高考數(shù)學試題的深度剖析

2024年數(shù)學新高考全國I卷創(chuàng)設了全新的試卷結構和難度模型，其中題量從原先的22題減少到19題，分值和多選題的得分規(guī)則也發(fā)生了變化.高考數(shù)學通過創(chuàng)新試卷結構和題目風格，深化基礎性考查，強調對學科基礎知識、基本方法的深刻理解，不考死記硬背，不出偏題怪題，著力遏制猜題押題，減少題海戰(zhàn)術的濫用，引導中學教師把教學重點從總結解題技巧轉向培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)，提升課堂效果和作業(yè)效率.1在解析幾何知識的考查上，2024年數(shù)學新高考全國I卷第11題充分體現(xiàn)了“多思少算\"的設計理念，引導高中解析幾何教學注重思維訓練，加強思維能力的培養(yǎng).

1試題呈現(xiàn)

造型可以做成美麗的絲帶，將其看作圖中的曲線 C 的一部分.已知 C 過坐標原點 O ，且 C 上的點滿足：橫坐標大于一2，到點 F（2，0） 的距離與到定直線 x=a（alt;0） 的距離之積為4，則.

D.當點 （x₀，y₀） 在 C 上時，

依據《中國高考評價體系》三個維度對該試題進行評價.[2]

（1）為什么考.考查學生面對新情境、解決新問題的創(chuàng)新能力，引導學生從不同角度認識問題，鼓勵學生主動思考、發(fā)散思維，激發(fā)學生的想象力和思維張力，深入考查思維能力，助力拔尖創(chuàng)新人才選拔，

A. a=-2

B.點 在 c 上

C. C 在第一象限的點的縱坐標的最大值為1

（2）考什么.試題涉及軌跡方程、函數(shù)最值、不等式問題等，考查學生的數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)學建模等素養(yǎng).

（3）怎么考.摒棄了以往常見的以三種圓錐曲線為載體，從“絲帶”這個實際生活背景出發(fā)，抽象出數(shù)學模型，重新定義了一個新曲線，并研究它的一些相關性質.

2解題思路

2.1理解題意

A選項要求學生求出參數(shù) ^a，B 選項要求判斷點是否在曲線上，C選項是求最值問題，D選項判斷點在曲線上時， y₀ 和 的不等關系.

2.2制定計劃

利用題目所給條件寫出新曲線的方程 · ，根據題設將原點代入曲線方程后可求出 a ，從而判斷A的正誤，再結合曲線方程可判斷B的正誤.對于C選項，可以由軌跡方程，將 y 表示成 x 的函數(shù)，再通過求導的方法判斷或求出 的最大值.對于D選項，將曲線方程化簡后結合不等式的性質判斷 D 是否正確

2.3實施計劃

設曲線 C 上的動點 ，則 ，因為曲線 C 過坐標原點，所以 ，又alt;0 ，所以 a=-2 ，故A正確.

對于B選項，因為曲線方程為 |x-a∣=4（xgt;-2） ，當 時， ，故 在曲線 C 上，B正確.

對于C選項，當點 P 在第一象限時，由曲線方程可得 令藍 （x-2）² 則 ，因為f（2）=1 ，且 f^′（2）lt;0 ，所以曲線 C 在 x=2 處的切線斜率小于0，說明在其附近函數(shù)單調遞減，則縱坐標的最大值肯定比1大，故C錯誤

對于D選項，當點 （x₀，y₀） 在曲線 C 上時，由C選項可得 所以 x0+2故D正確.

2.4 回顧反思

我們發(fā)現(xiàn)上述C、D選項的解答稍顯煩瑣，是否有特殊的方法？如特值法、數(shù)形結合法等.

在 x=2，y=1 的條件下，可以直接利用圖象，過點 F 作一條垂線，與曲線交于點 P ，此時發(fā)現(xiàn) P 點不是最高點，也可判斷C選項是錯的；或者直接在點P 處作一條切線，發(fā)現(xiàn)其切線斜率不為0，非端點最值點導數(shù)不為0，可判斷C選項不正確，避開煩瑣的運算，自然是此題的好方法.

再看D選項，解析幾何要靈活運用曲線定義，將代數(shù)問題轉化為幾何問題，數(shù)形結合地看問題.如圖1所示，過點 作 PA⊥OF 垂足為 A ，則 xo+2，顯然有yo≤lyo丨=PA≤ ，當動點 P 在 x 軸下方時，不等式顯然也成立， D 正確.

這個方法體現(xiàn)了解析幾何中“多思少算”的思想，這在后續(xù)的解析幾何大題中也有所體現(xiàn)

3追本溯源

3.1試題的源

試題的源頭來自有理曲線：如果一條代數(shù)曲線的點可以表示成參數(shù)的有理函數(shù)，則該曲線稱為有理曲線，如蔓葉線（如圖2）、笛卡爾葉形線（如圖3）、環(huán)索線（如圖4）等均為有理曲線

2024年數(shù)學新高考I卷第11題就是源自有理曲線 （x+2）²?[（x-2）²+y²]=16 圖象上橫坐標大于一2的部分.

3.2鏈接高考

（2011年高考北京卷）曲線 C 是平面內與兩個定點 F₁（-1，0） 和 的距離的積等于常數(shù) α² 1 （agt;1） 的點的軌跡.給出下列三個結論： ① 曲線 C 過坐標原點； ② 曲線 C 關于坐標原點對稱； ③ 若點 P 在曲線 C 上，則 ΔF₁PF₂ 的面積不大于

其中，所有正確結論的序號是

此題是以“到兩定點距離之積”為命題切人，考查了曲線的軌跡方程、對稱性、動點在運動過程中的最值問題，與2024年數(shù)學新高考全國I卷第11題有異曲同工之處.

3.3 回歸課本

人教A版《普通高中教科書數(shù)學選擇性必修第一冊》給出了滿足到定點與定直線的距離之比為定值的曲線相關探究與習題，使圓錐曲線統(tǒng)一了定義：動點到定點的距離與到定直線的距離之比為定值.將“比\"換成“積”得到了本題的曲線.我們自然會思考“若將其改為距離之和或差時，會得到什么形狀的曲線？曲線會有哪些性質呢”.按照這個思路，可以將2024年數(shù)學新高考全國I卷第11題進行推廣.

4推廣運用

4.1探究距離之“和”

利用GeoGebra軟件（以下簡稱“GGB\"繪制平面內到定點與定直線 a 的距離之和為定值的軌跡，當參數(shù) a 取不同值時，軌跡不一定會存在，但當軌跡存在時，其形態(tài)為兩段不連續(xù)的拋物線型曲線（如圖5、圖6、圖7）.

結論：平面內到定點與定直線的距離之和為定 值（大于定點到定直線的距離）的點的軌跡為兩段拋 物線（均不完整）.

4.2探究距離之“差”

同樣，通過GGB軟件繪制平面內到定點與定直線的距離之差為定值的軌跡，發(fā)現(xiàn)軌跡不一定存在，若存在即為拋物線（如圖8）.若改變定值或定點可能會出現(xiàn)不同的圖形（如圖9）.

事實上，若將距離改為之“和\"或“差”，其軌跡方程都不難研究，因為可以對 x 的范圍進行分類討論，再將其方程化簡，得到分段圖象，即可研究圖象的性質.

4.3變式訓練

變式1已知曲線 C 是平面內到定點 F（0，1） 和定直線 l：y=-1 的距離之和等于4的點的軌跡，若點P（x₀，y₀） 在曲線 C 上，則下列結論正確的是.

A.曲線 C 關于 x 軸對稱B.曲線 c 關于 軸對稱C. -2?x₀?2

D. 1?|PF|?4

變式2 已知曲線 c . · ，以下結論正確的有

（1）C 過（0，0）.（2）C 上任意一點縱坐標的取值范圍是[一2，2].（3）C 關于 x 軸對稱，也關于 軸對稱，還關于原點對稱.

（4）P 是 C 上任意一點， A（0，1），B（0，-1） ，則S_ΔPAB 的最大值是

4.4推廣價值

通過推廣運用進一步考查學生“用代數(shù)方法研究幾何問題”的能力.變式1判斷曲線的對稱性問題，寫出方程后可以直接用一 x 代替 x ，方程不變，說明圖象關于 y 軸對稱.對于選項的設計應貫徹“多思少算”的思想，引導學生對數(shù)學本質的理解.變式2求解最值問題時，可利用數(shù)形結合，減少計算量.

5教學建議

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》以下簡稱“課程標準\"指出：“數(shù)學教材為‘教與‘學活動提供學習主題、基本線索和具體內容，是實現(xiàn)數(shù)學課程目標、發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)重要的教學資源.\"[3教育部教育考試院強調，要堅持考教銜接，引導學生夯實基礎、提升能力、發(fā)展素養(yǎng).近年來，新高考為發(fā)揮“引導教學\"的核心功能，試題注重對教材知識的延伸和發(fā)展，多數(shù)試題都能在教材中找到蹤影.高中數(shù)學教學應以教材為本，重視教材的作用，把教材作為教學的核心資源，在課堂教學中遵循課程標準，根據學情、利用教材進行創(chuàng)新設計與實施.

5.1研讀課程標準，領會課標精神

課程標準是教材編寫、課堂教學、學業(yè)評價和高考命題的依據.教師應準確把握課程標準、課程內容、學業(yè)質量標準的要求，結合自身教學實際情況，選擇更適合學生學情和教學內容的方法開展教學，提高教學質量.

5.2用好教材例題、習題，進行創(chuàng)造性的教學

高考試題源于教材，又高于教材，近年來有眾多試題源于教材或由教材中的例題、習題改編.教師應重視對教材典型例題和習題的精講、精練，并加以挖掘和改造，引導學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，這樣可以有效避免機械重復的練習，幫助學生掌握知識技能，感受數(shù)學的基本思想，積累數(shù)學思維經驗，理解數(shù)學的本質，提升數(shù)學學科核心素養(yǎng)，

5.3用好章小結，使知識系統(tǒng)化

教師應該充分利用章小結中的“本章知識結構”“回顧與思考”部分，整合主干知識，完善專題體系，形成學科思想.通過引導學生繪制思維導圖，直觀地呈現(xiàn)整章知識的結構，便于學生理解和記憶，提煉本章中蘊含的數(shù)學思想方法，提升學生對知識運用的靈活性，從整體上把握知識的系統(tǒng)性，

5.4用好教材中的“閱讀與思考”，培養(yǎng)學生自主學習和探究的能力

人教A版普通高中教科書的“閱讀與思考\"欄目，為學生提供豐富的，具有思想性、實踐性、挑戰(zhàn)性的反映數(shù)學本質的選學材料，能夠拓展學生的數(shù)學活動空間，發(fā)展學生“做數(shù)學\"“用數(shù)學\"的意識.這些材料所具備的拓展性、創(chuàng)新性、應用性及展示數(shù)學文化的趣味性是命制新定義試題所必需的.近些年，這些材料也常常作為高考命題的素材出現(xiàn)在高考試題中.

教師可以通過這些具有啟發(fā)性、探究性的數(shù)學材料，引導學生主動思考、積極探索，培養(yǎng)學生的邏輯思維、創(chuàng)新思維和批判性思維能力；通過實際問題的分析和解決，讓學生學會將所學數(shù)學知識應用到實際情境中，提高學生提出、分析和解決問題的能力，培養(yǎng)學生運用數(shù)學的意識.

通過教學使學生在面對新情境、陌生問題時能獨立找到解決方法，這正是數(shù)學教師教學過程中落實考教銜接的意義所在.

參考文獻

[1]教育部教育考試院.優(yōu)化試卷結構設計突出思維能力考查2024年高考數(shù)學全國卷試題評析[J].中國考試，2024（7）：79-85.

[2]教育部考試中心.中國高考評價體系（2019年版）[M.北京：人民教育出版社，2019.

[3]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[M.北京：人民教育出版社，2020.