結構化教學視角下的課時教學實踐與思考

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版》）在“教學建議\"中指出：“要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質，對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系.\"因為數學知識間存在著較強的邏輯關系，數學學科具有顯著的結構化特征，所以開展數學結構化教學對于學生構建結構化知識體系，進而形成數學核心素養有著重要意義.然而，在實際教學中，碎片化教學現象依然較為普遍.筆者近日觀摩的蘇科版《義務教育教科書數學九年級下冊》第7章第1節“正切\"公開課就是如此，本文對此作些剖析并進行優化設計思考.

1課程安排及問題分析

1.1新知的形成

“正切\"公開課的第一節課出示書上五張“等底不等高”“等高不等底”“高底成比例”三種不同類型的臺階，讓學生判斷哪個臺階最陡，分析臺階的陡緩跟坡角的對邊、鄰邊的關系，歸納出坡角的大小和對邊與鄰邊的比值有關，并驗證結論，介紹定義.第二節課讓學生回顧梳理直角三角形關于角、邊的相關知識，猜想出本課要研究邊與角的關系，結合 30^°，45^° 角所在直角三角形的邊角關系，猜想直角三角形中銳角的大小跟對邊與鄰邊的比值有關，并通過相似驗證結論，給出定義.

1.2例題的設計

第一節課選取的例題是近年的中考題，主要在直角三角形和圓等不同背景下計算角的正切值，過分側重于直角三角形的尋找和角的轉化，難度偏大，學生參與度不高.由于新知的形成時間較短，導致第二節課后面剩余時間較多，只能用練習，東拼西湊，比較雜亂.

1.3體系的建構

在本章知識體系環節，僅呈現知識學習先后順序，未能彰顯知識聯系的復雜性和緊密性，未能突出數學思維的特征和人們認識數學的個人體驗.[只有形式和簡單的過程，缺乏思想和靈魂，沒有真正從內在邏輯和現實情境中構建整個知識體系.

問題分析：在新知形成中，第一節課引用書上的例子，設定對邊相等或鄰邊相等，通過比較鄰邊或對邊的大小說明角的大小，直接降低了思維的深度，概念的形成缺少自然探究的過程；第二節課由特殊角所在直角三角形兩邊的比例關系，直接猜想出角的大小與它所在直角三角形的對邊與鄰邊有關，再介紹正切概念，顯得過于直接牽強.兩節課共性問題是沒有把數學抽象概念的形成作為素養培養目標，對概念的來龍去脈缺少整體性的考慮和關聯性的研究，從現實世界的客觀現象到發現數量關系與空間形式這一過程中，缺少自然過渡的臺階，使得學生的抽象能力難以形成.例題的設計沒有把數學的推理、計算和建模作為素養目標，涉及的知識面單一或難度過高，與前后知識的銜接性或關聯性不強，本質上缺少結構化的視野，導致學生的推理能力、計算能力和模型意識難以形成.在體系建構中，教師沒有從整體性視角建構知識和方法體系，缺少對本章知識脈絡走向的引領、數學思想方法的啟迪、基本活動經驗的喚醒，缺少課時與整體的關聯和結構分析、類比和應用，使學生難以形成全局的觀點，也未達成具有整體性特征的素養目標.從中可以看出，要達成課時教學的核心素養目標，開展課時結構化教學是重要的路徑和抓手.

2課時結構及解讀

美國教育心理學家布魯納（J.S.Bruner）認為，結構化的內容有助于學生理解，在學習后期不容易遺忘.同時，學生從結構化中學到的原則、原理易于正向遷移到未來類似的情境中，這有利于培養學生的探究能力，讓學生能夠獨立獲取更高層次的知識.因此，教師在備課時要對教學內容和方法進行結構化解讀，從整體關聯的角度剖析內容，

2.1知識明線，前后銜接

作為“銳角三角函數\"章節開篇第1課時，教材從先比較三個“等底不等高”“等高不等底”“高底成比例”的臺階哪個更陡，引出直角三角形中可以用銳角的對邊與鄰邊的比值刻畫這個角的大小，再利用相似三角形的知識證明了“如果直角三角形的一個銳角的大小確定，那么這個銳角的對邊與鄰邊的比值也確定”，在此基礎上得到了正切的概念.本課時以相似三角形、勾股定理、函數的概念等內容為基礎，為正弦、余弦概念的學習作鋪墊.與之相關聯的舊知還有： 30^° 角所對直角邊是斜邊的一半，揭示了直角三角形的銳角的大小可能與邊的比值有關；直線y=kx+b（k≠0） 中， k 與直線的傾斜程度有關，體現出數字與角度的關系.

2.2方法暗線，整體思考

人教版和浙教版“銳角三角函數”章節開篇第1課時介紹的是正弦、余弦、正切，這兩者與蘇科版教材的引入順序和方法均有較大差異.事實上，正切、正弦、余弦本身并不存在因果關系，它們的引入順序不會影響到學生的認知層次.真正對學生認知產生重要影響的是銳角三角函數是用線段的比刻畫角的大小的一種方法，這種方法貫穿本章的學習過程.對初中生而言，從“線段長\"到“線段比”是認識上的一次飛躍.3因此，教學的重點是充分引導學生自主探究“為什么會想到用線段比刻畫銳角的大小，為什么要放在直角三角形中來研究”，同時要感知這種方法在正切、正弦、余弦中的連貫性和一致性.與之相關聯的學習經歷：用疊合法比較兩個直角三角板中的銳角時，除了觀察邊的相對位置，還能通過固定一邊（控制變量法）來探究角與另一邊的變化關系，這一過程既鞏固了疊合法的應用，也為后續比較角的大小提供了新思路；特殊角的大小與其所在直角三角形的邊的比例有關，這又為猜想提供了不完全歸納；三角形的相似為證明提供了方法.

3結構化教學及理解

結構化教學需要教師站在課程、單元、課時的視角，根據數學知識的邏輯性、關聯性、結構性等特點，結合學生已有的數學知識和生活經驗，幫助他們從整體上理解知識的來龍去脈、例題的前因后果、學習的通性通法.因此，教師首先要厘清教學前后知識的關聯，從學生的知識積累和學習經驗出發，鋪設知識生長的臺階，逐級深人探析概念的形成；其次抓住新知的本質，尋找前后銜接與左右關聯，設計具有呼應性、開放性、動態性的例題，形成網狀結構；最后總結延伸，完善知識結構，積累思想方法，關聯其他課時內容，形成全局的邏輯結構.4具體流程如圖1所示.

4課時優化及說明

4.1概念形成，鋪墊自然

問題1長城被稱為世界八大奇跡之一，氣勢磅礴，綿延起伏，欣賞長城圖片（如圖2），你覺得哪一段臺階平緩些？哪一段臺階陡峭些？如何比較圖3臺階的平坦與陡峭？為什么？

問題2為比較兩個銳角的大小，我們先把這兩個銳角放在直角三角形中研究，如圖4用疊合法比較 ∠ABC 和 ∠FBC 的大小，由 BF 在 ∠ABC 內部可得 ∠ABCgt;∠FBC， 觀察此時點 D 的位置，還可以用什么量來反映角的大小？得到什么結論？類似的，換個視角，又可以得到什么結論？如果把這兩個角放在一般三角形中研究行不行？放在哪類三角形更好？

問題3剛才的探究方法與物理學中的控制變量法不謀而合，我們發現角的大小跟它所在直角三角形的對邊和鄰邊都有關系，是跟這兩邊的和、差、積還是商有關？請舉例說明.圖4中， ∠DBE 和 ∠FBC 相等，觀察它們各自所在的三角形，你發現了什么？

問題4在 RtΔABC 中，當銳角 ∠A 確定后，它的對邊與鄰邊的比值是否唯一確定？為什么？“唯一確定”讓你聯想到什么舊知？

教學說明：問題1引導學生把立體圖形轉化為平面圖形，得出臺階陡緩程度跟坡面與水平面的夾角（坡角）有關.問題2中，教師回顧用疊合法比較角的大小，并用兩個直角三角形的硬紙片演示，作出相應的示意圖，引導學生發現ABC和 ∠FBC 的大小與AC、FC的長短關系，讓學生反思上述研究方法，喚醒物理學中的控制變量法，觸類旁通換邊思考，從而得到如果 ∠A 的一條鄰邊不變，對邊越大，∠A 越大；如果 ∠A 的對邊不變，鄰邊越小， ∠A 越大.最后一小問旨在讓學生理解放在直角三角形中研究角與邊關系的意義，引出三角函數發展史，為概念的生成作鋪墊.問題3猜想結論并通過 30^°，45^° 角驗證，再利用原圖分析同角或等角和對邊與鄰邊的比值關系，得出角的大小與這兩邊的比值有關.問題

4通過相似證明當角的大小確定時，有唯一的比值與之對應，讓學生由此聯想到函數的概念，順勢引出正切的定義，揭示本課課題.

4.2例題設計，多方融合

問題5如圖5所示，在 RtΔABC 中， ∠C=90^° ，若，求 ？請你結合正切的定義，設計問題并讓其他同學求解.

變式如圖6所示， D 為 ?AB 上的一個動點，當CD 分別為 AB 邊上的高、中線和角平分線時，求tan∠BCD 的值.

問題6已知直線 l₁：y=k₁x+b₁ 與 l₂：y= k₂x+b₂ ，若 k₁=k₂gt;0 且 b₁≠b₂ ，則直線 l₁ 平行于l₂ ，為什么？

教學說明：問題5從動態開放的角度設計例題，讓學生充分理解定義的內涵和外延，掌握求銳角的正切值的前提、題型、背景和方法.學生一般會假設已知兩直角邊長、一直角邊和斜邊以及一邊一角等求解其他元素.后面的變式巧妙對應了三角形三線的動態介紹，涉及角的轉化以及求解特殊角的正切值.問題6體現了 k 值與直線的位置有關，是一次函數的教學難點.此處可從特殊到一般讓學生嘗試體驗，如已知直線過點（1，2），（3，4），求 k ；已知直線過點 （x₁，y₁），（x₂，y₂） ，求 k ，讓學生在求解過程中領悟 k 的值等于這兩點的鉛垂距離、水平距離的比值，即傾斜角的正切值，體會數學知識相互之間的關聯及本課的研究價值.

4.3整體建構，融會貫通

問題7回顧本課的學習經歷，說說本課的知識線和注意點、涉及的數學思想方法、學習的價值.思考直角三角形中兩邊比值的組合還有哪些，重點會研究哪些組合，如何來研究，研究哪些內容？

在此基礎上，教師介紹國內外三角學發展史及三角函數發展的變化，點明三角函數的產生源于生活之需，適發展之要.

教學說明：教師引導學生從四個方面概括：一是復述學習了什么；二是分享怎么學的；三是明確為什么學；四是了解后面會學什么，怎么學，并梳理形成知識結構圖，讓學生理解知識的內在生長脈絡.以三角函數史為鑒，感受三角函數發生、發展的過程，體會學習三角函數的價值意義，激發學習興趣和動力.

5結構化教學的思考

結構化視角下的課時教學，要求學習者的知識結構螺旋式上升，這種螺旋式上升需要在學生原有的知識觀念和新知識發生不同程度的認知沖突作用下形成，這其中包括同化、順應等過程.[5因此，課時教學要基于學生已有的認知，以發展核心素養為導向，從結構化的視角對教學內容進行重組和優化，通過數學情境的鋪墊，呈現知識間的前后關聯、學法的相似相通、思想的前后融通，幫助學生解決問題并形成有效的遷移，建立結構化知識體系.

5.1線性鏈接要點，拾級探究新知

美國教育學者威金斯（G.Wiggins）和麥克泰格（J.McTighe）認為，良好的設計不僅僅是讓學生獲得一些新的技術和技能，而是為了以目標及其潛在的含義為導向，產生更全面、更具體的學習.教師在授課前，要厘清教學內容有哪些知識要點，這些知識點的銜接點是什么，如何自然銜接，串點成線；教學的重難點是什么，如何提供合乎邏輯的思考臺階，拾級而上地發現結論，實現再創造，突破重難點；教學內容主線與相應核心素養發展之間的關聯是什么，如何體現等.在此基礎上，圍繞教學的重難點，設計一系列子問題，用序列的方式將一個個知識點呈現，伴隨著知識的生長發展，思想方法線和素養線交織前行，最終對所學內容形成較為全面、完整的看法.

例如，在本課中，正切的定義是教學的重難點，關鍵要突破以下幾點：一是為什么想到用直角三角形邊的大小反映角的大小；二是為什么要同時看兩邊的關系，是兩邊的什么關系；三是為什么要放在直角三角形中研究，其他三角形是否可以.正切研究一個角與兩邊的關系，如何化歸到兩個變量之間的關系，涉及哪些數學思想方法，蘊含了哪些數學核心素養等.這就需要教師站在學生的角度分析新舊知識的銜接點，鋪設合適的臺階引導并幫助學生探究新知.具體如圖7所示.

5.2網狀發散例題，深度理解概念

學生在了解概念的形成和發展過程后，需要通過一定量的例題訓練理解概念，掌握內涵和外延.教師圍繞概念設計例題，要充分考慮例題在深化理解概念的潛在作用，既要體現概念的應用，又要結合學生原有知識儲備，從開放性、動態性、呼應性等視角構建更加靈活、廣泛的知識網狀結構性例題，幫助學生學習、思考和創造，

本課共設三例，例1屬于開放性例題，較為基礎，圍繞正切的知識要點，在直角三角形中已知兩邊求正切以及已知一邊一角求其余量，讓學生多元化的研究和歸納，明概念之本，知解題之道.例2屬于動態性例題，難度中等.直角頂點與斜邊上的動點的連線，形成斜邊上的高、中線及直角平分線，求這些連線與直角邊夾角的正切值.這道題讓學生學會在不同背景下把銳角轉化到直角三角形中求解，明轉化之法，優解題之術.例3屬于呼應性例題，通過數形結合用新知解決舊問，有一定難度.正切函數的學習本質上是一個由形到數的過程，而本題則是通過數反映形，需要從深層次的數學思想層面來綜合體會、領悟，從而發展核心素養.這三例圍繞“正切”這一核心概念從橫向和縱向兩個維度設計，注重知識和方法之間的內在關聯性，難度逐層增加，知識前后呼應，架設起融通前后知識的網狀結構，具體如圖8.

5.3整體構建框架，內化結構思想

正切是九年級學習的內容，由于缺少同類知識的學習經歷參考，學生只能依托情境，借助疊合法、控制變量法、三角形相似等方法，開辟新路徑，從而獲取知識、認識概念.為培養學生的整體思維，形成同類知識學習的一般觀念，教師要引導學生梳理知識的發生、發展過程以及各個要點的結構關聯，形成一個較為全面的認識，為后續學習正弦和余弦提供方法與途徑.

本課通過讓學生了解直角三角形的研究進程，即先角后邊，再研究邊角關系，最后通過樹狀圖介紹本章的知識體系.對于銳角，教師可以提出問題“我們研究了它的對邊與鄰邊的比值，而三角形除了兩直角邊外，還有斜邊，這些邊可以組合成哪些比值，你覺得最有價值的是哪幾對？我們會沿著什么路徑研究”，讓學生系統地了解整章內容及結構，為高中學習三角函數奠定基礎.

參考文獻

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