“三個理解”視域下模型觀念的課堂實踐與反思

模型觀念是對運用數學模型破解現實難題的清晰認識.[經由初步體驗數學建模的核心流程，學生可以從生活情境中提煉數學問題，并構建函數、方程、不等式等諸多數學模型，以描繪問題中的數量關聯及動態法則，深化理解層次.在求解結果后，學生還需要闡述其意義，以便更好地理解和應用這些模型.

依據模型觀念觀察初中數學教學，發現其存在如下問題： ① 知識的碎片化和斷層現象以及在知識構建和演進過程中邏輯關系的缺失，使得學生難以全面把握數學知識的結構體系，從而無法真正培養和發展學生的模型觀念； ② 在理解模型概念時缺乏深度洞察，于是在構筑系統化學習進程的策略布局中顯現出短板，加之對學生學習現狀的探索未能達到詳盡之境，這一系列因素共同作用，阻礙了學生模型觀念的建立； ③ 脫離生活經驗的培養模式[2]，使得學生難以形成研究知識的一般思路與方法，從而使模型觀念的培養難以有效落實.接下來，針對以上問題，探討解決方案并進行實踐反思.

1理解數學，把握知識邏輯

1.1梳理知識結構

從函數視角審視一次函數、一元一次方程、一元一次不等式，有利于學生宏觀把握三個“一次”的關系，能從函數的角度將三者統一，實現此三者間的橫向交織與縱向深化.此番探索，不僅發展了學生的模型思想，更為后續高中數學領域中二次函數的探索及一元二次不等式的解析鋪設了基石，起到了先行組織者的作用.圖1生動勾勒了一次函數、一元一次方程與一元一次不等式的認知架構藍圖，展現了其間的邏輯脈絡與層次之美，

1.2剖析教學流程

從生活情境中抽象出三種數學模型：函數模型、方程模型、不等式模型，整體把握一次函數、一元一次方程與一元一次不等式的關系，形成系統化、結構化的認知體系.3在教學過程中，筆者從學生熟悉的彈簧人手創設情境，分別構建函數模型、方程模型及不等式模型來解決問題;通過教學片段1、教學片段2驅動學生探究一次函數轉化為一元一次方程、一元一次不等式的條件，從數的層面認識變量取值確定與不確定的動靜互化以及變量取值范圍有限制與無限制的動靜互化；通過教學片段3引導學生從形的角度感悟一次函數圖象對一元一次方程和一元一次不等式問題的幾何表征，內化數形結合的數學思想；通過例題與變式激發學生的應用意識，提升學生解決問題的能力；通過歸納小結促進學生回顧、反思，積累數學活動經驗，

2理解學生，診斷認知現狀

在教學中培養學生的模型觀念，教師應依據學情，設計合理的教學任務，觀察學生的學習表現，以點帶面地達成培養目標.

2.1診斷學情，先行組織

2.1.1學生的認知基礎

在已有的學習經驗中，學生理解了一次函數的幾何形態，也學會了用數軸表示不等式的解集，對于一次函數和一元一次方程、一元一次不等式的關系的認知主要停留在代數層面.本課立足函數觀點、圖形視角，引導學生認識一次函數圖象和一元一次方程、一元一次不等式的關系，體會建立數學模型解決實際問題的一般思路與方法，

2.1.2學生的認知特點

初二學生的思維發展正處于從直觀感知到邏輯推理的過渡階段，也具備一定的抽象概括能力.在學習中，學生希望通過動手操作、實踐檢驗，從解題走向解決問題.因此，教師應指導學生“做中學、用中學、創中學”.本課從問題情境出發，通過問答和交流的形式引導學生發現聯系、建立模型、解決問題，發展學生的模型觀念和創新意識.

2.2優化過程，升格觀念

2.2.1觀察實驗，感知模型

通過彈簧秤掛重物的實驗操作，學生直觀感知物體質量和彈簧伸長長度之間的關系，歷經觀察、聯想、計數、制圖、歸納等一系列探索實踐，構筑起線性函數的數學模擬框架.借由團隊探究之力，自然而然地將線性函數拓展至一元線性方程與不等式之中，達成既有知識對新認知的吸納整合.

2.2.2內化思想，領悟模型

數與形是研究一次函數、一元一次方程、一元一次不等式三者關系的兩個重要視角，也是發展模型觀念的有效途徑.借助一次函數圖象解方程和不等式，凸顯函數思想的應用.用函數觀點統攝方程、不等式的研究是本課應有的站位.同時，函數思想的滲透促進了模型觀念的發展，

2.2.3 交流成果，體驗模型

學生在合作探究中質疑、思辨，在交流互動中體驗、感悟，積極主動地參與數學建模的過程，形成“抽象問題一任務驅動一活動探究一反思提煉一解決問題\"的學習閉環，從而有效提高數學建模能力.

3理解教學，落實模型觀念

3.1課時目標

在本次教學中，學生將深入探索一次函數、一元一次方程及一元一次不等式的微妙聯結，以此深化對于這些基本構建的認知，并領悟“數形融合”的哲學智慧與模型思維的精髓.課時目標是運用一次函數的直觀圖象作為透鏡，透視并解析一元一次方程與一元一次不等式的奧秘.這一過程將通過敏銳的觀察、深度的思考、深人的交流與嚴謹的驗證，共同塑造學生高級的認知策略與深邃的思維模式，

3.2教學重點和難點

教學重點：用一次函數圖象解一元一次方程、一元一次不等式.

教學難點：根據一次函數的圖象直接解決一元一次方程、一元一次不等式相關問題.

3.3教學過程

3.3.1貼近生活，學科借力

教學片段1.

師：同學們，生活中用來稱物體質量的秤有哪些呢？

生：桿秤、磅秤、電子秤.

師：不錯，那么我們在物理課上研究過的是哪種秤呢？

生：彈簧秤.

師：誰能說說彈簧秤的工作原理？下面我們做個實驗.

實驗操作：逐漸增加砝碼質量，并記錄彈簧長度，由學生操作并記錄.

生：彈簧秤稱重時，將彈簧的一端固定，另一端掛物體，物體的質量和彈簧伸長的長度是成正比的.

師：非常好！其實，物理上的胡克定律“在彈性限度內，物體的形變與引起形變的外力成正比”，就很好地解釋了彈簧秤的工作原理.

【設計意圖喚醒學生的生活經驗和學科經驗，讓學生初步感知彈簧秤的工作原理，為一次函數模型的出場作思維鋪墊，啟發學生用數學的眼光觀察世界，

3.3.2認識原理，數學表征

教學片段2.

師：我們從數學的角度審視剛剛的實驗過程.假設彈簧的初始長度為 4cm ，每掛 50g 的物體，彈簧伸長 1cm. 如果把物體的質量設為 xg ，把彈簧的長度設為 ycm ，你能說說其中的變化關系嗎？

生：物體的質量與彈簧的長度之間的關系是一次函數關系，可以用 50+4來表示.作出圖象（如圖2），可以看出是一條經過點 （0，4） 的射線， y 隨著 x 的增大而增大.

師：很棒！從形的角度更清晰地揭示了彈簧秤測重原理，其實測量的就是彈簧的長度.那么，你能通過測量彈簧的長度確定物體的質量嗎？

【設計意圖】引導學生對彈簧秤的工作原理進行數學表征，建立一次函數模型，深刻理解物體的質量與彈簧的長度之間的關系，自然引出描述相等關系的一元一次方程模型

3.3.3問題驅動，合理建構

教學片段3.

師：如果彈簧的長度為 12cm ，那么所掛物體的質量是多少？

生：應該是 400g 業師：你是怎樣得到的呢？

生：因為已知的是因變量 y 的值，求的是自變量x 的值，所以只要把 y 賦值為12，解方程就可以了.

師：說到重點了.一旦確定因變量的值，一次函數就轉化為一元一次方程，當然確定自變量的值，也是同樣的道理.還有其他途徑求得物體的質量嗎？

生：觀察圖象，很方便.作出 y=12 的直線，容易看出它與 圖象的交點的橫坐標為 400，它就是問題的答案.

師：確實，利用一次函數圖象可以很直觀地求得一元一次方程的解，這就是數形結合的妙用.大家知道，彈簧秤不可能無限伸長，如果這根彈簧最多伸長到 16cm ，那么它最多能掛多重的物體呢？

生：這個問題相當于限制因變量 的取值范圍，從而限制自變量 x 的取值范圍.因此，要讓 小于等于16，然后去解不等式

師：有道理！類比前面的問題，我們發現確定一次函數兩個變量中一個變量的范圍，就得到一元一次不等式，解不等式，可以得到另一個變量的范圍.你能從圖象的角度給出解釋嗎？

生：作出 y=16 的直線，找到它與 圖象的交點，位于直線 y=16 下方起點至交點之間點的橫坐標的取值范圍，就是不等式的解集

【設計意圖】設置問題串，層層追問，驅動學生自主探究一次函數轉化為一元一次方程、一元一次不等式的條件，啟發學生數形對照，深刻領悟三個“一次”模型間的聯系和區別，體會它們在解決問題中的作用和價值.

3.3.4鞏固提升，抽象拓展

例題畫出 y=2x+4 的圖象，根據圖象求2x+4=0，2x+4lt;0，2x+4gt;6 的解.

變式若 y=kx+b（k≠0） 的圖象經過（-2，0）和（0，3），求 kx+b=0 和 kx+bgt;0 的解.

【設計意圖】例題與變式讓學生體會研究過程，內化思想方法，積累活動經驗，進一步促進學生在數與形研究視角間自然切換.

3.3.5 回顧反思，思維升華

問題梳理本節課的研究歷程，你能說說研究的路徑與方法嗎？在后續的學習中，你還想研究什么？你有值得遷移應用的數學活動經驗嗎？

【設計意圖適度留白，加強小結的開放性和創造性，讓學生提煉研究問題的一般思路與方法，形成可遷移的一般數學觀念.

4結語

發展模型觀念是提升數學核心素養的必經之路，也是促進學生思維進階的突破方式.教師應不遺余力地引導學生洞察問題條件與所求目標的內在聯系，從已知的數學信息中提煉數學模型，多維度、多層次地進行探究、分析、應用、反思，最終形成解決模型問題的策略和方法.可見，在實際教學中，教師要創造性地給學生留白，促進學生開展合乎邏輯的思考，培養學生將現實問題數學化的能力.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M.北京：北京師范大學出版社，2022

[2][3]朱宸材，茅莉萍，徐芷筠.指向初中生模型觀念培養的教學實踐與反思 —以一次函數、一元一次方程和一元一次不等式為例J].中小學課堂教學研究，2023（6）：56-60.