1+1>2 ，聯袂應用

利用基本不等式解決某些代數式的最值（或取值范圍）問題，一直是解決此類問題中最為常用的解題方法.有些綜合問題由于代數式比較復雜，難度有時比較大，需要較強的解題技巧與策略.換元思維就是其中的一個重要手段，成為破解代數式的最值（或取值范圍）問題的一大技巧.

1三角換元

利用三角換元思維解題時，經常要對代數式進行合理的設元或配方等處理，將問題轉化為三角函數問題，結合三角恒等變換并利用三角函數的圖象與性質等來確定對應代數式的最值（或取值范圍）.

例題（2024年山西省高三聯合模擬數學試卷第16題）已知 agt;0，bgt;0 ，且 ，則 b-1的最小值為

分析：根據題設條件中代數關系式的結構特征，合理進行三角換元處理，將對應的參數表示為三角函數表達式，通過合理變形與轉化并利用基本不等式來加以放縮處理與巧妙轉化，進而得以確定對應的最值.利用三角換元法處理是解決該問題的一個基本切入點與解題方法.

解析：依題，由于 agt;0，bgt;0 ，且 ，利用三角換元可設 則有

利用基本不等式，可得 ，當且僅當 即 時等號成立，所以 b-1的最小值為8，故填答案8.

點評：若在問題題設中含有兩個正項代數式之和為1（或某個特定的值）時，經?？梢越柚菗Q元處理，先將代數問題轉化為三角函數問題，然后利用三角函數的知識進行變形與轉化，從而得以分析與求解，達到解題的目的.三角換元思維常常用來處理兩數或兩式和為定值的關系式問題，是解決此類問題中比較常見的解題思路，

2整體換元

利用整體換元思維解題時，關鍵是抓住代數式的某個部分（或特殊結構），如雙變元之間的比值、差值等進行整體換元處理.在整體換元處理時，齊次化思維是其中比較常用的一種變形方式，如“除1\"法往往是化整式為分式的基本途徑.

例題（2024年遼寧省實驗中學高三第二次月考數學試卷第16題）已知 a²+2ab-b²=1 ，則 a²+ b² 的最小值為

分析：根據目標結論中的關系式，并利用條件中的關系式進行整體換元處理，通過“除1\"法進行恒等變形，化整式齊次式為分式齊次式，結合分式的恒等變形與轉化，合理配湊并利用基本不等式來進行放縮處理，進而得以確定對應代數式的最值.

解析：依題 a²+2ab-b²=1 ，顯然 a≠0 ，設 （204號 Ψ_t ，則有 ，解一元二次不等式有 1- ，可得

通過整式齊次式轉化為分式齊次式，并利用基本不等式，可得 當且僅當 A即 ，亦即 時等號成立，所以 a²+ ，即 a²+b² 的最小值為 ，故填答案

點評：對變形后的代數式的某個部分（或特殊結構），經常是用比值、差值等進行整體換元處理，能夠凸顯出某些關系式特定的解題形式，為進一步巧妙引導、合理啟發開拓空間.

3對應換元

利用對應換元思維解題時，往往是抓住題設條件與所求結論中對應代數式的結構特征進行對應換元處理，從而簡化關系式的復雜程度，使得所求代數式與題設條件之間的聯系更加密切，為進一步利用基本不等式來放縮提供條件.

例題已知正實數 x，y 滿足 x+2y+2=2xy 則 的最小值為

分析：根據題設條件，對題設條件中的關系式進行合理變形轉化，與結論所求的代數式加以對比，而后進行合理配湊與因式分解、對應換元處理，利用兩變量的定積，結合基本不等式的放縮來確定所求代

數式的最值.

解析：依題，正實數 x，y 滿足 x+2y+2=2xy . 變形轉化可得

設 x-1=a，2y-1=b ，由于 x，y 為正實數，則 有 agt;0，bgt;0 且 ab=3

利用基本不等式，可得 ，當且僅當 ，即 3a=2b ，亦即 3（x-1）=2（2y-1） 時等號成立，所以 2y-1的最小值為2√2，故填答案2√2.

點評：利用兩個或多個新的變量替換原來的兩個或多個變量，從而合理改變題目結構，進而給原來繁雜的代數式創造了新的解題機會，特別要注意的是多次利用基本不等式時每個不等式取等號的條件應是相同的.

4變形換元

利用變形換元思維來處理問題時，關鍵是根據題設條件中的代數式與所求結論中的代數式兩者之間的結構特征與聯系加以合理變形轉化與換元選取.變形換元思維處理時，依托換元轉化，往往可以使得多元代數式的結構特征更加突出，方便利用不等式或函數等思維來進一步分析與求解，

例題（2023年浙江省寧波市高中數學競賽試題第11題）已知 x，y，z 均為正實數， xy+yz=1 ，則 的最小值是

分析：根據題設條件中多元代數式的結構特征，利用提取公因式變形轉化，并進行雙變量變形換元處理，而后借助基本不等式的放縮來確定最值.

解析：依題 xy+yz=1 ，則有 （x+z）_y=1 ，令x+z=mgt;0，y=ngt;0 ，則有 mn=1

利用基本不等式，可得 ，當且僅當 n ， 時等號成立，顯然這樣的正實數 x，y，z 均存在，所以"""的最小值是""，故填答案"

點評：先對所給的代數式進行合理變形，然后對其中的特定結構形式進行換元處理，用新變量替換原來的舊變量，進而有效揭露代數式中所隱含的關系，為進一步利用基本不等式放縮而順利解題創造了條件.

5結語

基于換元思維的基本不等式的放縮與應用，往往使得問題中所求代數式的結構特征更加明顯突出，對代數式的放縮與最值求解更加直接有效，有利于某些代數式的最值（或取值范圍）問題的分析與求解.換元法與基本不等式的綜合與協同，共同實現某些代數式的最值（或取值范圍）求解，聯袂應用，真正達到"_1+1gt;2"的效果.