初高中數(shù)學(xué)育人一體化視角下的教學(xué)實(shí)踐

2019年國務(wù)院頒布的《關(guān)于深化教育教學(xué)改革全面提高義務(wù)教育質(zhì)量的意見》著重強(qiáng)調(diào)了課程內(nèi)容連貫性與一體化建設(shè)的重要性，同時(shí)將學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)置于關(guān)鍵位置.在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐領(lǐng)域，教師需嚴(yán)格遵循這些指導(dǎo)原則，保證知識(shí)實(shí)現(xiàn)有序銜接，推動(dòng)教育目標(biāo)高效達(dá)成.數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)具有循序漸進(jìn)、逐步深入的特性.以“特殊角的三角函數(shù)值”為例，其作為三角函數(shù)知識(shí)體系的基石，在初中和高中階段分別承載著不同的角色，具備不同程度的重要性.初中階段，學(xué)生對(duì)特殊角的三角函數(shù)值展開初步認(rèn)識(shí)并進(jìn)行簡單應(yīng)用；步入高中階段，則以初中知識(shí)為依托，進(jìn)一步深化拓展，用于攻克更為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際應(yīng)用難題.基于這樣的教育背景，本文從初高中數(shù)學(xué)育人一體化的視角出發(fā)，深入思考如何將幾何思維巧妙融入特殊角三角函數(shù)值的教學(xué)過程，通過深度剖析這一教學(xué)內(nèi)容，探索如何切實(shí)做好初高中數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接工作，以期為數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐提供有益參考.

1洞察教學(xué)脈絡(luò)，剖析教學(xué)背景

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱\"義務(wù)教育課標(biāo)\"對(duì)初中階段三角函數(shù)學(xué)習(xí)提出要求，要求學(xué)生“利用相似的直角三角形，探索并認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù) （sinA，cosA，tanA） ，知道 30^°，45^° 60^° 角的三角函數(shù)值”[1《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）（以下簡稱“高中課標(biāo)\"》則明確指出：“初中學(xué)習(xí)三角函數(shù)是為了解直角三角形，并不討論三角函數(shù)的基本性質(zhì).在高中階段，借助單位圓建立角度與對(duì)應(yīng)弧長的關(guān)系，用對(duì)應(yīng)弧長刻畫角的大小；因?yàn)殚L度單位與實(shí)數(shù)單位一致，這就使得三角函數(shù)的自變量與函數(shù)值的取值都是實(shí)數(shù)，符合對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)定義.\"[2在這一學(xué)習(xí)過程中，需借助幾何直觀，著重培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象與邏輯推理素養(yǎng).

由此可見，“形”作為連接初高中三角函數(shù)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵紐帶，具有重要意義.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，諸多重要的數(shù)學(xué)結(jié)論常依賴直觀感知，即所謂“看”出來的.這種“看”的能力，本質(zhì)上依托直觀想象素養(yǎng).從知識(shí)銜接的角度而言，高中階段各類三角函數(shù)公式的學(xué)習(xí)，其根基可追溯至初中階段對(duì)特殊角三角函數(shù)的學(xué)習(xí).初中階段特殊角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，不僅是知識(shí)的初步積累，更是為高中階段進(jìn)一步深化學(xué)習(xí)埋下伏筆，對(duì)學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)展起著不可或缺的奠基作用.

在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)進(jìn)程中，學(xué)生往往對(duì)探索特殊運(yùn)算結(jié)果背后的一般性規(guī)律充滿好奇.借助代數(shù)推理，他們能夠從具體數(shù)值運(yùn)算出發(fā)，思考這些特殊情形是否能推導(dǎo)出普遍適用的規(guī)律.在高中階段的教學(xué)里，教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用幾何圖形構(gòu)造的方法，將抽象的代數(shù)規(guī)律具象化，以直觀、形象的方式完成對(duì)一般性規(guī)律的論證，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從特殊到一般的思維跨越，深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與掌握

2整合知識(shí)圖譜，架構(gòu)教學(xué)內(nèi)容

2.1內(nèi)容分析及重構(gòu)策略

傳統(tǒng)的“特殊角的三角函數(shù)值\"課時(shí)教學(xué)主線如下： ① 根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念求出 的三角函數(shù)值； ② 利用這些特殊角的三角函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算； ③ 將三角函數(shù)值作為已知條件，求出幾何圖形中的特殊角度值； ④ 將求角度和三角函數(shù)值的問題進(jìn)行總結(jié)歸納.

這種教學(xué)模式基本上可以覆蓋義務(wù)教育課標(biāo)的要求，并且能夠起到對(duì)這些特殊角的三角函數(shù)值的雙向識(shí)記的作用，但這種模式的教學(xué)其實(shí)歸根結(jié)底只是運(yùn)算技能的固化教學(xué)，對(duì)教材中出現(xiàn)的運(yùn)算結(jié)構(gòu)缺乏進(jìn)一步的挖掘，這實(shí)際上也對(duì)數(shù)感意識(shí)更好、抽象素養(yǎng)更強(qiáng)的學(xué)生帶來不公平.

從發(fā)展直觀想象素養(yǎng)的角度再定位本節(jié)課，就可以從用特殊角三角函數(shù)值完成運(yùn)算的初級(jí)模式，重構(gòu)為用特殊角的三角函數(shù)值發(fā)現(xiàn)更一般化的三角函數(shù)公式的深度層面.這樣的教學(xué)模式既達(dá)到了運(yùn)算素養(yǎng)的發(fā)展目的，更深化了初中階段銳角三角函數(shù)的章節(jié)生成和目標(biāo)：來源于幾何構(gòu)造又最終服務(wù)于幾何構(gòu)造，對(duì)后續(xù)的高中三角函數(shù)學(xué)習(xí)中涉及的多種關(guān)鍵公式進(jìn)行知識(shí)儲(chǔ)備.

2.2目標(biāo)調(diào)整及設(shè)計(jì)思路

在\"特殊角的三角函數(shù)值\"教學(xué)中，以“從特殊到一般\"思想為指導(dǎo)，將教學(xué)內(nèi)容重構(gòu)為以下兩大遞進(jìn)板塊.

第一板塊聚焦 特殊角，教師依據(jù)認(rèn)知沖突理論設(shè)置運(yùn)算沖突情境，從而借助特殊直角三角形性質(zhì)計(jì)算三角函數(shù)值，感悟“變中不變\"本質(zhì)，深化銳角三角函數(shù)概念理解.

第二板塊以 15^° 角為切入點(diǎn)，教師運(yùn)用啟發(fā)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生利用特殊角構(gòu)造 15^° 角，通過圖形生成其三角函數(shù)值，以此挖掘一般和差規(guī)律，通過不同角度組合發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)值隨角度和差變化的規(guī)律，最終上升到一般性圖形構(gòu)造層面，構(gòu)建通用數(shù)學(xué)模型，全面提升學(xué)生運(yùn)算、推理、建模等能力與創(chuàng)新意識(shí).

2.3學(xué)情把握及應(yīng)對(duì)方法

在福建省現(xiàn)行使用的三種教材版本中，銳角三角函數(shù)這個(gè)章節(jié)都是安排在九年級(jí)進(jìn)行學(xué)習(xí)，在思維水平層面，九年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)具備了一定的運(yùn)算、推理和建模素養(yǎng)，且具備了從特殊到一般、將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題的思考方式.在知識(shí)結(jié)構(gòu)層面，九年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了 sinA，cosA，tanA 的概念，同時(shí)已經(jīng)經(jīng)歷了對(duì)含 30^° 和 45^° 角的直角三角形的從定性到定量的多角度研究，因此從育人一體化視角考慮學(xué)生的發(fā)展，可以從代數(shù)結(jié)構(gòu)的識(shí)別和幾何結(jié)構(gòu)的生成兩個(gè)更高維度實(shí)現(xiàn)學(xué)生初高中三角函數(shù)知識(shí)體系發(fā)展的銜接需求，

3踐行融合教學(xué)，探索模式多元

與特殊角的三角函數(shù)值有關(guān)的運(yùn)算問題是運(yùn)算的基礎(chǔ)，也是義務(wù)教育課標(biāo)中要求應(yīng)知應(yīng)會(huì)的基本內(nèi)容.銳角三角函數(shù)在義務(wù)教育課標(biāo)中是放在“圖形與幾何\"這個(gè)模塊中的，因此兩個(gè)板塊的問題設(shè)置就圍繞在“如何將幾何構(gòu)造思維滲透在特殊角的三角函數(shù)值的運(yùn)算與運(yùn)用中\(zhòng)"這條設(shè)計(jì)主線上，具體教學(xué)設(shè)計(jì)如下.

教學(xué)板塊1：以幾何構(gòu)造計(jì)算特殊角三角函數(shù)值，感悟“變中不變”.

問題1求下列各式的值.

（204 （1）2sin30^°cos30^°

（2 ）sin60^°cos30^°-sin30^°cos60^°.

（3）2tan30°／1-tan230°

追問為了求這些式子的值，我們需要知道這些銳角三角函數(shù)值，這些值是已知的嗎？如果不知道，我們能求出來嗎？

教學(xué)說明：利用特殊角三角函數(shù)值進(jìn)行運(yùn)算是本節(jié)課的核心目標(biāo)之一.這個(gè)問題的設(shè)置制造了真實(shí)有效的認(rèn)知沖突，要想得到運(yùn)算結(jié)果就必須要先有這些特殊角的三角函數(shù)值.這就意味著學(xué)生必須能夠先利用銳角三角函數(shù)的概念，構(gòu)造出含 30^° 的直角三角形和含45°的直角三角形，求出相應(yīng)邊的比，即可完成上述各式的運(yùn)算，而這個(gè)幾何構(gòu)造求值的過程是最基本的，也可以體現(xiàn)初中階段在求銳角三角函數(shù)值或用銳角三角函數(shù)值解決問題時(shí)的核心策略或通性通法，即通過構(gòu)造有效的直角三角形，得到該直角三角形邊的比.

問題2設(shè)計(jì)可以求出 30^° ，45°，60°的三角函數(shù)值的圖形并說明理由.

教學(xué)說明：為了求出相應(yīng)的三角函數(shù)值，學(xué)生構(gòu)造的方法可能是多元的，如為了求出 45^° 角的三角函數(shù)值可能構(gòu)造的圖形就是正方形，為了求出 30^°，60^° 角的三角函數(shù)值可能構(gòu)造出的圖形就是等邊三角形.學(xué)生設(shè)參的方法也會(huì)是多元的.教學(xué)中應(yīng)該要提倡學(xué)生的發(fā)散思維，教師的主導(dǎo)作用就在于將發(fā)散的思維進(jìn)行聚焦，讓學(xué)生感受不同構(gòu)造思維的共同本源就是回到含 30^° 角的直角三角形與含 45^° 角的直角三角形中.

追問1利用分別含有 40^° 和 30^° 的兩個(gè)直角三角形，我們就可以求出 30^°，45^°，60^° 角的正弦，余弦，正切值，那么我們是不是可以根據(jù)之前學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，將角度與三角函數(shù)值進(jìn)行整理并列表呢？

教學(xué)說明：在教師展示的這兩個(gè)直角三角形的基礎(chǔ)上，學(xué)生求出相應(yīng)的三角函數(shù)值的難度是不大的，但是求出的值可能是無序的，這里就需要教師引導(dǎo)學(xué)生通過學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，將 角從小到大地完成排列，同時(shí)亦可將正弦，余弦，正切值同時(shí)填入一張表格中，這個(gè)列表的過程是初中階段函數(shù)學(xué)習(xí)的必要步驟和基本技能，也是程序化思維的滲透，同時(shí)能讓學(xué)生在潛移默化中感受三角函數(shù)值與角度增減性關(guān)系的特殊化滲透，

追問2根據(jù)這張?zhí)厥饨堑娜呛瘮?shù)表，請(qǐng)同學(xué)們完成問題1的計(jì)算.

追問3大家觀察這些算式的結(jié)果，有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

教學(xué)說明：利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行運(yùn)算是本節(jié)課的另一條關(guān)鍵主線，問題1中的三個(gè)算式的結(jié)果就能讓有較好數(shù)感的學(xué)生產(chǎn)生這樣的思考：為什么這些比較復(fù)雜的算式的結(jié)果與某些特殊角的三角函數(shù)值會(huì)相等呢？這僅僅只是巧合還是這些算式的結(jié)構(gòu)就是與這些三角函數(shù)值有著必然的聯(lián)系呢？這個(gè)問題串的設(shè)置達(dá)成了運(yùn)算主線的基本閉環(huán)，同時(shí)通過結(jié)果與結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系鏈接了由特殊走向一般的思維主線.

教學(xué)板塊2：以幾何構(gòu)造生成一般角三角函數(shù)值，挖掘一般規(guī)律，

問題3為了驗(yàn)證同學(xué)們的猜想，我們需要一些更一般的銳角的三角函數(shù)值，同學(xué)們想想就利用我們手上的這兩塊直角三角形紙片，你還能組合出哪些銳角呢？

教學(xué)說明：三角板的拼接是學(xué)生小學(xué)階段就接觸過的問題，這也是學(xué)生幾何直觀在分類討論思想引領(lǐng)下的重要實(shí)踐過程.由于初中銳角三角函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生在拼接的過程中是容易獲得15°和75^° 這兩個(gè)銳角的.在前面的三角函數(shù)的概念學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已經(jīng)知道了如果兩個(gè)銳角互余，那么這兩個(gè)銳角的三角函數(shù)之間存在誘導(dǎo)關(guān)系，因此為了完成猜想，就至少要求出 15^° 或者 75^° 角中任意一個(gè)角的三角函數(shù)值，而這個(gè)求值過程既有角度的構(gòu)造，又有直角三角形的構(gòu)造，這就為幾何構(gòu)造思維的生成打開了通道.

問題4求出 sin15^° 的值.

教學(xué)說明：在構(gòu)造 15^° 的過程中，可能有如下方法 .因此，根據(jù)求銳角三角函數(shù)值的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生在求值的過程中，可能想到以下幾種構(gòu)造方式

（1）利用 ，想到在含 15^° 的直角三角形中構(gòu)造 15^° 為底角的等腰三角形，則該三角形的一個(gè)外角就是 30^° ，即如圖1、圖2所示的兩種構(gòu)造方式，但圖2的構(gòu)造破壞了圖形中的直角，使得邊的表示出現(xiàn)了障礙，圖1的構(gòu)造需要對(duì)斜邊表示中出現(xiàn)的重根號(hào)進(jìn)行處理，這對(duì)學(xué)生的運(yùn)算表達(dá)的素養(yǎng)提出了較高要求.

（2）如圖3、圖4所示.利用 60^°-45^°=15^° ，想到在含 60^° 的直角三角形中構(gòu)造出 45^° 角，從而獲得等腰直角三角形，以此通過兩個(gè)特殊直角三角形的三邊關(guān)系，將15°角所在的直角三角形的邊表示出來，

（3）利用 45^°-30^°=15^° ，這種方法本質(zhì)上與第（2）種構(gòu)造模式相同.

這里圖形的三種構(gòu)造方法，實(shí)際上就是學(xué)生在初中階段化歸思想的重要體現(xiàn)，利用角度之間和、差、倍、分的關(guān)系將未知三角函數(shù)值的計(jì)算向已知三角函數(shù)值進(jìn)行轉(zhuǎn)化，解決一般角的三角函數(shù)值問題，同時(shí)亦可為在高中階段證明半角公式或和差化積公式提供思路

問題5計(jì)算下面幾個(gè)式子.

（1）sin45^°cos30^°-cos45^°sin30^°. 2 （20 （3）sin30^°cos15^°-cos30^°sin15^°.

教學(xué)說明：利用sin15V6-2 以及在前面構(gòu)造過程中易得的cos156+√2. ，可以求出三個(gè)式中 子的值都是 ，在前面求值過程中鋪墊的觀察猜想，也就是這三個(gè)式子的值都等于 sin15^° ，教師在學(xué)生完成運(yùn)算的前提下，再引導(dǎo)學(xué)生觀察式子結(jié)構(gòu)，學(xué)生自然可以發(fā)現(xiàn)計(jì)算結(jié)構(gòu)中的共同特征，通過此過程發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念，提高數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

問題6已知 α 和 β 是銳角，其中 αgt;β. 求證：sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ.

教學(xué)說明：在前面發(fā)散性思維主導(dǎo)下的求值構(gòu)造過程中，學(xué)生已經(jīng)積累了足夠的構(gòu)造經(jīng)驗(yàn)，因此能建立起從特殊到一般的圖形遷移思考.和差化積公式結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生，需要學(xué)生有單位1的意識(shí)，才能讓圖形中的線段以銳角三角函數(shù)的形式進(jìn)行呈現(xiàn)，這也與高中在真正開始對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行研究時(shí)引入單位圓的思維方式不謀而合，這個(gè)過程對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)的要求都達(dá)到了較高的程度.和差化積公式的證明絕不僅是單純知識(shí)點(diǎn)的簡單講解，更是思維方式有效聯(lián)系的體現(xiàn).

剛剛證明的其實(shí)是高中三角函數(shù)學(xué)習(xí)中的一個(gè)非常重要的公式：和差化積公式.高中學(xué)生還將學(xué)習(xí)非常多的三角函數(shù)公式，但這些公式背后所蘊(yùn)含的幾何構(gòu)造是可以利用初中知識(shí)實(shí)現(xiàn)的.初高中數(shù)學(xué)育人一體化不能僅僅停留在淺表的知識(shí)學(xué)習(xí)，在教學(xué)中滲透思維方式的聯(lián)系，構(gòu)建知識(shí)體系的聯(lián)系，最終達(dá)到培植素養(yǎng)的聯(lián)系，是初高中聯(lián)系視角下課程設(shè)計(jì)的有效化模式.

4復(fù)盤教學(xué)成效，反思教學(xué)過程

4.1關(guān)注素養(yǎng)，培育初高中一體化

在本次課程中，學(xué)生通過數(shù)學(xué)眼光觀察運(yùn)算結(jié)構(gòu)，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言闡述一般公式，并憑借數(shù)學(xué)思維論證一般公式.這一過程不僅實(shí)現(xiàn)了素養(yǎng)培育的多元化，還呈現(xiàn)出階梯式的培育路徑.與傳統(tǒng)課堂相比，本次教學(xué)既達(dá)成了將特殊角三角函數(shù)值融入運(yùn)算的目標(biāo)，也實(shí)現(xiàn)了特殊角源于幾何圖形、服務(wù)于幾何構(gòu)造的推理目標(biāo)，有力地促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面發(fā)展

4.2設(shè)置問題，串聯(lián)初高中一體化

為使初中與高中數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接自然流暢，問題串的引導(dǎo)式設(shè)計(jì)至關(guān)重要.教學(xué)伊始，通過精心設(shè)計(jì)運(yùn)算環(huán)節(jié)制造認(rèn)知沖突，促使學(xué)生意識(shí)到獲取對(duì)應(yīng)三角函數(shù)值是完成運(yùn)算的關(guān)鍵.要得到這些值，學(xué)生需構(gòu)建兩種基礎(chǔ)三角形.運(yùn)算結(jié)果與特定三角函數(shù)值的“巧合”，成功激發(fā)學(xué)生的探究欲望.為驗(yàn)證猜想，學(xué)生需運(yùn)用非特殊三角函數(shù)值進(jìn)行驗(yàn)證，在此過程中完成圖形與角度的構(gòu)造，并通過運(yùn)算得出結(jié)論，最終實(shí)現(xiàn)和差化積公式的證明.這一過程循序漸進(jìn)地提升了學(xué)生的運(yùn)算技能與思維能力，讓學(xué)生在跨越學(xué)段的知識(shí)探索中獲得成就感

4.3體現(xiàn)思維育人，實(shí)現(xiàn)初高中一體化

高中階段三角函數(shù)變換公式的證明方法眾多，如角度代換、向量證明、恒等變形展開等，但這些方法往往依賴高中知識(shí)鋪墊，在初中階段可操作性欠佳.當(dāng)所研究的角為銳角時(shí)，和差化積公式等均可采用初中幾何證明策略.幾何構(gòu)造思維作為初中數(shù)學(xué)的核心思維之一，既能簡化繁雜的代數(shù)運(yùn)算，又是連接初中平面幾何與高中立體幾何的橋梁.學(xué)生所學(xué)知識(shí)具有階段性，但思維的培養(yǎng)可跨越階段，使人終身受益.這也正是初高中數(shù)學(xué)育人一體化視角下教學(xué)實(shí)踐的重要目標(biāo).

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）M.北京：人民教育出版社，2020.