兩個，請同學們比較一下.

生9：定義一是關于事件 A 是否發生兩種情況下事件 B 發生的概率；定義二只要考慮 P（AB） .P（A），P（B） ，看三者是否滿足 P（AB）=P（A） ·P（B） 的關系.因此，用定義二判斷容易些，

【設計意圖】通過對問題2和問題3結論的反思，得到“ P（AB）=P（A）P（B） ”與“事件 A 和事件 B 相互獨立\"的關系，從而抽象概括出“事件 A 和事件 B 相互獨立\"的第二個定義.教師通過鼓勵學生大膽猜想和歸納，讓概念生成更加自然，在潛移默化中培養學生的數學抽象素養.“相互獨立事件”的兩個定義是其概念的兩種不同表現形式，是對“相互獨立事件\"概念的生動描述，從抽象到具體，幫助學生進一步把握概念的核心.通過兩個定義的比較，啟發學生反思概念的使用過程，體會定義二的簡捷性，為下面運用定義二解決問題作好鋪墊，

1.4問題解決，深化概念理解

問題9互為對立事件的兩個事件是非常特殊的一種事件關系.如果事件 A 與事件 B 相互獨立，那么它們的對立事件是否也相互獨立？

學生的推導過程如下： ，所以 美 ，所以事件 A 與事件 相互獨立.同理可得事件 與事件 B 相互獨立，事件 與事件 相互獨立.

問題10我們知道，如果三個事件 A，B，C 兩兩互斥，那么概率加法公式 P（A∪B∪C）= P（A）+P（B）+P（C） 成立.但當三個事件 A，B，C 兩兩獨立時，等式 P（ABC）=P（A）P（B）P（C） 成立嗎？

生10：成立.

生11：不成立.

教師追問：這兩個同學能不能解釋一下？

生10和生11：憑感覺

師：感覺有時候是靠不住的，就像前面的同學感覺兩個事件不是相互獨立事件，但是按照定義操作發現是相互獨立事件.我們來看一個具體例子.

問題11設樣本空間 含有等可能的樣本點，且 A = { a ， b} ， B ={ a ， c} ， C = { a ， d} . A ， B ， C"三個事件是否兩兩獨立？ P（ABC）=P（A）P（B）P（C） 成立嗎？

生12：通過概率的計算我們得到 P（AB）= P（A）P（B），P（AC）=P（A）P（C），P（BC）=P（B） ·P（C） ，所以 A，B，C 三個事件兩兩獨立，但是 4，P（A）P（B）P（C）= ，所以P（ABC）≠P（A）P（B）P（C）.

師：這說明 ?_A，B，C 三個事件兩兩獨立\"推不出來“ P 成立”，那么4 成立\"能否推出“ A ，^B，C 三個事件兩兩獨立”？

生13：不一定.

師：還是靠感覺證明嗎？

生14：可以像剛才那樣舉例證明，

師：非常好！

問題12如圖2所示，一個正八面體八個面分別標有數字1到8，任意拋擲一次這個正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數字，得到樣本空間為 .能否構造適當的事件 A . ，使 P（ABC）=P（A）P（B）P（C） 成立，但不滿足 ^A，B，C 兩兩獨立？

生15：設A={1，2，3，4}， ，則 ，但是 P（AB）= ≠P（B）P（C）.故A和B不獨立，A和C不獨立，B 和 C 不獨立.

結論 2：A，B，C 三個事件兩兩獨立， P（ABC）= P（A）P（B）P（C） 不一定成立； P（ABC）=P（A） ·P（B）P（C） 成立，但是 A，B，C 三個事件不一定滿足兩兩獨立.說明 P（ABC）=P（A）P（B）P（C） 與 A ，^13，C 三個事件兩兩獨立沒有關系.

問題13教材中有這樣一句話“獨立事件可以推廣到 n 個事件的情形 （n∈N，ngt;2） ·一般地，如果事件 A₁，A₂，…，A_n 相互獨立，那么 P（A₁A₂…A_n）= P（A₁）P（A₂）…P（A_n）^′ ”，這與結論2是否矛盾呢？

生16：剛才我們推出 ?_{A1，A2，…，An} 相互獨立”與“ P（A₁A₂…A_n）=P（A₁）P（A₂）…P（A_n） ”沒關系.

師：難道教材上面這句話是錯的？這可是一個重大的發現.

生17：老師，我們的結論和教材上的不一樣！教材上是“相互獨立”，我們推出來的結論是“兩兩獨立”.“相互獨立\"和“兩兩獨立\"是不是意思不一樣？

問題14“兩兩獨立”和“相互獨立”是同一個概念嗎？

師：兩個事件兩兩獨立和相互獨立是一樣的；三個及以上的事件兩兩獨立和相互獨立是不一樣的概念.設 A，B，C 是三個事件，如果同時滿足以下等式：P（AB）=P（A）P（B），P（AC）=P（A）P（C） =P（BC）=P（B）P（C），P（ABC）=P（A）P（B） ·P（C） ，則稱事件 A，B，C 相互獨立.

【設計意圖】在問題9的解決過程中，學生進一步掌握如何證明兩個事件為“相互獨立事件”，強化基礎知識與基本技能.類比于兩兩互斥事件的概率加法公式的推廣，問題10讓學生對 ?_A，B，C 三個事件兩兩獨立\"與“ 成立”的關系進行了深入的思考，通過具體實例，明確兩者之間沒有關系，深化對“兩兩獨立”的理解.問題12嘗試讓學生自行建構事件 A，B，C ，培養學生數學建模的素養，讓學生經歷“具體一抽象一具體”的概念建構過程，體會概念的本質.問題13引發了學生對教材的質疑和討論，從而明確“兩兩獨立”和“相互獨立”是不同概念，避免概念混淆，順利解決疑惑.通過一個又一個問題的提出，不斷激發學生產生疑問，在不斷的疑問中思考，在持續的思考中碰撞出智慧的火花，消除了學生對概念的誤解，加強了學生對概念的深度理解.

2教學反思

2.1精準設計問題，讓概念生成更自然

美國數學家哈爾莫斯（P.Halmos）認為“問題是數學的心臟”.新課標要求學生通過高中數學課程的學習提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.因此，基于問題的課堂教學受到越來越廣泛的關注和重視.本節課通過“同時拋擲兩顆骰子\"的問題引出“相互獨立事件”的概念，接著利用問題3將學生帶入思維的沖突中.學生在辨析中厘清概念的內涵，自然生成“相互獨立事件”的第二定義.問題設計時，教師需要選擇學生熟悉的真實情境，問題1就是來源于日常生活.教師要關注學生的“最近發展區”，設計的問題要能夠讓學生“跳一跳能夠得著”，即與學生現有的認知有一定的差距但是在學生的能力范圍之內，適合學生的思維水平，低于學生認知的問題會降低學生的興趣和注意力，難度太大的問題會打擊學生學習的信心.在教學設計時，要充分預設學生可能的探究方向，對教學過程中學生出現的一些“意外\"想法即使不能探究成功，也要給予肯定和鼓勵，要保護學生探究的積極性.這樣才能讓探究的過程更加真實、自然.[4與此同時，教師需要整合問題內容，精心布局提問環節，通過主干問題的邏輯串聯構建數學思維梯度，避免問題的碎片化、離散性和隨意化，符合學生的認知規律，實現系統里所說的“整體大于部分之和”的功能.問題鏈不是一個個問題的簡單堆砌，而是有明確的目標指引和緊密的有機聯系，促進學生在問題的變化過程中經歷概念的抽象建構，實現概念的同化和順應，

2.2探尋數學本真，讓概念理解更透徹

首先，通過問題1和問題2的解決，學生在數學課堂上獲得了“相互獨立事件”概念的語義表征，但是知道概念并不等同于理解概念.針對概念中容易出錯的地方設計了問題3，最左側3個小正方形區域和最上面3個小正方形區域的共同部分對學生產生了干擾，引起學生的爭論，啟發學會回歸到概念的本質去解決問題，回歸到知識的本源去辨析概念.其次，數學概念的抽象性在于它的符號表征.學生對5、6、7三個問題進行歸納梳理，找出共性，概括出“相互獨立事件\"的第二定義，用數學符號表示數學概念之間的關系.問題9聯系前面的對立事件，探究對立事件的“相互獨立”關系，實現了數學知識的遷移應用，加深了對“對立事件”和“相互獨立事件”概念的理解.最后，教師通過問題10、問題11、問題12，引導學生深入辨析“兩兩獨立”和“相互獨立”之間的關系，拓展數學概念，追尋概念本質.回顧整節課，正如章建躍教授所言“讓數學概念在問題的探究過程中實現從表面到本質、從抽象到具體、從孤立到系統”[5]從表面到本質，引導學生理解“相互獨立事件”概念的內涵和外延，把握概念的深層結構；從抽象到具體，引導學生把握“相互獨立事件”概念的不同表現形式，在典型、精彩的數學問題被解決的過程中進一步把握概念的具體細節，實現對抽象概念的具體應用，體現了從“學概念”到“用概念”；從孤立到系統，引導學生認識“相互獨立”“對立”“兩兩獨立”之間的關系和聯系，通過對概念間關系的考查，在概念的聯系中把握概念的核心所在，實現概念的靈活遷移，構建層次鮮明、立體結構的概念系統，

2.3圍繞核心素養，讓概念教學更深刻

章建躍教授認為教好數學就是落實數學學科的核心素養，而概念教學是數學教學的重中之重，得出概念的過程是最典型的數學抽象的過程.6教師通過創設合理的問題情境，引導學生用數學的眼光觀察世界，自然地抽象概括出“相互獨立事件”的概念.定義一與定義二既是數學概念的不同表征，也是數學抽象素養不同水平的體現.從水平一的“能夠解釋數學概念的含義\"到水平二的“能夠理解用數學語言表達的概念\"的過程中，彰顯了圍繞核心素養的課堂教學.在概念的辨析與問題的解決過程中，無論是發現問題、提出問題，還是分析條件、探索論證的思路都促進了學生的邏輯推理素養在數學課堂上的發展.在問題12的自主探究過程中，教師激發學生嘗試自行建構事件的模型來討論結論是否成立.學生面對實際問題，從數學的視角建立模型，應用數學解決實際問題，有力推動數學建模素養的發展，積累數學活動和實踐的經驗.因此，無論是課前的教學設計，還是實際的課堂教學，教師都要樹立以發展學生數學核心素養為導向的教學意識，圍繞核心素養去設計問題和教學環節.許多教師認為“相互獨立事件\"是一個簡單的概念，在課堂教學時往往一帶而過.但是，無論是舊版教材還是新版教材，不約而同地將“相互獨立事件\"設計為一個課時.這說明“相互獨立事件”是概率學習的初始概念，為后面學習條件概率進行鋪墊，是進一步學習后續知識的基石.教師要重視教材，讓學生自然經歷概念的形成過程，基于核心素養引導學生深刻地理解概念的本質，獲得概念的內化.深刻的教學應該教會學生用數學的眼光觀察世界，用數學的思維來分析世界，用數學的語言來表達世界，提高學生的數學核心素養，發展學生的智慧，實現數學育人.[7]

參考文獻

[1][3]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）M.北京：人民教育出版社，2020.

[2]章建躍.核心素養導向的高中數學教材變革（續3）—《普通高中教科書·數學（人教A版）》的研究與編寫[J].中學數學教學參考，2019（25）：5-11.

[4]吳新建.讓探究成為習慣使學習更加自然—以“等比數列的前項 n 和\"教學為例[J].數學通報，2017（8）：27-30.

[5]章建躍.章建躍數學教育隨想錄（上卷）M].杭州：浙江教育出版社，2017.

[6]章建躍.樹立課程意識落實核心素養[J].數學通報，2016（5）：1—4+14.

[7]宋秀云.讓“簡單內容”教得深刻[J].數學通報，2016（4）：16-19.