人工智能大語言模型支持數學教學的思考

在大學與中學銜接的數學教學上，通用大語言模型等生成式人工智能展現出一定的潛力，它通過和大語言模型進行交互，不僅可以改變傳統的師生對話與互動的教學模式，也為學生提供了全新的學習體驗.

1人工智能大語言模型在數學教學中的應用

1.1為學生提供豐富的學習資源

生成式大語言模型與搜索引擎相配合可以高效地從互聯網內容中獲取大量的信息，進行學習資源推薦.例如，秘塔AI搜索可以返回帶有參考文獻的信息，如輸入“數列的子列”一詞，它會給出概念的解釋、延伸閱讀、參考文獻等，還能生成演示文稿和思維導圖.中國知網的AI學術研究助手也能通過問答檢索出相關文獻.然而，由于人工智能技術可能生成陳舊、虛假或相關錯誤的信息，所以學生在接受信息時需要保持批判性思維，形成自己對問題的認識，

1.2輔助學生理解數學概念和問題

通用大語言模型通過提供分步計算、圖表等形式進行可視化表示，逐步解釋思考過程或驗證具體的實例，促進學生對數學概念的深入理解.例如，讓大語言模型用形象化語言解釋高等數學中的概念“數列的子列”時，它給出了很多生動的比喻，如鋼琴鍵盤（將數列比作鋼琴的整個鍵盤，每個鍵代表一個元素，子列就是從鍵盤上選擇的幾個鍵，菜單上的菜品（將數列比作餐廳菜單上的一系列菜品編號，子列就是顧客從菜單中選擇的一些菜品編號），火車車廂（將數列想象成一列火車的車廂，每節車廂都有一個編號，子列就是從這列火車中選取的一些車廂），項鏈上的珠子（把整個數列想象成一串項鏈，項鏈上的每顆珠子代表數列中的一個元素，子列就是從這串項鏈中選取一些珠子組成的小項鏈）.

1.3幫助學生進行個性化學習

學貴有疑，有疑問時可以和人工智能進行多輪互動問答.例如，學生可以針對某一話題詢問大語言模型“你還能提出什么問題”.大語言模型先進行發散性的回答，再對其中感興趣的話題繼續交流和探索.大語言模型還能提供“腳手架”，進一步促進學生的自主學習和探索，培養其提出問題的能力.例如，學生希望使用GeoGebra或Mathematica等數學軟件作圖，但不知如何操作時，可以讓大語言模型給出操作步驟，又或者想編寫一個解決相關問題的Py-thon程序時，也可以讓大語言模型提供代碼，注意有時需要對給出的步驟或代碼進行調試和修改以得到期望的結果.

1.4幫助教師進行教學內容和方法的創新

創新思維通常呈現出非線性、發散、跳躍的思考方式.[大語言模型幫助教師對教學內容和方法進行創新.仍以“數列的子列”這一中學數學與高等數學的銜接內容為例，首先，大語言模型提出定義理解、識別子列、子列性質、遞增子列構造、子列個數、子列應用等問題，還建議使用GeoGebra等數學軟件動態展示數列和子列的生成；其次，收集實際問題中數列和子列的應用案例，組織小組討論，讓學生探索和發現子列的性質；再次，開發或引入數學游戲，如數列排序等，以增強學習的趣味性，同時使用思維導圖幫助學生整理和理解數列、子列的關系；最后，設計一個項目，讓學生研究數列在特定領域的應用，并展示他們的發現.教師還可以讓大語言模型給出不同類型的題目并給出解答，如基礎理解題（描述定義并給出例子，識別子列題，已知子列構造原數列），計算題（子列求和），應用題（記錄一周內每天的步數，找出一個表示運動增加的子列），證明題（子列的有界性），探索性問題（最長遞增子列如何找子列的子列），算法設計題（設計算法求出最長遞增子列的長度），讓學生可以練習、識別、構造、計算和證明與數列和子列相關的各種問題

1.5幫助教師了解學生可能的困難

教師在進行教學設計時，可以讓大語言模型來幫助預設學生可能出現的問題，從而設計出更有效的教學策略.例如，在詢問“學生對理解數列的子列這一概念會有哪些困難”時，大語言模型會提供“順序的重要性”“連續性和間隔”“有限與無限”“數學符號表示的困惑”“子列性質”“子列與原數列的關系”“子列構造”“實際應用\"等方面的困難，還提供一些可以采取的策略，如使用具體的例子和類比來幫助學生形象化地理解子列，通過圖形和圖表來展示數列和子列的關系，討論子列在不同數學領域中的應用，以展示其相關性和重要性.

2教師使用人工智能大語言模型時需要具備的能力

2.1了解輸入數學公式和符號的 TeX語法

TeX是由美國著名的計算機科學家高德納（D.E.Knuth）開發的排版系統，是公認的數學公式排版最好的系統.了解基本的TeX語法是與人工智能進行數學符號溝通的基礎.數學中常用的符號包括上下標、分式、根式、不等號、取整、求和、求積、求導、并集與交集、屬于與包含、平行與垂直、相似與全等、任意與存在、不等號、平均數、向量、希臘字母、無窮大、極限、微分、積分等.

2.2具有邏輯推理和驗證證明的能力

對于大語言模型給出的答案，教師要進行判斷、甄別和選擇，判斷它們是否符合邏輯，論證是否嚴謹.這需要教師具備扎實的數學基礎，能夠理解和應用數學概念、定理和公式，知道常見的演繹推理方式，如直接證明（綜合法、分析法、窮舉法、構造法），間接證明（反證法、歸謬法），數學歸納法等.數學證明能力是一種高階的數學認知能力，而驗證證明或評估證明是通過閱讀和反思來檢驗論證的有效性，強調對證明的批判性思考.[2在課堂上通常會進行構建證明的活動，而反思大語言模型給出的回答是不是“幻覺\"輸出，或是否存在邏輯上的漏洞，正需要教師的閱讀和驗證證明能力.當代著名教育學家加涅（R.M.Gagne）也認為：為確保成功地解決問題，教師必須有證實答案的方法.3能正確評價大語言模型給出的論證是否有效對得到正確的證明很有幫助.教師可以讓大語言模型提供幫助理解的例子來驗證論證是否正確，通過和大語言模型交互來驗證證明，在此過程中也包含了修訂證明和生成新的證明.

2.3具有質疑精神并且要保持開放心態

對大語言模型給出的回答要用質疑的眼光審視它.對于復雜的數學問題，盡管大語言模型能快速給出回答，但它往往不能給出數學上嚴謹的推理或計算，或者因果關系有誤，對數學的概念理解有誤，生成的資料與文獻來源可能不匹配，這就需要教師擁有批判性思維，仔細閱讀回答以及資料來源，不能對其盲目信賴.當然，教師也需要保持開放心態，關注它所提供的啟發線索，不要只挑錯誤.就像志村五郎曾經評論谷山豐說他的“絕大部分錯誤總是指向正確的方向”[4只要大語言模型的回答能生成提示、引導直覺、激發靈感、催化頓悟、提出猜想，幫助我們找到適宜的問題表達方式，就對我們解決問題有所啟發.當然也要避免過度依賴，人工智能作為學習輔助不能完全代替自主思考，在有選擇地吸收大語言模型提供的觀點后主動形成自己的觀點，才能更好地促進理性思維的發展

2.4具有提問和使用提示詞的能力

提示詞也被稱為指令或常用語.教師在使用大語言模型解決相對復雜的任務時，需要創建具體、明確的提示詞，從而讓大語言模型生成更合適和更具體的回答.詳細的提示詞一般包含背景（例子）、角色、任務和輸出要求等要素.其中，背景可以是正在設計關于中值定理綜合應用的課例；通過賦予角色讓大語言模型知道自己是專家、教師、學生還是研究者，如“我希望你能扮演一位善于高等數學的專家”；任務可以是解釋定理、提出問題、給出詳細的逐步推理過程、提供問題解決策略、舉出現實中的應用、給出小結和反思等；輸出要求可以是表格、分段文字、對話形式、代碼等.此外，也可以讓大語言模型自己寫提示詞.為更好地發揮人工智能的作用，教師更要主動思考、積極提問，保持著好奇心、想象力和探求欲，在交互過程中調用元認知能力，提高思維的深刻性

3結語

如果教師要和大語言模型進行關于問題解決的高水平討論，還要了解相關的理論知識，如布盧姆目標分類學，問題解決的相關心理學理論（杜威的五階段論、羅斯曼的六階段論、布蘭斯福特等人的IDEAL模式、皮亞杰的理論、格式塔學派的頓悟說、信息加工理論的算法式與啟發式），問題圖式理論，波利亞、舍費爾德等的數學解題理論，奧蘇伯爾和魯賓遜的四階段數學問題解決過程模型等.教師在使用指令時，也可以用“逆向思考”“手段一目的分析法”“類比\"\"分解”“歸納”等啟發性提示詞讓大語言模型提供回答，也可以讓它使用結構圖對問題進行歸類、分組、比較來促進對問題的理解，幫助構建問題圖式，提高問題解決能力，促進教育創新.

不斷進步的人工智能技術在教育領域的應用前景無限廣闊，筆者也有理由相信它將為各個階段的數學教育帶來革命性的變化.

參考文獻

[1]張曉芒.創新思維的邏輯學基礎[J].南開學報，2006（6）：88-96.

[2]杜宵豐，劉堅.八年級學生數學證明能力評價指標體系研究[J]中國考試，2022（10）：64-73.

[3]R·M·加涅.學習的條件和教學論[M].上海：華東師范大學出版社，1999.

[4]G.Shimura.YutakaTaniyamaandHisTime：VeryPersonalRecollections[J].Bulletin of theLondon Mathematical Society，1989（2）：186-196.