“抽象”概念課的落地

“大道至簡”是將復雜事情做好的精髓，也是數學取得高分的底層邏輯.縱觀國內數學學科教育，無論是初等數學還是高等數學的學習，都存在一個教育界公認的問題，那就是重視理論知識的列舉，而忽視其“如何來”的推導和“形象化”的演繹，偏離學生學習的認知邏輯.因此，做好“抽象”概念課的“形象化\"講解，使得其符合學生學習的認知規律，是做好數學學科教學工作的核心.[]一堂高質量的數學課不是講的云里霧里，讓學生聽得像“玄學”，而是讓更多的人能聽懂，這便是教學的最高境界.本節導數概念課遵從這一教學理念，讓“抽象”的概念簡單化、形象化，真正地讓學生的理解落到實處

1“導數”教學案例設計及分析

“導數\"概念課教學，分為如下五個環節.

1.1創設情境，溫故知新

教師首先帶領學生復習初中和高一階段學過的函數.

師：同學們，今天開始我們的新課程.請同學們畫幾個之前我們學過的初等函數圖象，老師叫幾個同學上黑板來繪制.

【設計意圖】對于以往初中和高一學過的函數內容進行回顧，溫故知新，這一部分可以叫班級一些基礎薄弱的學生上黑板畫圖，鞏固基礎.同時進行新課引入.

1.2 回顧概念，抽象概括

教師帶領學生回顧函數基本概念，它描述了兩個變量之間的一種特定關系.給定兩個非空實數集D 和 M ，若存在對應法則 f ，使得對于 D 中的每一個元素 x ，在 M 中都有唯一確定的元素 y 與之對應，則稱 f 是從 D 到 M 的一個函數，記作 y=f（x），x∈ D .其中， D 稱為函數 f 的定義域， x 所對應的 稱為 f 在點 x 的函數值，常記為 f（x） .全體函數值的集合 稱為函數 f 的值域.

以上概念不需要學生一字一字背，重點培養學生對于函數有一個基本的直觀理解，讓學生重點掌握經典函數的圖象，如函數 y=2x，y=x²，y=sinx 等的圖象，以上內容作為新課前的復習.

1.3概念辨析，內化理解

至此，讓學生先回顧了函數基礎知識，然后進行新課導入.

教師繼續提問題，先帶領學生學習一個學過的概念—斜率，緊接著引入\"極限\"的概念.

師：同學們，在初中階段，我們就學過一次函數，在函數 f（x）=kx（k≠0） 中，同學們可以發現隨著比例系數 k 的增大，該函數的圖象也就越來越“陡峭”，即該函數斜率越來越大，如何理解斜率呢？拿一個生活化的例子來解釋，函數陡斜程度類比爬山，斜率大的函數類比爬華山，爬劍閣道，非常陡峭；斜率小的類似爬家門口的小丘陵，很好爬，很平緩.

師：如圖1所示，函數 y=5x 的圖象，相較于函數 y=2x 和 y=0. 01x 的圖象來說很陡峭，類似于爬華山，而直線 _y=0.01x 相對來說很平緩，類似于走平緩的小山坡.同學們，這個一次函數圖象變換是線性的，根據以上的規律，大家說一下二次函數怎么分析斜率呢？

【設計意圖】通過學生熟悉的一次函數，展開啟發式教學，讓學生自己判斷怎樣計算二次函數的斜率.

課堂氣氛很活躍，學生認真思考，給出自己的答案.

生1：老師，好像二次函數沒有辦法算斜率，因為二次函數圖象是彎曲的.

生2：老師，我覺得生1說的也對，但是我認為二次函數是有無數個斜率，

生3：老師，我覺得二次函數斜率應該給一個固定的區間去算.

師：二次函數的一般形式為 y=ax²+bx+c 4 （a≠0） ）.對于二次函數，它的變化顯然不是線性的（如圖2），我們如何衡量這一個變化情況呢？同學們，這就需要我們作切線，對于二次函數來說，切線的斜率從左到右是逐漸變大的（如圖3）.

師：同學們，現在請大家回想我們高一學過的表示直線的方法中的“點斜式”.我們先在坐標軸上任意作出一條不垂直于坐標軸的直線，取這條直線上的任何兩點 A 和 B ，記做 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）. 我們將這兩個點坐標代入直線方程： y₁=kx₁+b，y₂= kx₂+b. 進行變形得 y₁-y₂=k（x₁-x₂） ，算出 k= y12，隨后得出求斜率k 的公式，如果直線變成曲線，還能用斜率 k 表示嗎？

1.4聯想類比，認識本質

接下來，筆者用很直觀的方式為學生引入一個數學概念一極限，用生活中的例子引入：班里面李同學愛玩游戲，耽誤了學業，數學只能考20分；班里面的張同學從小一直很努力，數學考試每次都能接近滿分.后來，李同學決定好好學習，奮起直追.由于他努力學習，最終從20分考到60分，從60分考到95分，從95分考到120分，從120分考到140分.之后，反問學生，這個是不是極限.學生給出否定答案.

筆者根據這個背景換了一個角度：李同學從20分考到70分，從70分考到95分，從95分考到120分，從120分考到140分，從140分到146分，從146分到148分，從148分到149分，從149分到148分.由于他不注重書寫工整和數學邏輯的嚴謹，被扣卷面分，每次都接近滿分但始終考不到滿分.用這個例子類比極限的定義.

【設計意圖】通過生活化的情境來引入，理論結合實際，更符合當下學生的認知觀念，讓學生對于本節課內容具象化，有深刻的理解.

接下來，筆者進行講解，在理論上介紹極限，引人導數.

假設函數 y=f（x） 在點 x₀ 處的鄰域內有定義，當自變量 x 在 x₀ 處取得增量 Δx ，相應的函數取得增量 Δy ，如果 在 Δx 趨于0時的極限存在，那么稱函數 y=f（x） 在點 x₀ 處可導.

以上一長串文字可抽象成為一個式子，即 f^′（x）=

再去分析，可以看出分子可以替換成 Δy ，可以變成 中

師：同學們，大家應該可以想到咱們剛說的點斜式求斜率的公式k=-y2 ，所以導數就可（204號以近似理解成函數在某點處切線的斜率.

【設計意圖】通過理論講解和實例分析本部分的內容，幫助學生理解導數的概念和定義.通過詳細的文字描述，解釋了函數在某點處可導的定義，將復雜的文字描述抽象為數學式子，幫助學生更好地理解導數的定義.通過替換分子為 Δy ，進一步簡化了式子，并引導學生將其與點斜式求斜率的公式聯系起來，從而使學生能夠將導數近似地理解為函數在某點處切線的斜率.提高學生的理解能力和數學思維能力，幫助他們更好地掌握導數的概念和定義.

1.5學以致用，拓展延伸

師：同學們，相信大家到現在對于導數已經有了一個清晰的認知.同學們能否試著從圖象的角度來理解導數的概念呢？

【設計意圖】拓展思維，接近本質，引導學生通過數學最重要的工具——圖象來思考抽象的概念.

師：我們任意畫一個二次函數圖象，如 y= 0.3x² ，取這條曲線上的任意一點 A（1，0.3） ，如何求得這個點處函數圖象的斜率呢？我們只知道一個點肯定不可能求出來，所以我們可以取另一個點，如點 B（3，2，7） ，根據斜率公式，我們可以求出來過這兩點直線的斜率k.同學們仔細思考一下，求的這個斜率有什么作用呢？

生1：老師，我覺得這個斜率可以表示函數圖象在這一點附近的傾斜程度.也就是說，斜率越大，函數圖象在這一點附近就越陡峭；斜率越小，函數圖象在這一點附近就越平緩，

生2：我覺得對于二次函數來說，這個斜率還可以幫助我們理解函數的增減性.例如在 y=0.3x² 這個函數里，因為二次項系數為正，所以函數圖象開口向上，那么在任意一點處的斜率如果為正，就說明函數在這個點附近是增函數；如果斜率為負，就說明函數在這個點附近是減函數，

師：我們剛才求的是兩點之間的斜率，如果要更精確地表示這一點處的斜率，是不是應該用導數呢？

師：同學們，我們可以將兩點的縱坐標之差設為 Δy ，橫坐標之差設為 Δx ，將點 B 不斷地沿著函數圖象向著點 A 靠攏，當兩個點越來越接近的時候，過這兩點直線的斜率越來越趨近于這點處切線的斜率，所以 0.6x ，點 A（1，0，3） 處的斜率 k 為0.6.

2 三點想法

2.1“抽象”不等于“完全學不會”

看似抽象的概念，其實可以有若干種方法將其具象化.以本課為例，課堂伊始，筆者先帶領學生進行函數的復習，然后進行舊概念和新概念的交叉復習，不斷地將復雜的問題簡單化.對于導數的學習，很多學生都覺得很抽象，難以理解，但是筆者巧妙地將它與變化率、斜率這些概念類比，就可以迎刃而解了.數學概念本身是對事物本質的反映，具有極為明顯的抽象特點，要求教學過程中教師能夠采用正確的教學方法使概念中的內容特征與表現規律展示出來，引導學生對信息內容進行概括，這樣數學概念將更為清晰.[2]

2.2重視數學最重要的工具—圖象的作用

對于抽象概念的直觀展示，圖象起了十分重要的作用，好多復雜的數學試題需要利用圖象的作用才能更好的解決.這就要求教師在教學中應當潛移默化地使用圖象這一工具，培養學生的空間想象能力和抽象思維能力，并在此基礎上，重點培養學生的數學興趣

2.3培養學生堅毅心態

目前的新高考，越來越重視對于新概念的考查，雖說是新概念，但題型的拓展大多都是在《高等數學》這本書里找的，而且大部分僅僅局限于前三章內容.很多教師認為題目越來越活，教學的時候對于學生的培養缺乏信心.從本質上來說，學生害怕的是題目所帶來的陌生感，尤其是高考考場上，接觸一個或兩個甚至更多全新的概念是個挑戰.因此，在日常教學中，教師應通過設置具有挑戰性的任務，鼓勵學生面對困難時不輕言放棄，引導他們從失敗中汲取經驗，逐步建立自信和韌性

參考文獻

[1沈嬈.基于數學抽象素養視角下概念教學的研究—以高中數學課堂教學為例[J].科教導刊-電子版（中旬），2019（3）：181.

[2]鐘婭潔.基于數學抽象素養的高中數學課堂教學策略研究[J].中華少年，2020（4）：189-190.